第一章《空间向量与立体几何》章末综合测试-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

第一章《空间向量与立体几何》章末综合测试 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知向量，，且，那么实数的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线l经过点，平面的一个法向量为，则（ ） A. B. C. D. l与相交，但不垂直 3. 已知，，，若不能构成空间的一个基底，则实数的值为（ ） A. 0 B. C. 9 D. 4. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行六面体中，，为的中点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．直线到平面的距离为（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 在四棱锥中，棱长为2的侧棱垂直底面边长为2的正方形，为棱的中点，过直线的平面分别与侧棱、相交于点、，当时，截面的面积为（ ） A. B. 2 C. D. 3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在正三棱柱中，点P满足，其中，则（ ） A. 棱 B. 平面 C. D. 10. 如图，在正四棱柱中，为四边形对角线的交点，点在线段上运动（不含端点），下列结论正确的是（ ） A. 直线与直线所成角的余弦值为 B. 点到平面的距离为 C. 线段上存在点，使得平面 D. 正四棱柱外接球的表面积为 11. 如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A 直线平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，且，则实数______________. 13. 已知，，，若，，，四点共面，则______． 14. 如图所示，在棱长为1的正方体中，P，Q分别是线段，上的点，满足平面，则与平面所成角的范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知空间三点． （1）求以为邻边的平行四边形的面积； （2）设，若四点共面，求的值． 16. 平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱，且，为中点，为中点，设，，. （1）用向量，，表示向量； （2）求线段的长度． 17. 如图，在底面为正三角形的三棱柱中，． （1）求； （2）求异面直线与所成角的正弦值． 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，，为的中点． （1）证明：； （2）求二面角的平面角的余弦值． 19. 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且的边长为，点在母线上，且，． （1）求证：直线平面，并求三棱锥的体积： （2）若点为线段上的动点，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章《空间向量与立体几何》章末综合测试 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B B D B D D C A BD AB ABD 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知向量，，且，那么实数的值为（ ） A. B. C. D. 【详解】，，，解得：. 2. 已知直线l经过点，平面的一个法向量为，则（ ） A. B. C. D. l与相交，但不垂直 【详解】因为直线l经过点， 所以，又因为平面的一个法向量为， 且，所以平面的一个法向量与直线l的方向向量平行， 则. 3. 已知，，，若不能构成空间的一个基底，则实数的值为（ ） A. 0 B. C. 9 D. 【详解】不能构成空间的一个基底，共面，则，其中， 则， ，解得. 4. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【详解】设正方体棱长为1，以D为原点建立空间直角坐标系如图所示， 则D(0,0,0)，E(0，，1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)， 所以＝(0，，1)，＝(－1,1,0)， 则, 则异面直线DE与AC所成角的余弦值为. 5. 如图，在平行六面体中，，为的中点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【详解】设， 因为， 所以， ，， 因为， 所以， 因此， 所以点到直线的距离为. 6. 如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．直线到平面的距离为（ ）． A. B. C. D. 【详解】平面,平面, 平面, 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离， 如图，以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立直角坐标系. 则 设平面的法向量为，则 ，令，则 设点到平面的距离为，则 故直线到平面的距离为. 7. 如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【详解】由题意可知， 因为D，E，F，M四点共面，所以存在实数，使， 所以， 所以， 所以， 所以． 8. 在四棱锥中，棱长为2的侧棱垂直底面边长为2的正方形，为棱的中点，过直线的平面分别与侧棱、相交于点、，当时，截面的面积为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【详解】由题意，平面，四边形为正方形， 如图，建立空间直角坐标系D-xyz， 则，，，，，，， 设，，则， 又，，所以，则， 由题意，四点共面，所以， 所以，解得， 所以，，所以， 所以，即， 所以， 所以， 又， 所以，即， 所以， 所以， 所以截面的面积为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在正三棱柱中，点P满足，其中，则（ ） A. 棱 B. 平面 C. D. 【详解】由， 得共面， 又三个向量共起点，所以共面， 所以平面，故B正确； 则， 得， 得， 设得中点为， 则，所以， 因为，所以， 即在的中垂线上，故棱，故A错误； 则， 又，所以不平行，故C错误； 连接，则， 又平面， 所以平面， 又平面， 所以，故D正确. 10. 如图，在正四棱柱中，为四边形对角线的交点，点在线段上运动（不含端点），下列结论正确的是（ ） A. 直线与直线所成角的余弦值为 B. 点到平面的距离为 C. 线段上存在点，使得平面 D. 正四棱柱外接球的表面积为 【详解】构建如下图示空间直角坐标系，则， 所以，则， 所以直线与直线所成角的余弦值为，A对； 由，则，若是面一个法向量， 故，令，则，而， 所以点到平面的距离，B对； 由且，则，显然不可能与平行，C错； 由正四棱柱的外接球半径为体对角线的一半，即为，故外接球的表面积为，D错. 11. 如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A 直线平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【详解】 对于A，连接，，，， 平面，，同理，，，直线平面，故A正确； 对于B，∥，平面，平面，∥平面， 点在线段上运动，点到平面的距离为定值，又的面积为定值，利用等体积法知三棱锥的体积为定值，故B正确； 对于C，∥，异面直线与所成的角即为与所成的角， 当点位于点时，与所成的角为， 当点位于的中点时，平面，，，此时，与所成的角为， 异面直线与所成角的取值范围是，故C错误； 对于D，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，， 则，，，，，， 设平面的法向量，则，即， 令，得，所以，直线与平面所成角的正弦值为： ， 当时，直线与平面所成角的正弦值取得最大值，最大值为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，且，则实数______________. 【详解】， , , ,即，解得：. 13. 已知，，，若，，，四点共面，则______． 【详解】因为，，，且，，，四点共面， 所以，则，解得. 14. 如图所示，在棱长为1的正方体中，P，Q分别是线段，上的点，满足平面，则与平面所成角的范围是__________． 【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，可得， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 易得不重合，设，其中，且， 所以，所以，， 因为平面，所以，可得，所以，， 因为平面，所以的一个法向量为， 设与平面所成的角为， 则， 当，可得，因为，所以 当，可得，因为，所以， 所以与平面所成的角的范围是为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知空间三点． （1）求以为邻边的平行四边形的面积； （2）设，若四点共面，求的值． 【详解】（1）因为， 所以，， ， . ． （2）， 四点共面， 存在唯一一对实数，使得， ，解得， ． 16. 平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱，且，为中点，为中点，设，，. （1）用向量，，表示向量； （2）求线段的长度． 【详解】（1）因为为中点，为中点， ，，， 所以 （2）因为平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱，且， 所以，，， 所以 所以，即线段PM长为 17. 如图，在底面为正三角形的三棱柱中，． （1）求； （2）求异面直线与所成角的正弦值． 【详解】（1）设． ， 因为，同理， 所以. （2）由，得， 因为， 则，因此， 所以异面直线与所成角的正弦值为. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，，为的中点． （1）证明：； （2）求二面角的平面角的余弦值． 【详解】（1）在四边形中，，取中点，连接， 由，得，则四边形是平行四边形，又， 因此是矩形，即有，有，， 从而，即，而平面，平面，则， 又平面，于是平面，而平面， 所以. （2）由（1）知两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 依题意，，， 设平面的一个法向量，则，令，得， 设平面的一个法向量，则，令，得， 因此，显然二面角的平面角为钝角， 所以二面角平面角的余弦值为. 19. 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且的边长为，点在母线上，且，． （1）求证：直线平面，并求三棱锥的体积： （2）若点为线段上的动点，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离． 【详解】（1）设，连接， 为底面圆的内接正三角形，，为中点， 又，，； ，，，， ，∽，，； 平面，平面，平面平面， 平面平面，平面，平面， 又平面，， 平面，平面，平面； 为中点，，即， 又平面，平面，，， ，平面，平面， ，，， 又，平面， . （2），为中点，又，为中点，， ，， 以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，，，， 设，； 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， 设直线与平面所成角为， ， 令，则，， ， ，当，即时，， ，此时， ， 点到平面的距离. 学科网（北京）股份有限公司 $$