24.2.2 直线和圆的位置关系 课件 2024—2025学年人教版数学九年级上册

24.2.2　直线和圆的位置关系 第1课时　直线和圆的位置关系 知识导航 1.直线与圆的位置关系定义 (1)如图1,直线和圆有两个公共点,这时我们说这条直线和圆　 　,这条直线叫做圆的　 　; 相交 割线 (2)如图2,直线和圆只有一个公共点,这时我们说这条直线和圆　 　,这条直线叫做圆的　 　,这个点叫做　 　; 相切 切线 切点 (3)如图3,直线和圆没有公共点,这时我们说这条直线和圆　 　. 相离 2.直线和圆的三种位置关系 典例导思 题型一 判断直线和圆的位置关系 例1 如图,已知:Rt△ABC的斜边AB=8 cm,直角边AC=4 cm. (1)以点C为圆心作圆,当半径为多长时,直线AB与☉C相切?为什么? 根据勾股定理,得BC=4 cm. ∵S△ABC=AB·CD=AC·BC,∴CD==2 cm, 则以点C为圆心,当半径为2 cm时,直线AB与☉C相切,此时直线AB与☉C只有一个交点. 解:(1)过点C作CD⊥AB,交AB于点D,如答案图所示. Rt△ABC的斜边AB=8 cm,AC=4 cm, (2)以点C为圆心,半径分别为2 cm和4 cm作两个圆,这两个圆与直线AB分别有怎样的位置关系? (2)∵2<2<4, ∴以点C为圆心,半径分别为2 cm和4 cm作两个圆,这两个圆与直线AB分别相离和相交. 跟踪训练 1.在平面直角坐标系xOy中,以点(-2,4)为圆心、4为半径的圆 (　 　) A.与x轴相切,与y轴相交 B.与x轴相离,与y轴相交 C.与x轴相交,与y轴相切 D.与x轴相切,与y轴相离 A 2.在Rt△ABC中,∠A=30°,直角边AC=6 cm,以点C为圆心、3 cm为半径作圆,则☉C与直线AB的位置关系是　 　. 相切 题型二 利用直线和圆的位置关系进行计算 例2 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4.若以点C为圆心、R为半径的圆与斜边AB只有一个公共点,求R可取的值. ∵S△ABC=AB·CD=AC·BC, ∴CD===; 解:①当☉C与AB相切时,AB==5. 过点C作CD⊥AB于点D,如答案图. ②当☉C与斜边AB相交时,如答案图,点A在圆内部,点B在圆上或圆外时,此时AC<R≤BC,即3<R≤4. 综上,R=或3<R≤4. 跟踪训练 3.直线l与半径为r的☉O相交,且点O到直线l的距离为6,则r的取值范围是 (　 　) A.r<6 B.r=6 C.r>6 D.r≥6 C 4.如图,在平面直角坐标系中,☉O的半径是1,直线AB与x轴交于点P(x,0),且与x轴正方向的夹角为45°.若AB与☉O有公共点,则x的取值范围是 (　 　) A.-1≤x≤1 B.-≤x≤ C.-<x< D.0≤x≤ B 5.如图,已知☉P的半径为2,圆心P在抛物线y=x2-1上运动,当☉P与x轴相切时,圆心P的坐标为　 　. (,2)或(-,2) $$第2课时　切线的性质与判定 知识导航 1.切线的判定 经过半径的外端并且　 　这条半径的直线是圆的切线. 注意:切线与圆只有一个公共点. 垂直于 归纳:(1)判断圆的切线的常用方法: ①和圆只有一个公共点的直线是圆的切线; ②和圆心的距离等于　 　的直线是圆的切线; ③经过半径外端并且　 　于这条半径的直线是圆的切线. 半径 垂直 (2)证明圆的切线的常用方法: ①公共点已给定:连接　 　,证明　 　垂直于该直线.简记为“连　 　,证　 　”. ②公共点未给定:从圆心　 　,证明　 　的长等于半径.简记为“作　 　,证　 　”. 半径 半径 半径 垂直 向直线作垂线段 垂线段 垂直 半径 2.切线的性质 圆的切线垂直于　 　的半径. 注意:(1)切线和圆只有一个公共点; (2)圆心到切线的距离等于　 　; 过切点 半径 (3)圆的切线垂直于经过切点的半径(或直径); (4)经过圆心且垂直于切线的直线必经过　 　; (5)经过切点且垂直于切线的直线必经过　 　. 切点 圆心 典例导思 题型一 切线的性质 例1 (1)如图1,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,点C在☉O上,且∠ACB=55°,则∠APB等于 (　 　) A.55° B.70° C.110° D.125° B (2)如图2,DE与☉O相切于点D,交直径AB的延长线于点E,C为圆上一点,∠ACD=60°.若DE的长度为3,则BE的长度为  　. 跟踪训练 1.如图,AB是☉O的切线,点A为切点,OB交☉O于点C,点D在☉O上,连接AD,CD,OA.若∠ADC=35°,则∠ABO的度数为 (　 　) A.25° B.20° C.30° D.35° B 2.如图,AB为☉O的直径,直线CD为☉O的切线,且BC=BD.若AB=6,则CD的长度为 (　 　) A. B.2 C.3 D.3 D 3.如图,AB是☉O的直径,BC是☉O的切线,连接OC交☉O于点D,连接AD.若∠A=30°,AD=,则CD的长为 　. 1 题型二 切线的判定 例2 如图,AB,AC分别是☉O的直径和弦,OD⊥AC于点D,过点A作☉O的切线与OD的延长线交于点P,PC,AB的延长线交于点F. (1)求证:PC是☉O的切线; (1)证明:如答案图,连接OC. ∵OA=OC,OD⊥AC, ∴直线OD是线段AC的垂直平分线, ∴PA=PC. 在△PAO和△PCO中, ∵PA=PC,AO=CO,PO=PO, ∴△PAO≌△PCO(SSS), ∴∠PCO=∠PAO=90°. 又∵OC是☉O的半径, ∴PC是☉O的切线. (2)若∠ABC=60°,AB=10,求线段CF的长. (2)解:∵PC是☉O的切线, ∴∠FCO=∠PCO=90°. ∵∠ABC=60°,OB=OC, ∴△OCB是等边三角形, ∴∠COB=60°, ∴∠F=180°-∠FCO-∠COB=30°. ∵AB=10,∴OB=OC=5. 在Rt△FCO中,∠F=30°, ∴CF=OC=5. 跟踪训练 4.如图,OA=OB=13 cm,AB=24 cm,☉O的直径为10 cm.求证:AB是☉O的切线. 在Rt△OAC中,根据勾股定理,得 OC==5 cm. 证明:如图,过点O作OC⊥AB,垂足为点C. ∵OA=OB=13 cm,OC⊥AB,AB=24 cm, ∴AC=AB=12 cm. ∵☉O的直径为10 cm, ∴☉O的半径r为5 cm, ∴OC=r,∴AB是☉O的切线. 5.如图,AB是☉O的直径,点C在☉O上,BD平分∠ABC交☉O于点D,过点D作DE⊥BC于点E. (1)求证:DE与☉O相切; ∵BD平分∠ABC,∴∠OBD=∠CBD, ∴∠ODB=∠CBD,∴OD∥BE. ∵DE⊥BE,∴OD⊥DE. ∵OD是☉O的半径,∴DE与☉O相切. (1)证明:如图,连接OD. ∵OD=OB,∴∠ODB=∠OBD. (2)若AB=10,AD=6,求DE的长. (2)解:如图,过点D作DH⊥AB于点H. ∵BD平分∠ABC,DE⊥BE,DH⊥AB, ∴DH=DE. ∵AB是☉O的直径, ∴∠ADB=90°. ∵AB=10,AD=6, ∴BD===8. ∵S△ABD=AB·DH=AD·BD, ∴DH==,∴DE=DH=. $$第3课时　切线长定理与 三角形内切圆 知识导航 1.切线长 经过圆外一点作圆的　 　,该点和切点之间的　 　的长,叫做该点到圆的切线长. 2.切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的　 　相等,这一点和圆心的连线　 　两条切线的　 　. 切线 线段 切线长 平分 夹角 注意:(1)切线与切线长的区别:切线是直线,不可度量,而切线长是切线上一条线段的长,即圆外一点到切点的距离,可以度量. (2)在运用切线长定理时,如右图作出辅助线,可以与等腰三角形的性质、垂径定理、勾股定理等知识产生联系. 3.三角形的内切圆 与三角形各边都　 　的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条　 　的交点,叫做三角形的　 　.内心到三角形三条边的距离相等. 相切 角平分线 内心 注意:(1)三角形内心与外心的区别: ①外心是三角形三边垂直平分线的交点;内心是三角形内角平分线的交点. ②外心是三角形外接圆的圆心,到三角形三个顶点的距离相等;内心是三角形内切圆的圆心,到三角形三条边的距离相等. (2)三角形三边与内切圆半径及面积间的关系: ①若△ABC的三边分别为a,b,c,其内切圆半径为r,则S△ABC=(a+b+c)r. ②若直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c,则其内切圆的半径为r=或r=. 题型一 切线长定理及其运用 例1 如图,直线AB,BC,CD分别与☉O相切于点E,F,G,且AB∥CD,OB=6 cm,OC=8 cm.求: 解:(1)根据切线长定理,得BE=BF,CF=CG, ∠OBF=∠OBE=∠ABC, ∠OCF=∠OCG=∠BCD. ∵AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°, ∴∠OBF+∠OCF=90°, ∴∠BOC=90°. (1)∠BOC的度数; (2)BE+CG的长; (2)由(1)知∠BOC=90°. 在Rt△OBC中,OB=6 cm,OC=8 cm, 由勾股定理,得 BC==10 cm. ∴BE+CG=BF+CF=BC=10 cm. (3)☉O的半径. (3)如答案图,连接OF. 由题意,知OF⊥BC, 则S△BOC=OB·OC=BC·OF, ∴OF==4.8 cm, ∴☉O的半径为4.8 cm. 跟踪训练 1.如图,PA,PB分别切☉O于点A,B,PA=10 cm,C是劣弧上的点(不与点A,B重合),过点C的切线分别交PA,PB于点E,F,则△PEF的周长为 (　　) A.10 cm B.15 cm C.20 cm D.25 cm C 2.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,点C,D在☉O上.若∠P=102°,则∠A+∠C=　 　. 解析:连接AB.由切线长定理可知AP=BP,∴∠PAB==39°.在四边形ABCD中,∠DAB+∠C= 180°,则∠DAP+∠C=180°+39°= 219°. 219° 题型二 内切圆的性质及应用 例2 如图,已知在△ABC中,内切圆☉I和边BC,CA,AB分别相切于点D,E,F. (1)若AB=6,AC=8,BC=10,试求内切圆☉I的面积(结果不取近似值); (1)解:∵62+82=102, ∴△ABC是直角三角形,且∠A=90°, ∴=AB·AC=24. 如答案图,连接AI,BI,CI,DI,EI,FI,则由内切圆的性质,知IF=ID=IE,IF,ID,IE分别是△ABI,△BCI,△ACI的高. 设此高为r,则有 =++=AB·r+BC·r+AC·r=r·(AB+BC+AC)=12r, ∴12r=24,解得r=2.∴☉I的面积为π r2=4π. (2)若∠A=88°,试求∠FDE的度数,并探求∠A与∠FDE有何关系; (2)解:易知在四边形IEAF中,∠A与∠EIF互补, ∴∠EIF=180°-∠A=92°. ∴∠FDE=∠EIF=46°. 从此推导中易得 ∠FDE==90°-∠A. (3)试利用(2)中的结论证明△DEF(切点三角形)是一个锐角三角形. (3)证明:由(2)中结论,可得 ∠FED=90°-∠B,∠DFE=90°-∠C, ∴△DEF的三个内角均小于90°, ∴△DEF是一个锐角三角形. 跟踪训练 3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,☉O是△ABC的内切圆,三个切点分别为D,E,F.若BF=3,AF=10,则△ABC的面积是 (　 　) A.60 B.13 C.13 D.30 D 4.如图,已知△ABC的内切圆☉O与BC边相切于点D,连接OB,OD.若∠ABC=40°,则∠BOD的度数是　 　. 70° $$