24.2.2 直线和圆的位置关系（第一课时）（分层作业）-【上好课】九年级数学上册同步高效课堂（人教版）

24.2.2 直线和圆的位置关系（第一课时） 分层作业 基础训练 1．（2024·云南·模拟预测）“光盘行动”倡导厉行节约，反对铺张浪费，带动大家珍惜粮食，如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 2．（2024·湖北武汉·二模）如果直径为的圆与一条直线有两个公共点，则圆心到该直线的距离满足（   ） A． B． C． D． 3．（2024·青海西宁·二模）已知的半径等于，圆心到直线上某点的距离为，则直线与的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．1或2 D．0或1 4．（22-23九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 5．（23-24九年级下·上海崇明·期中）已知在中，，若以C为圆心，r长为半径的圆C与边有交点，那么r的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 6．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，半径，直线，垂足为H，且l交于A，B两点，，将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，则平移的距离为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）已知点，若以点为圆心，3个单位长度为半径作圆，则与轴 ，与轴 ． 8．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图，两个同心圆，大圆的半径为，小圆的半径为，若大圆的弦与小圆有公共点，则弦的取值范围是 ． 9．（22-23八年级下·黑龙江绥化·期末）如图已知的半径为，圆心在抛物线上运行，当与轴相切时，圆心的坐标为 ．    10．（14-15九年级上·广东广州·期中）在中，，，，若以点为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，则的范围是 ． 11．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）在中，，，以A为圆心，分别以下列长为半径作圆，请你判定与直线的位置关系． (1)6； (2)8； (3)12． 12．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知：中，，以点C为圆心，作半径为的圆.问： (1)当R为何值时，和直线相离？ (2)当R为何值时，和直线相切？ (3)当R为何值时，和直线相交？ 13．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知的斜边，直角边，以点为圆心作． (1)当半径为________时，直线与相切； (2)当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为________； (3)当与线段没有公共点时，半径的取值范围为__________． 能力提升 14．（2024·河南许昌·二模）如图，平面直角坐标系中，经过三点，点D 是上的一动点．当点 D 到弦的距离最大时，点D 的坐标是（   ） A． B． C． D． 15．（2023九年级下·全国·专题练习）在中，，若与相离，则半径为r满足（　　） A． B． C． D． 16．（2023九年级下·上海·专题练习）如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为，与相交，且点在外，那么的半径长可能是（   ） A． B． C． D． 17．（21-22九年级上·安徽六安·期末）如图所示，直线与x轴、y轴分别交于点M，N，的半径为1，将以每秒1个单位的速度向右作平移运动，当移动 秒时，直线恰好与相切． 18．（2024·浙江杭州·一模）在直角坐标系中，对于直线：，给出如下定义：若直线与某个圆相交，点的坐标为，若的半径为，直线关于的“圆截距”的最小值为，则的值为 ． 19．（2023·吉林松原·二模）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 ．    20．（2023·江苏无锡·一模）如图，在矩形中，，，以为直径作，延长到点，使，点是上的动点，线段的中点为，点为上一动点． （1）直线与的位置关系为 ； （2）的最小值为 ． 21．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，为正比例函数图象上的一个动点，的半径为，设点的坐标为．    (1)求与直线相切时点的坐标． (2)请直接写出与直线相交、相离时的取值范围． 拔高拓展 22．（2024·江苏宿迁·二模）在平面直角坐标系中对于已知的点C和图形W，给出如下定义：若存在过点C的直线l，使之与图形W有两个公共点P，Q，且C，P，Q三点中，某一点恰为另两点所连线段的中点，则称点C是图形W的“相合点”． (1)已知点，线段与线段组成的图形记为W； ①点中，图形W的“相合点”是　　　　　　； ②点M在直线上，且点M为图形W的“相合点”，求点M的横坐标m的取值范围； (2)的半径为r，直线与x轴，y轴分别交于点E，F，若在线段上存在外的一点P，使得点P为的相合点，直接写出r的取值范围． 23．（23-24九年级上·北京朝阳·期末）在平面直角坐标系中，已知． 对于点给出如下定义：若，则称为线段的“等直点”． (1)当时， ①在点中，线段的“等直点”是______； ②点在直线上，若点为线段的“等直点”，直接写出点的横坐标． (2)当直线上存在线段的两个“等直点”时，直接写出的取值范围． 24．（23-24九年级下·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，A、B为平面内不重合的两个点，若Q到A、B两点的距离相等，则称点Q是线段的“似中点”． (1)已知，，在点、、、中，线段的“似中点”是点___________： (2)直线与x轴交于点M，与y轴交于点N． ①求在坐标轴上的线段的“似中点”； ②若的半径为2，圆心P为，上存在线段的“似中点”，请直接写出t的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.2.2 直线和圆的位置关系（第一课时） 分层作业 基础训练 1．（2024·云南·模拟预测）“光盘行动”倡导厉行节约，反对铺张浪费，带动大家珍惜粮食，如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 【答案】B 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，注意∶已知O的半径为r，如果圆心O到直线的距离是d，当时，直线和圆相离，当时，直线和圆相切，当时，直线和圆相交． 【详解】解：把餐盘看成圆形的半径，餐盘的圆心到筷子看成直线l的距离为d． ∴， ∴直线和圆相交， 故选∶B． 2．（2024·湖北武汉·二模）如果直径为的圆与一条直线有两个公共点，则圆心到该直线的距离满足（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．解决本题的关键是确定圆的半径，进而可知直线与圆心的距离d的取值范围．先求出圆的半径为，再根据直线与圆相交时，d的取值范围． 【详解】解：∵圆的半径为 ∴当直线与圆相交时，直线与圆心的距离， 故选：C． 3．（2024·青海西宁·二模）已知的半径等于，圆心到直线上某点的距离为，则直线与的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．1或2 D．0或1 【答案】C 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，利用直线与圆的位置关系的判断方法得到直线l和相交或相切，然后根据相切与相交的定义对各选项进行判断． 【详解】的半径为，圆心到直线上某点的距离为， 圆心到直线的距离 即圆心到直线的距离圆的半径， 直线和相切或相交， 直线与有个或个公共点． 故选：C． 4．（22-23九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程以及直线与圆的位置关系．掌握“时直线与圆相交，时直线与圆相切，时直线与圆相离”是解题的关键，先求出一元二次方程的解，然后分两种情况讨论即可得解． 【详解】解：由得， ， 解得，， ∴或． ∵圆心O到直线l的距离， ∴当时，，则直线l与相切， 当时，，则直线l与相交， ∴直线l与的位置关系是相交或相切． 故选：D． 5．（23-24九年级下·上海崇明·期中）已知在中，，若以C为圆心，r长为半径的圆C与边有交点，那么r的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】此题注意两种情况：（1）圆与相切时；（2）点在圆内部，点在圆上或圆外时．根据勾股定理以及直角三角形的面积计算出其斜边上的高，再根据位置关系与数量之间的联系进行求解．本题考查了直线与圆的位置关系和三角形的面积等知识点，解此题的关键是画出符合条件的所有情况． 【详解】解：依题意，， 根据勾股定理求得． 当圆与相切时，此时半径最小，即； 当点在圆上，此时半径最大，即， 综上：即． 故选：D． 6．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，半径，直线，垂足为H，且l交于A，B两点，，将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，则平移的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由垂径定理和勾股定理得，当点H平移到点C时，直线与圆相切，求得． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时， ∴， 即直线在原有位置向下移动后与圆相切． 故选：B． 【点睛】本题利用了垂径定理，勾股定理，及切线的概念求解，正确掌握各定理并应用是解题的关键． 7．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）已知点，若以点为圆心，3个单位长度为半径作圆，则与轴 ，与轴 ． 【答案】 相离 相切 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是由点的坐标得到点到轴与轴的距离．先由点的坐标得到点到轴的距离、点到轴的距离，然后判定与轴、轴的位置关系． 【详解】解：， 点到轴的距离为，点到轴的距离为， 与轴相离，与轴相切 故答案为：相离，相切． 8．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图，两个同心圆，大圆的半径为，小圆的半径为，若大圆的弦与小圆有公共点，则弦的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，根据已知条件和图形分析可得当是大圆直径时，的值最大，从而可得的最大值；进一步分析可得当与小圆相切的时，最小，利用勾股定理可得的最小值；若大圆的弦与小圆有公共点，即与小圆相切或相交，再结合上面分析即可解答，掌握直线和圆的位置关系与的半径为和圆心到直线的距离为之间的关系是解题的关键． 【详解】解：当是大圆直径时的值最大，最大值为， 当与小圆相切时最小， 小圆的半径为，大圆半径为， ， 大圆的弦与小圆有公共点，即相切或相交， ． 故答案：． 9．（22-23八年级下·黑龙江绥化·期末）如图已知的半径为，圆心在抛物线上运行，当与轴相切时，圆心的坐标为 ．    【答案】或 【详解】当与轴相切时可求得点的横坐标，代入抛物线解析式可求得点坐标． 【解答】解：∵与轴相切，的半径为， ∴到轴的距离等于半径， ∴点的横坐标为或， 当时，代入可得，此时点坐标为； 当时，代入可得，此时点坐标为； 综上可知点坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系及二次函数的性质，此题注意应考虑两种情况．熟悉直线和圆的位置关系应满足的数量关系是解题的关键． 10．（14-15九年级上·广东广州·期中）在中，，，，若以点为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，则的范围是 ． 【答案】或 【分析】本题需要分两种情况进行讨论：圆与斜边相切时， 点在圆内部、点在圆上或圆外时．首先根据勾股定理求出斜边的长，再根据圆与斜边的位置关系与公共点数量之间的联系进行分类讨论．其中，圆与斜边相切时的半径的长可利用三角形的面积公式求出． 【详解】解：如图，在中， 根据勾股定理，， 分两种情况： 圆与斜边相切时， 连接圆心与切点， 根据切线的性质可知：， ， ， 即； 点在圆内部、点在圆上或圆外时， 此时， 即， ， 此时以点为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点； 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，切线的性质，三角形的面积公式，直线与圆的位置关系等知识点，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 11．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）在中，，，以A为圆心，分别以下列长为半径作圆，请你判定与直线的位置关系． (1)6； (2)8； (3)12． 【答案】(1)相离 (2)相切 (3)相交 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直线与圆的位置关系．解题的关键是掌握等腰三角形三线合一，以及直线与圆的位置关系． （1）过点A作于点D，根据等腰三角形的性质得出， 再根据勾股定理求出，最后比较半径和，即可解答； （2）比较半径和，即可解答； （3）比较半径和，即可解答． 【详解】（1）解：过点A作于点D， ∵，，， ∴， 根据勾股定理可得：， ∵， ∴与直线相离； （2）解：∵， ∴与直线相切； （3）解：∵， ∴与直线相交． 12．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知：中，，以点C为圆心，作半径为的圆.问： (1)当R为何值时，和直线相离？ (2)当R为何值时，和直线相切？ (3)当R为何值时，和直线相交？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系．根据题意画出图形，过点C作于点D，由勾股定理求出的长，再求出的长，根据直线与圆的三种位置关系进行解答即可． 【详解】（1）解：过点C作于点D，    ∵中，， ∴， ∴， ∴当，和直线相离； （2）解：当时，和直线相切； （3）解：当时，和直线相交． 13．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知的斜边，直角边，以点为圆心作． (1)当半径为________时，直线与相切； (2)当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为________； (3)当与线段没有公共点时，半径的取值范围为__________． 【答案】(1)； (2)或； (3)或． 【分析】（）如图作于，求出的值即可判断； （）当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为或 ； （）当与线段没有公共点时，半径的取值范围为或， 本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理，等面积法，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）如图作于，    在中，，，， ∴由勾股定理得， ∵， ∴， ∴当半径时，直线与相切， 故答案为：； （2）观察图形可知， 当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为或 ， 故答案为：或； （3）观察图形可知， 当与线段没有公共点时，半径的取值范围为或， 故答案为：或． 能力提升 14．（2024·河南许昌·二模）如图，平面直角坐标系中，经过三点，点D 是上的一动点．当点 D 到弦的距离最大时，点D 的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点P作于点E，作于点F，延长交于点D，此时 点 D 到弦的距离最大，利用垂径定理，勾股定理计算即可． 本题考查了直线与圆的位置关系，矩形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，熟练掌握直线与圆的位置关系，勾股定理，垂径定理是解题的关键． 【详解】解：∵点, ∴, 过点P作于点E，作于点F，延长交于点D，此时点 D 到弦的距离最大， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴点 D 到弦的距离最大为， ∴点D的坐标为， 故选A． ． 15．（2023九年级下·全国·专题练习）在中，，若与相离，则半径为r满足（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆与直线的位置关系，过C作于D，含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出的长，等积法求出的长，根据圆与直线相离得到，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过C作于D， ∵， ∴， ∵与相离， ∴半径r满足， 故选：C． 16．（2023九年级下·上海·专题练习）如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为，与相交，且点在外，那么的半径长可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相交两圆的性质，点与圆的位置关系，勾股定理等知识点，能熟记相交两圆的性质和点与圆的位置关系的内容是解题的关键 连接交于，根据勾股定理求出的长，从而求出的长，再根据相交两圆的位置关系得出的范围即可． 【详解】解：连接交于，如图，    在中，由勾股定理得：， 则， ， ， 与相交，且点在外，必须， 即只有选项B符合题意， 故选：B． 17．（21-22九年级上·安徽六安·期末）如图所示，直线与x轴、y轴分别交于点M，N，的半径为1，将以每秒1个单位的速度向右作平移运动，当移动 秒时，直线恰好与相切． 【答案】或 【分析】作EF平行于MN，且与⊙O切，交x轴于点E，交y轴于点F，设直线EF的解析式为y=x+b，由⊙O与直线EF相切结合三角形的面积即可得出关于b的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可求b值，从而得出点E的坐标，根据运动的相对性，即可得出结论． 【详解】解：作EF平行于MN，且与⊙O切，交x轴于点E，交y轴于点F，如图所示． 设直线EF的解析式为y=x+b，即x-y+b=0， ∵EF与⊙O相切，且⊙O的半径为1， ∴， 解得：b=或b=， ∴直线EF的解析式为或， ∴点E的坐标为（，0）或（，0）． 令y=x2中y=0，则x=2， ∴点M（2，0）． ∵根据运动的相对性，且⊙O以每秒1个单位的速度向右作平移运动， ∴移动的时间为秒或秒． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、一次函数图象上点的坐标特征以及平移的性质，解题的关键是求出点E、M的坐标．本题属于中档题，难度不大，解决该题时，巧妙的利用运动的相对性变移圆为移直线，降低了解题的难度． 18．（2024·浙江杭州·一模）在直角坐标系中，对于直线：，给出如下定义：若直线与某个圆相交，点的坐标为，若的半径为，直线关于的“圆截距”的最小值为，则的值为 ． 【答案】 【分析】如图所示，设直线与交于，过点作于，连接，先证明当点与点重合时，最小，即此时最小，再由求出，可得，解得． 【详解】解：如图所示，设直线与交于，过点作于，连接， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴当最小时，最大. ∵， ∴当点与点重合时，最大， ∵直线关于的“圆截距”的最小值为，即， ∴， ∴. ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，垂径定理，一次函数与几何综合，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键． 19．（2023·吉林松原·二模）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 ．    【答案】/ 【分析】分两种情况讨论：位于轴左侧和位于轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案． 【详解】解：的圆心P的坐标为， ， 的半径为2， ， ，， 当位于轴左侧且与轴相切时，平移的距离为1， 当位于轴右侧且与轴相切时，平移的距离为5， 平移的距离d的取值范围是， 故答案为：．    【点睛】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径． 20．（2023·江苏无锡·一模）如图，在矩形中，，，以为直径作，延长到点，使，点是上的动点，线段的中点为，点为上一动点． （1）直线与的位置关系为 ； （2）的最小值为 ． 【答案】 相离 17 【分析】（1）根据矩形的性质得出点到距离为，根据圆心到直线大于半径即可得出结论； （2）根据题意得出在以为圆心，为半径的圆上运动，根据轴对称的性质连接，交于点，则此时取得最小值，勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）∵在矩形中，，， ∴,点到距离为， ∵， ∴直线与的位置关系为相离， 故答案为：相离． （2）如图所示，连接， ∵，， ∴为的中点， ∵线段的中点为， ∴， 即在以为圆心，为半径的圆上运动， 作点关于的对称轴点，则 连接，交于点，则此时取得最小值， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，中位线的性质，轴对称的性质，直线与圆的位置关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 21．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，为正比例函数图象上的一个动点，的半径为，设点的坐标为．    (1)求与直线相切时点的坐标． (2)请直接写出与直线相交、相离时的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据直线和圆相切应满足圆心到直线的距离等于半径，首先求得点的横坐标，再根据直线的解析式求得点的纵坐标． （2）根据（1）的结论，即可分析出相离和相交时的取值范围． 【详解】（1）解：过作直线的垂线，垂足为； 当点在直线右侧时，，解得； ∴； 当点在直线左侧时，，得， ∴，    ∴当与直线相切时，点的坐标为或． （2）解：由（1）可知当时，与直线相交 当或时，与直线相离． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，掌握直线和圆的不同位置关系应满足的数量关系，根据数量关系正确求解是解题的关键． 拔高拓展 22．（2024·江苏宿迁·二模）在平面直角坐标系中对于已知的点C和图形W，给出如下定义：若存在过点C的直线l，使之与图形W有两个公共点P，Q，且C，P，Q三点中，某一点恰为另两点所连线段的中点，则称点C是图形W的“相合点”． (1)已知点，线段与线段组成的图形记为W； ①点中，图形W的“相合点”是　　　　　　； ②点M在直线上，且点M为图形W的“相合点”，求点M的横坐标m的取值范围； (2)的半径为r，直线与x轴，y轴分别交于点E，F，若在线段上存在外的一点P，使得点P为的相合点，直接写出r的取值范围． 【答案】(1)①；②或 (2)或 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系，坐标与图形： （1）根据点C是图形W的“相合点”的定义结合图形判断即可． （2）如图2中，图形W的“相合点”的分布情形：①在第一象限，矩形上或内部．②在第二象限，矩形上或内部．③第四象限，矩形上或内部．结合图形判断即可． （3）如图3中，以O为圆心，为半径作圆，当直线与图中圆环有交点时，满足条件．求出几种特殊情形的r的值，即可判断． 【详解】（1）解：①如图，观察图象可知是的中点，Q是的中点．是的中点，故图形W的“相合点”是，，． 故答案为：． ②如图，图形W的“相合点”的分布情形： ①在第一象限，矩形上或内部． ②在第二象限，矩形上或内部． ③第四象限，矩形上或内部． 结合图形可知，直线上图形W的“相合点”M的横坐标为或． （2）解：如图，以O为圆心，为半径作圆，当直线与图中圆环有交点时，满足条件． 当直线在第一象限与大圆相切时，则， 解得，， 当直线经过时，，解得， 观察图象可知，满足条件的r的值为：， 当直线经过时，，解得， 结合图象可知，满足条件的的值为：． 23．（23-24九年级上·北京朝阳·期末）在平面直角坐标系中，已知． 对于点给出如下定义：若，则称为线段的“等直点”． (1)当时， ①在点中，线段的“等直点”是______； ②点在直线上，若点为线段的“等直点”，直接写出点的横坐标． (2)当直线上存在线段的两个“等直点”时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，；②或 (2)且 【分析】（1）①根据题意作等腰直角，且，此时点的坐标为或点的坐标为，圆的半径为，根据点、、、到圆心的距离与半径比较，即可判断； ②作轴于点，连接，设，利用勾股定理列式计算即可求解； （2）当圆与直线相切时，直线上开始存在线段的“等直点”，再根据圆与切线的关系求出t的临界值，即可求t的取值范围． 【详解】（1）解：①∵， ∴， 作等腰直角，且， 此时， ∴点的坐标为或点的坐标为， ∴圆的半径为， ∵， ∴点是线段的“等直点”； ∵， ∴点不是线段的“等直点”； ∵， ∴点是线段的“等直点”； ∵， ∴点不是线段的“等直点”； 故答案为：，； ②作轴于点，连接， 设，则，， 在中，，即， 解得（舍去）， ∴点的横坐标为； 同理，点的横坐标为； 综上，点的横坐标为或； （2）解：作轴交x轴于点，交直线于点，作直线的垂线，垂足为点，则， ∵， ∴， ∴点的横坐标为， ∴点E的坐标为， ∴， 解得； 如图，同理求得； 当直线经过点或点时，直线上只存在线段的一个“等直点”， 此时或； 综上，的取值范围为且． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，圆周角与圆心角的性质，切线与圆的性质是解题的关键． 24．（23-24九年级下·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，A、B为平面内不重合的两个点，若Q到A、B两点的距离相等，则称点Q是线段的“似中点”． (1)已知，，在点、、、中，线段的“似中点”是点___________： (2)直线与x轴交于点M，与y轴交于点N． ①求在坐标轴上的线段的“似中点”； ②若的半径为2，圆心P为，上存在线段的“似中点”，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1)E，G (2)①或 ② 【分析】（1）分别求出各点到点A，B的距离，根据定义判断即可； （2）①先求出点，，再根据勾股定理求出，可求出，可确定“似中点”的位置，分两种情况求出坐标即可；②作出图形，G，K分别是，与垂直平分线相切的切点，连接，，则，，则，，再求出线段长，然后根据直角三角形的性质求出，，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点，，， ∴，， ∴， ∴点D不是线段的“似中点”； ∵点， ∴，， ∴， ∴点E是线段的“似中点”； ∵点， ∴，， ∴， ∴点F不是线段的“似中点”； ∵点， ∴，， ∴， ∴点G是线段的“似中点”． 故答案为：E，G； （2）解：①直线，当时，；当时，， ∴点，， ∴，， ∴，， 所求的点H是的垂直平分线l与坐标轴的交点，如图所示． ∴，． 当“似中点”在x轴上时，，则； 当“似中点”在y轴上时，，则． 所以，； ②如图所示，G，K分别是，与垂直平分线相切的切点，连接，，则，，则，． ∵，，的半径为2，， ∴，， ∴，， ∴当时，上存在线段的“似中点”． 【点睛】本题主要考查了新定义的理解，两点之间的距离公式，圆的切线的性质，勾股定理，含直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质定理，理解“到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$