24.2.1 点和圆的位置关系（分层作业）-【上好课】九年级数学上册同步高效课堂（人教版）

24.2.1 点和圆的位置关系 分层作业 基础训练 1．（22-23九年级下·广东湛江·期中）若的直径为，点到圆心的距离为，则点与的位置关系为（　　） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定 2．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，点A，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．12个 3．（22-23九年级上·浙江·阶段练习）已知的半径为6，点P在内，则线段长（    ） A．小于6 B．大于6 C．等于6 D．等于12 4．（22-23九年级上·山东德州·阶段练习）如图，在中，已知，点是的中点，以点为圆心作一个半径为的圆，则下列说法正确的是（    ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法确定 5．（2024·江苏宿迁·模拟预测）已知的半径为，点到圆心的距离为，若关于的方程不存在实数根，则点与的位置关系是（    ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法确定 6．（2024·云南昭通·二模）在同一平面内，点P在⊙O外，已知点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，则⊙O的半径为（　　） A． B． C． D． 7．（2024·湖南衡阳·一模）如图，在中，，是边上的高，，若圆C是以点C为圆心，2为半径的圆，那么下列说法正确的是（    ） A．点D在圆C上，点A，B均在圆C外 B．点D在圆C内，点A，B均在圆C外 C．点A，B，D均在圆C外 D．点A在圆C外，点D在圆C内，点B在圆C上 8．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中， ，，，则的外心坐标为（     ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·全国·单元测试）在中，，，，D是边的中点，以点C为圆心，为半径作圆，则点D与的位置关系是 ． 10．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，．以点为圆心，为半径作圆． （1）当点在内时，的取值范围是 ； （2）若，则点在 ，点在 ； （3）当点中只有两点在内时，的取值范围是 ． 11．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）一个直角三角形的两条边长是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为 ． 12．（2024·上海闵行·三模）若点P到上的所有点的距离中，最大距离为8，最小距离为2，那么的半径为 ． 13．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图．在直角三角形ABC中，分别为的中点，以B为圆心，为半径画圆．试判断点与的位置关系．并说明理由． 14．（23-24九年级上·甘肃定西·期末）已知等腰中，，求作的外接圆．（尺规作图，保留作图痕迹） 15．（22-23九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)在图中利用直尺画出的外接圆的圆心点D，圆心D的坐标为 ； (2)求外接圆的面积； (3)若点E的坐标，点E在外接圆 ．（填“圆内”“圆上”或“圆外”） 16．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，已知矩形的边，． (1)以点A为圆心，为半径作，则点B，C，D与的位置关系如何？ (2)若以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一点在圆内且至少有一点在圆外，则的半径r的取值范围是什么？ 能力提升 1．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知是的外心，分别是、的中点，连接、交于点，若，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江西上饶·一模）平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆个，则的值不可能为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在矩形中，，，以顶点为圆心作半径为的圆，若要求另外三个顶点、、中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·全国·单元测试）在同一平面内，的半径是8，点不在上，若点到上的点的最小距离是，则点到上的点最大距离是 ． 5．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，点A的坐标为，轴于点B，点C为坐标平面内一点，，点D为线段的中点，连接，则的最小值为 ． 6．（2024·广东东莞·三模）综合探究 小明同学在学习“圆”这一章内容时，发现如果四个点在同一个圆上（即四点共圆）时，就可以通过添加辅助圆的方式，使得某些复杂的问题变得相对简单，于是开始和同学一起探究四点共圆的条件．小明同学已经学习了圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补．因此，他想探究它的逆命题是否成立，以下是小明同学的探究过程，请你补充完整． (1)【猜想】“圆内接四边形的对角互补”的逆命题为：________________________________________，如果该逆命题成立，则可以作为判定四点共圆的一个依据． (2)【验证】如图1，在四边形中，，请在图1中作出过点三点的，并直接判断点D与的位置关系．（要求尺规作图，要保留作图痕迹，不用写作法） (3)【证明】已知：如图1，在四边形ABCD中，， 求证：点四点共圆． 证明：过三点作，假设点D不在上， 则它有可能在圆内（如图2），也有可能在圆外（如图3）． 假设点D在内时，如图2，延长交于点E，连结AE， 是的外角，， 四边形ABCE是的内接四边形，， 又，． 这与相矛盾，所以假设不成立，所以点D不可能在内． 请仿照以上证明，用反证法证明“假设点D在外”（如图3）的情形 7．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）【问题提出】 （1）如图1，是边长为4的等边三角形，点D为边上的动点，连接，则的最小值为__________； 【问题探究】 （2）如图2，四边形是边长为的正方形，点E为的中点，点F为线段（含端点）上的一个动点，以为底边向上作等腰直角，以顶点O为圆心，为半径作，延长交于点P，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，等腰直角是一块花圃的平面示意图，经测量，底边米，现欲对该花圃进行扩建，在底边上取点C，作的外接圆，点D为与y轴的另一个交点，沿铺设一条观赏通道，为了节省铺设成本，要求观赏通道的长度尽可能小，问的长度是否存在最小值？若存在，求出长度的最小值；若不存在，请说明理由． 拔高拓展 1．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，圆M的半径为4，圆心M的坐标为，点P是圆M上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为 . 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，点，点，以为直径作． （1）如图①，C是内一点，坐标为，点D在圆上，则的最小值为 ； （2）如图②，C是上一点，坐标为，点D在圆上，则的最大值为 ； （3）如图③，C是外一点，坐标为，点D在圆上，则的最小值为 ，的最大值为 ． 3．（21-22九年级上·北京朝阳·期末）对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P给出如下定义：Q为图形M上任意一点，若P，Q两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的2倍，则称点P为图形M的“二分点”． 已知点N（3，0），A（1，0），B（0，），C（，﹣1）． (1)①在点A，B，C中，线段ON的“二分点”是 　 　； ②点D（a，0），若点C为线段OD的“二分点”，求a的取值范围； (2)以点O为圆心，r为半径画圆，若线段AN上存在⊙O的“二分点”，直接写出r的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.2.1 点和圆的位置关系 分层作业 基础训练 1．（22-23九年级下·广东湛江·期中）若的直径为，点到圆心的距离为，则点与的位置关系为（　　） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据题意得出，从而即可得出答案，熟练掌握点与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】解：∵的直径为，所以半径为，点到圆心的距离为， ∴， ∴点与的位置关系为：点在圆上， 故选：B． 2．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，点A，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．12个 【答案】B 【分析】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键，找出不在同一条直线上的三个点的所有组合即可． 【详解】解：依题意A，B；A，C；A，D；B，C；B，D；C，D加上点P可以画出一个圆， ∴共有6个， 故选：B． 3．（22-23九年级上·浙江·阶段练习）已知的半径为6，点P在内，则线段长（    ） A．小于6 B．大于6 C．等于6 D．等于12 【答案】A 【分析】根据点与圆的位置关系解决问题即可．本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内． 【详解】解：点在内， ， 故选：A． 4．（22-23九年级上·山东德州·阶段练习）如图，在中，已知，点是的中点，以点为圆心作一个半径为的圆，则下列说法正确的是（    ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，设点与圆心的距离d，则时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内．连接，由等腰三角形三线合一得，求出，根据勾股定理求出，和半径比较即可得出答案． 【详解】解：连接， ∵，，D是的中点， ∴，， ∴， ∴在中，由勾股定理得： ， ∵的半径为， ∴点A在上， 故选B． 5．（2024·江苏宿迁·模拟预测）已知的半径为，点到圆心的距离为，若关于的方程不存在实数根，则点与的位置关系是（    ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别方法和点与圆的位置关系，根据一元二次方程根的情况，判断的取值范围，再根据点与圆心的距离，判断点与圆的位置关系，熟练掌握根的判别方法和判断点与圆的位置关系的方法是解题的关键． 【详解】解：由题意，得， 解得， ∴，则点在外， 故选：． 6．（2024·云南昭通·二模）在同一平面内，点P在⊙O外，已知点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，则⊙O的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，培养学生分类的思想及对点到圆上最大距离、最小距离的认识． 点在圆外时，直径为最大距离与最小距离的差，即可求解． 【详解】解：由题意得，P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b， ∴圆的直径是，因而半径是， 故选：B． 7．（2024·湖南衡阳·一模）如图，在中，，是边上的高，，若圆C是以点C为圆心，2为半径的圆，那么下列说法正确的是（    ） A．点D在圆C上，点A，B均在圆C外 B．点D在圆C内，点A，B均在圆C外 C．点A，B，D均在圆C外 D．点A在圆C外，点D在圆C内，点B在圆C上 【答案】D 【分析】本题考查了含有角的直角三角形，勾股定理，点与圆的位置关系．由题干条件得出两个直角三角形中含角所对的直角边等于斜边的一半，即与，利用勾股定理即可求解出，再根据点与圆的位置关系判断即可 【详解】在中，，则， ∵， ∴． ∴． 圆C是以点C为圆心，2为半径的圆， ， 点A在圆C外，点D在圆C内，点B在圆C上 故选：D． 8．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中， ，，，则的外心坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的外心和平面直角坐标系内点的坐标，解题的关键是利用垂直平分线的交点找外心．依据三角形的外心是边的垂直平分线的交点，作和的垂直平分线，交点为所求． 【详解】解：作和的垂直平分线，交点为所求， 的外心坐标为， 故选：D． 9．（23-24九年级上·全国·单元测试）在中，，，，D是边的中点，以点C为圆心，为半径作圆，则点D与的位置关系是 ． 【答案】点D在外 【分析】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 根据勾股定理可求出，再根据直角三角形的性质求得，比较与的半径即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵中，，， ∴， ∵D是边的中点， ∴， 即点D到圆心C的距离为， ∵的半径为，而， ∴点D在外． 故答案为：点D在外 10．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，．以点为圆心，为半径作圆． （1）当点在内时，的取值范围是 ； （2）若，则点在 ，点在 ； （3）当点中只有两点在内时，的取值范围是 ． 【答案】 / 上 外 / 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为r，点P到圆心的距离，则点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内．也考查了勾股定理．利用勾股定理求出． （1）根据点与圆的位置关系即可解答即可； （2）根据点与圆的位置关系即可解答即可； （3）根据点与圆的位置关系即可解答即可． 【详解】解：中，， ． （1）当点在内时，则，即， 故答案为：； （2），， 则， 点在上，点在外， 故答案为：上，外； （3）点中只有两点在内，， 点两点在内，点B在外， 的取值范围是：． 故答案为： 11．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）一个直角三角形的两条边长是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程，勾股定理，直角三角形的外接圆，先求出解一元二次方程的根，再分和是直角三角形的两直角边和是直角边，是斜边两种情况解答，根据直角三角形的外接圆的直径即为斜边长即可求解，明确直角三角形的外接圆的直径即为斜边长并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴，， 当和是直角三角形的两直角边时， 直角三角形的斜边， ∴此直角三角形的外接圆的直径为； 当是直角边，是斜边时， 此直角三角形的外接圆的直径为； 综上，此直角三角形的外接圆的直径为或， 故答案为：或． 12．（2024·上海闵行·三模）若点P到上的所有点的距离中，最大距离为8，最小距离为2，那么的半径为 ． 【答案】或者 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，分点P在外和内两种情况讨论，当点P在外时，最大距离与最小距离之差等于直径；当点P在内时，最大距离与最小距离之和等于直径，即可得． 【详解】解：点P在外时， 外一点到上所有的点的距离中，最大距离是，最小距离是， 的半径长等于； 点P在内时， 内一点到上所有的点的距离中，最大距离是，最小距离是， 的半径长等于， 故答案为：或者． 13．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图．在直角三角形ABC中，分别为的中点，以B为圆心，为半径画圆．试判断点与的位置关系．并说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．求得到圆心的距离，与圆的半径进行比较即可作出判断． 【详解】解：连接． C在上； 在直角中，， 则A在的外部； ，则E在内部； ，则在直角中，，则F在的外部． 14．（23-24九年级上·甘肃定西·期末）已知等腰中，，求作的外接圆．（尺规作图，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】此题主要考查的是三角形外接圆的作法，关键是作出任意两边的垂直平分线，找出三角形的外接圆的圆心．由于三角形的外心是三角形三边中垂线的交点，可作的任意两边的垂直平分线，它们的交点即为的外接圆的圆心（设圆心为O）；以O为圆心、长为半径作圆，即可得出的外接圆． 【详解】解：如图，即为所求， 15．（22-23九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)在图中利用直尺画出的外接圆的圆心点D，圆心D的坐标为 ； (2)求外接圆的面积； (3)若点E的坐标，点E在外接圆 ．（填“圆内”“圆上”或“圆外”） 【答案】(1) (2) (3)圆内 【分析】（1）作线段及线段的垂直平分线，交点即为圆心D；再根据D的位置可得其坐标； （2）连接，利用勾股定理求出，再根据面积公式计算即可； （3）利用勾股定理求出的长，由此判断即可． 【详解】（1）解：如图，作线段及线段的垂直平分线，交点即为圆心D； ∴； （2）解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∴外接圆的面积为； （3）解：∵，， ∴， ∵半径，而， ∴点E在外接圆内； 【点睛】此题考查三角形外接圆的圆心的确定，勾股定理，点与圆的位置关系，圆的面积的计算，正确确定三角形外接圆的圆心是解题的关键． 16．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，已知矩形的边，． (1)以点A为圆心，为半径作，则点B，C，D与的位置关系如何？ (2)若以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一点在圆内且至少有一点在圆外，则的半径r的取值范围是什么？ 【答案】(1)点在内，点在上，点在外 (2) 【分析】此题考查的知识点是点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，解题关键是要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． （1）根据勾股定理求出的长，进而得出点B，C，D与的位置关系； （2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围． 【详解】（1）解：连接， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴点在内， ∵， ∴点在上， ∵， ∴点在外； （2）解：∵以点A为圆心作，使，，三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， ∴的半径的取值范围是：． 能力提升 1．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知是的外心，分别是、的中点，连接、交于点，若，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆和外心，三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，考查了直角三角形的性质和勾股定理的逆定理，三角形的面积，连接，，由题意得出，，可证得，根据三角形的面积公式可得出答案，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】连接，，如图， ∵是的外心，、分别是、的中点， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∵， ∴， 故选：． 2．（2024·江西上饶·一模）平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆个，则的值不可能为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件，分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，②当三点在一直线上时，③当A、B、C、D四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时，根据不在同一直线上的三点可以画一个圆，画出图形，即可得出答案． 【详解】解：分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，如图1，此时， ②当三点在一直线上时，如图2， 分别过或或作圆，共3个圆，即， ③当四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时， 分别过或或或作圆，共4个圆，即此时， 即不能是2， 故选：C． 3．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在矩形中，，，以顶点为圆心作半径为的圆，若要求另外三个顶点、、中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了点与圆的位置关系．要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断．当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内． 【详解】解：连接， 在直角中，，， 则． 由图可知． 故选：B． 4．（24-25九年级上·全国·单元测试）在同一平面内，的半径是8，点不在上，若点到上的点的最小距离是，则点到上的点最大距离是 ． 【答案】13或19 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键． 由题意知，分点在内，点在外两种情况求解即可． 【详解】解：由题意知，分点在内，点在外两种情况求解； 当点在内，如图1， ∴，， ∴， ∴最大距离是13； 当点在外，如图2， ∴，， ∴， ∴最大距离是19； 综上所述，的半径是13或19； 故答案为：13或19． 5．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，点A的坐标为，轴于点B，点C为坐标平面内一点，，点D为线段的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标和图形的性质，点与圆的位置关系，三角形的中位线定理等知识，确定为最小值时点C的位置是解题的关键．作点A关于x轴的对称点E，根据中位线的性质得到，求出的最小值即可． 【详解】解：如图，作点A关于x轴的对称点， 则点B是的中点， 又∵点D是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当最小时，最小， ∵点C为坐标平面内一点，且， ∴点C在以O为圆心，5为半径的上运动， ∴当减去半径时，最小． ∵， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值． 故答案为：． 6．（2024·广东东莞·三模）综合探究 小明同学在学习“圆”这一章内容时，发现如果四个点在同一个圆上（即四点共圆）时，就可以通过添加辅助圆的方式，使得某些复杂的问题变得相对简单，于是开始和同学一起探究四点共圆的条件．小明同学已经学习了圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补．因此，他想探究它的逆命题是否成立，以下是小明同学的探究过程，请你补充完整． (1)【猜想】“圆内接四边形的对角互补”的逆命题为：________________________________________，如果该逆命题成立，则可以作为判定四点共圆的一个依据． (2)【验证】如图1，在四边形中，，请在图1中作出过点三点的，并直接判断点D与的位置关系．（要求尺规作图，要保留作图痕迹，不用写作法） (3)【证明】已知：如图1，在四边形ABCD中，， 求证：点四点共圆． 证明：过三点作，假设点D不在上， 则它有可能在圆内（如图2），也有可能在圆外（如图3）． 假设点D在内时，如图2，延长交于点E，连结AE， 是的外角，， 四边形ABCE是的内接四边形，， 又，． 这与相矛盾，所以假设不成立，所以点D不可能在内． 请仿照以上证明，用反证法证明“假设点D在外”（如图3）的情形 【答案】(1)对角互补的四边形能内接于圆．（或：对角互补的四边形是圆的内接四边形） (2)图见解析，点D在上 (3)详见解析 【分析】本题考查了反证法，命题与定理及线段的垂直平分线的性质及有关圆的性质是解题的关键． （1）根据逆命题与原命题是条件、结论互换解答． （2）根据作过不共线的三个点的圆作法作图，先确定圆心再确定半径； （3）根据反证法的步骤进行证明． 【详解】（1）解：对角互补的四边形能内接于圆．（或：对角互补的四边形是圆的内接四边形）． （2）解：如图1，为所求． 点D在上． （3）证明：假设点D在外时，如图3， CD交于点E，连结， 是的外角， ． 四边形是的内接四边形， 又， ． 这与相矛盾，所以假设不成立， 所以点D不可能在外． 7．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）【问题提出】 （1）如图1，是边长为4的等边三角形，点D为边上的动点，连接，则的最小值为__________； 【问题探究】 （2）如图2，四边形是边长为的正方形，点E为的中点，点F为线段（含端点）上的一个动点，以为底边向上作等腰直角，以顶点O为圆心，为半径作，延长交于点P，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，等腰直角是一块花圃的平面示意图，经测量，底边米，现欲对该花圃进行扩建，在底边上取点C，作的外接圆，点D为与y轴的另一个交点，沿铺设一条观赏通道，为了节省铺设成本，要求观赏通道的长度尽可能小，问的长度是否存在最小值？若存在，求出长度的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）的最小值为3；（3）的长度存在最小值，最小值为米 【分析】（1）当时，的值最小，据此即可求解； （2）设，则，，要使最小，则最小，即最小．据此即可求解； （3）由题意得为的直径，设的半径为R，则，连接，作于点H，可得，求出的最小值即可求解． 【详解】解：（1）当时，的值最小， 如图所示： ∵ ∴ 故答案为： （2）∵点P在以O为圆心，为半径的上， ∴设，则，， ∴要使最小，则最小，即最小． ∵点F为线段（含端点）上的一个动点， ∴的最小值为的长，即的最小值为， ∵， ∴的最小值为， ∴的最小值为1， ∴的最小值为3． （3）∵， ∴为的直径， ∴圆心P为线段的中点． 设的半径为R，则 连接，作于点H，如图3． ∵是以点A为顶点的等腰直角三角形， ∴，米， ∴． ∵， ∴． ∵点C在上， ∴的最小值为的长， ∴的最小值为米，即的最小值为， ∴R的最小值为． ∵当R最小时，取得最小值， ∴长度的最小值为． 即的长度存在最小值，最小值为米． 【点睛】本题考查了线段的最值问题，涉及了等边三角形的性质、勾股定理的应用、三角形的外接圆等知识点．熟练掌握相关几何结论是解题关键． 拔高拓展 1．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，圆M的半径为4，圆心M的坐标为，点P是圆M上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为 . 【答案】28 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最大值时点P的位置．连接，由中知若要使取最大值，则需取最大值，连接，交于点，当点P位于点时，取得最小值，当点P在的延长线与的交点上时，取最大值，据此可得出取最大值时点P的位置，求解可得结果． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵点A、点B关于原点O对称， ∴，即点为中点， ∴， 若要使取最大值，则需取最大值， 连接，交于点， 当点P位于点时，取得最小值， 过点M作轴于点Q，圆心M的坐标为， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴当点P在的延长线与的交点上时，取最大值， ∴的最大值为， ∴的最大值为． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，点，点，以为直径作． （1）如图①，C是内一点，坐标为，点D在圆上，则的最小值为 ； （2）如图②，C是上一点，坐标为，点D在圆上，则的最大值为 ； （3）如图③，C是外一点，坐标为，点D在圆上，则的最小值为 ，的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，圆的性质，勾股定理． （1）过点C作半径，当点D为半径的端点时，有最小值，据此求解即可； （2）当为的直径时，有最大值，据此求解即可； （3）过点C作射线交于点和，当点D与重合时，有最小值， 当点D与重合时，有最大值，据此求解即可． 【详解】解：∵点，点， ∴，， ∴， ∴的直径为，半径为， ∵的直径为， ∴点， （1）过点C作半径，当点D为半径的端点时，有最小值， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵C是上一点，点D在上， ∴当为的直径时，有最大值，最大值为； 故答案为：； （3）过点C作射线交于点和， 当点D与重合时，有最小值， 当点D与重合时，有最大值， ∵，， ∴， ∴，， 故答案为：，． 3．（21-22九年级上·北京朝阳·期末）对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P给出如下定义：Q为图形M上任意一点，若P，Q两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的2倍，则称点P为图形M的“二分点”． 已知点N（3，0），A（1，0），B（0，），C（，﹣1）． (1)①在点A，B，C中，线段ON的“二分点”是 　 　； ②点D（a，0），若点C为线段OD的“二分点”，求a的取值范围； (2)以点O为圆心，r为半径画圆，若线段AN上存在⊙O的“二分点”，直接写出r的取值范围． 【答案】(1)①B、C；②或≤a≤2； (2)≤r≤1或3≤r≤9． 【分析】（1）①计算每个点到ON的最大和最小值，可推断出结果； ②分为当最小值是1，和最大值是2两种情形； （2）当AN上的点在圆外和外内两种情形； 【详解】（1）解：①如图1， ∵点A到ON的最大距离是2，到ON的最小距离是0， ∴点A不是ON的二分点， ∵OB=，BN=2， ∴BN=2OB， ∴B点是ON的二分点， ∵CD=1，OC=2， ∴点C是ON的二分点， 故答案是：B、C； ②如图2， 当OC=2是最小值时，最大值是OD=4， ∴， ∴（舍去），， 当最小值是1时，a≥， 最大值是2时， ∵OC=2， ∴a≤2， ∴≤a≤2， 综上所述：a=−或≤a≤2； （2）解：如图3， 当点A在⊙O外时，设点M在AN上，M（x，0），（1≤x≤3）， 假设M是⊙O的二分点， ∴x+r=2（x-r）， ∴x=3r， ∴1≤3r≤3， ∴≤r≤1； 如图4， 点M在⊙O内， ∴x+r=2（r-x）， ∴x=， ∴1≤≤3， ∴3≤r≤9， 综上所述：≤r≤1或3≤r≤9． 【点睛】本题考查了点到线段（上的点）的距离，及点到圆最值问题，解决问题的关键是分为点在圆外和圆内两种情形讨论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$