24.1.3 弧、弦、圆心角 课件 2024-2025学年数学人教版九年级上册

24.1.3　弧、弦、圆心角 知识导航 1.圆的相关概念 (1)圆是一个轴对称图形,它的对称轴是 　 　; (2)圆是一个旋转对称图形,它的旋转中心是　 　,绕圆心旋转　 　角度后都与原图形重合,称为圆的 　不变性; 任何一条直径所在的直线 圆心 任意 旋转 (3)圆是中心对称图形,它的对称中心是　 　; (4)能够重合的圆叫做 　;能够　 　的弧叫做等弧; (5)顶点在　 　的角叫做圆心角. 圆心 等圆 重合 圆心 2.弧、弦、圆心角的关系 (1)定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧　 　,所对的弦也 　. 符号语言:如图,在☉O中, 若∠AOB=∠A'OB', 则=,AB=A'B'. 相等 相等 (2)推论1:在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角 　,所对的弦　 　. 符号语言:如图,在☉O中,若=, 则∠AOB=∠A'OB',AB=A'B'. 相等 相等 (3)推论2:在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角　 　,所对的优弧和劣弧分别　 　. 符号语言:如图,在☉O中,若AB=A'B', 则∠AOB=∠A'OB',=,=. 相等 相等 注意:(1)定理和推论都是以“在同圆或等圆中”为前提的,否则不成立.定理和推论可总结概括为:在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弦、两条弧中有一组量相等,它们所对应的其余各组量也相等; (2)当两条弧相等时,可以不要同圆或等圆的前提; (3)当两条弦相等时,要注意弦所对的弧有两条. 典例导思 题型一 弧、弦、圆心角之间的关系 例1 如图,在☉O中,弦AB与CD相交于点E,AB=CD,连接AD,BC.求证:(1)=; 证明:(1)∵AB=CD,∴=. ∵=+,=+, ∴=. (2)AE=CE. (2)∵=,∴AD=BC. 连接AC.∵AC=CA,AD=CB,DC=BA, ∴△ADC≌△CBA(SSS), ∴∠ADC=∠CBA. 又∵∠AED=∠CEB, ∴△ADE≌△CBE(AAS),∴AE=CE. 跟踪训练 1.(2023·南宁)如图,已知在☉O中,BC是直径,AB=DC,则下列结论不一定成立的是 (　　) A.= B.∠AOB=∠COD C.OA=OB=AB D.点O到AB,CD的距离相等 C 2.如图所示,已知在☉O中,=,点D,E分别为半径OA,OB的中点,你认为CD和CE的大小有何关系?为什么? 解:CD=CE.理由如下: 连接CO. ∵AO=BO,D,E分别为AO, BO的中点, ∴DO=EO. ∵=,∴∠DOC=∠EOC. 在△CDO和△CEO中, DO=EO,∠DOC=∠EOC, OC=OC, ∴△DOC≌△EOC(SAS), ∴CD=CE. 题型二 用定理与推论进行计算 例2 (1)如图1,AB是☉O的直径,点C在☉O上,∠AOC=40°,D是的中点,则∠ACD=　 　; 125° (2)如图2,已知在半圆中,AD=DC,∠CAB=30°, AC=2.求AD的长度. 解:如答案图,连接OD,交AC于点H. ∵AD=DC,∴=, ∴OD⊥AC,AH=CH. ∵AC=2, ∴AH=CH=. 又∵∠OAH=30°, ∴OH=1,OA=2,∠AOH=60°. 又∵OA=OD, ∴△OAD是等边三角形, ∴AD=OA=2. 跟踪训练 3.如图,AB是☉O的直径,点D是弧AC的中点,过点D作DE⊥AB于点E,延长DE交☉O于点F.若AE=2,☉O的直径为10,则AC的长为 (　 　) A.5 B.6 C.7 D.8 D 4.如图,点A,B,C为☉O上的三个点,=2,∠AOB=40°,则∠ACB=　 　. 20° $$