24.2.1 点和圆的位置关系 课件 2024—2025学年人教版数学九年级上册

24.2　点和圆、直线和圆的 位置关系 24.2.1　点和圆的位置关系 知识导航 1.点和圆的位置关系 设☉O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有: ①点P在圆外⇔d　 　r; ②点P在圆上⇔d　 　r; ③点P在圆内⇔d 　r. > = < 2.圆的确定 不在同一条直线上的三个点　 　一个圆. 注意:“确定”的含义是“有且只有”的意思,即经过不在同一直线上的三点有且只有一个圆. 确定 3.三角形的外接圆 经过三角形的　 　可以作一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三条边的　 　的交点,叫做这个三角形的　 　.外心到三角形三个顶点的距离相等. 三个顶点 垂直平分线 外心 注意:这个三角形叫做这个圆的内接三角形.内接与外接是根据三角形与圆的相对位置来确定的. 4.反证法定义 先假设命题的结论不成立,然后由此经过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾),由矛盾断定假设不正确,从而得到原命题成立,这种方法叫做反证法. 典例导思 题型一 点和圆的位置关系及判断 例1 在矩形ABCD中,已知AB=3 cm,AD=4 cm. (1)若以点A为圆心、5 cm为半径作☉A,则点B,C,D与☉A的位置关系如何? 解:(1)如答案图,连接AC. 在Rt△ABC中,由勾股定理,得 AC==5 cm, ∴点C在☉A上. ∵AB=3 cm<5 cm,AD=4 cm<5 cm, ∴点B,D在☉A内. (2)若以点A为圆心作☉A,使B,C,D三点中至少有一点在☉A内,且至少有一点在☉A外,则☉A的半径r的取值范围是什么? (2)∵AB=3 cm,AD=4 cm,AC=5 cm, ∴AB<AD<AC. 要使B,C,D三点中至少有一点在☉A内,且至少有一点在☉A外,则☉A的半径r的取值范围是3 cm<r<5 cm. 跟踪训练 1.在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=4 cm,D是AB边的中点,以点C为圆心、4 cm长为半径作圆,则A,B,C,D四点中在圆内的有 (　 　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B 2.已知☉O的半径为2 cm,求点P在下列位置时,线段OP的长度的取值范围: (1)点P在圆上;(2)点P在圆内;(3)点P在圆外. 解:(1)OP=2 cm. (2)0 cm≤OP<2 cm. (3)OP>2 cm. 题型二 三角形的外接圆 例2 (1)(2023·陕西)如图,△ABC内接于☉O,E是的中点,连接BE,OE,AE.若∠BAC=70°,则∠OEB的度数为 (　 　) A.70° B.65° C.60° D.55° D (2)如图,☉O是△ABC的外接圆,直径AB=4,CD平分∠ACB交☉O于点D,交AB于点E,连接AD,BD. ①若∠CAB=25°,求∠AED的度数; ∵CD平分∠ACB, ∴∠ACD=∠BCD= ∠ACB=45°. ∵∠CAB=25°,∴∠AED=∠ACE+∠CAE=70°. 解:①∵AB是☉O的直径, ∴∠ACB=90°. ②求AD的长. ②∵AB是☉O的直径, ∴∠ADB=90°. ∵∠ACD=∠BCD, ∴=, ∴AD=DB. ∵AB=4, ∴AD=BD=AB=2, ∴AD的长为2. 跟踪训练 3.小红不小心把家里的一块圆形玻璃镜打碎了,需要配制一块同样大小的玻璃镜,工人师傅在一块如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A,B,C,给出△ABC,则这块玻璃镜的圆心是 (　 　) (　 　) A.AB,AC边上的中线的交点 B.AB,AC边上的垂直平分线的交点 C.AB,AC边上的高所在直线的交点 D.∠BAC与∠ABC的角平分线的交点 B 4.如图,在△ABC中,AC=BC=5 cm,∠ACB=120°,求△ABC的外接圆的半径. 解:如图,设△ABC的外接圆的圆心为O,连接OB,OC. ∵AC=BC, ∴ =, ∴OC垂直平分AB. ∵∠ACB=120°,∴∠OCB=∠OCA=60°. 又∵OC=OB,∴△OBC是等边三角形, ∴OC=BC=5 cm, 即△ABC的外接圆的半径为5 cm. 题型三 反证法的应用 例3 用反证法证明:圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分. 已知:如图,在☉O中,弦AB,CD交于点P,且AB,CD不是直径. 求证:弦AB,CD不被点P平分. 证明:假设弦AB,CD被点P平分. ∵弦AB,CD交于点P,且AB,CD不是直径, ∴点P一定不是圆心O. 如答案图,连接OP. 根据垂径定理的推论,有OP⊥AB,OP⊥CD, 即过点P有两条直线与OP都垂直, 这与垂线的性质矛盾,即假设不成立. ∴弦AB,CD不被点P平分. [方法点拨] 反证法主要适合的证明类型有:①命题的结论是否定型的;②命题的结论是无限型的;③命题的结论是“至多”或“至少”型的. 跟踪训练 5.用反证法证明“三角形三个内角中,至少有一个内角小于或等于60°”. 已知:∠A,∠B,∠C是△ABC的内角. 求证:∠A,∠B,∠C中至少有一个内角小于或等于60°. 证明:假设∠A,∠B,∠C都大于60°, ∴∠A+∠B+∠C>180°, 这与三角形的内角和为180°相矛盾, ∴假设不成立, ∴∠A,∠B,∠C中至少有一个内角小于或等于60°. $$