24.1.2 垂直于弦的直径 课件 2024-2025学年 人教版数学九年级上册

24.1.2　垂直于弦的直径 知识导航 1.圆的对称性 圆是轴对称图形,　 　都是圆的对称轴. 注意:对称轴是直径所在的直线. 任何一条直径所在的直线 2.垂径定理 垂直于弦的直径　 　弦,并且　 　 弦所对 的　 　. 符号语言:如图,∵AB为☉O的直径,AB⊥CD, ∴　 　 =　 　, 　 =  　, 　=   　. 平分 两条弧 平分 CE DE 注意:在圆的有关计算和证明中,常作圆心到弦的垂线段,并连接半径构造直角三角形,这样不仅为利用垂径定理创造条件,而且为利用勾股定理沟通已知量与未知量之间的关系创造条件. 3.垂径定理的推论 平分弦　 　的直径垂直于弦, 并且　 　弦所对的两条弧. (不是直径) 平分 符号语言:如图,在☉O中,AB是直径,非直径的弦CD与AB相交于点E,且CE=DE. ∵AB是直径,CE=DE, ∴　 　,  　,   　. AB⊥CD = = 注意:对于下列5个条件:①垂直于弦;②过圆心(直径);③平分弦(不是直径);④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.如果满足其中两个,就能推出其他三个. 典例导思 题型一 垂径定理的理解及其应用 例1 (1)如图1,AB 为☉O 的直径,弦CD⊥AB 于点E,OC= 5 cm,CD=8 cm,则BE 的值为 (　 　) A.2 cm B.3 cm C.5 cm D.8 cm A (2)如图2,☉O的直径AB与弦CD相交于点E.若AE=5,EB=1,∠AEC=30°,则CD的长为 (　 　) A.5 B.2 C.4 D.+1 C (3)已知☉O的半径为10 cm,AB,CD是☉O的两条弦,AB∥CD,AB=16 cm,CD=12 cm,则弦AB和CD之间的距离是　 　cm. [方法点拨] 在弦长、半径、弦心距(圆心到弦的距离)三个量中,可通过勾股定理建立方程知二求一. 2或14 跟踪训练 1.如图,AB是☉O的弦,直径CD⊥AB,交AB于点H,连接OA.若∠A=45°,AB=2,则DH的长度为 (　 　) A.1 B. +1 C.2 -1 D.3 B 2.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点H,∠A=30°,CD=2,则☉O的半径是 　. 2 题型二 垂径定理在生活中的应用 例2 如图是某风景区的一个圆拱形门,路面AB 宽为 2 m,净高5 m,求圆拱形门所在圆的半径. 解:连接OA. 由垂径定理,得AD=AB=1 m. 设☉O的半径为r m,则OA=r m,OD=(5-r)m. 在Rt△OAD中,由勾股定理,得 OA2=OD2+AD2, 即r2=(5-r)2+12,解得r=2.6. 答:圆拱形门所在圆的半径是2.6 m. 跟踪训练 3.(2023·浙江)一次综合实践的主题为:只用一张矩形纸条和刻度尺,如何测量一次性纸杯杯口的直径?小聪同学所在的学习小组想到了如下方法:如图,将纸条拉直紧贴杯口上,纸条的上下边沿分别与杯口相交于A,B,C,D四点, 利用刻度尺量得该纸条宽为3.5 cm,AB=3 cm,CD=4 cm.请你帮忙计算出纸杯的直径为 (　 　) A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.7 cm B 4.一座桥,桥拱是圆弧形(水面以上部分),测量时只测到桥下水面宽AB为16 m(如图),桥拱最高处离水面4 m. (1)求桥拱的半径; 解:(1)如答案图,设点O为所在圆的圆心,连接OA,作OC⊥AB于点D,交圆弧于点C, 则AD=AB=8 m. 设☉O的半径为x m, 则OD=(x-4)m. 在Rt△AOD中,OA2=AD2+OD2, 即x2=82+(x-4)2,解得x=10. ∴桥拱的半径为10 m. (2)若大雨过后,桥拱下河面宽度变为12 m,问水面涨高了多少? (2)如答案图,设河水上涨到EF位置,此时EF=12 m,且EF∥AB,则有OC⊥EF(垂足为M), ∴EM=EF=6 m. 连接OE,则有OE=10 m. 在Rt△OME中, OM==8 m. ∵OD=OC-CD=6 m, ∴DM=OM-OD=2 m,即水面涨高了2 m. $$