24.2.2 直线和圆的位置关系（第二课时）（分层作业）-【上好课】九年级数学上册同步高效课堂（人教版）

24.2.2 直线和圆的位置关系（第二课时） 分层作业 基础训练 1．（2021九年级·浙江·专题练习）如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（　　） A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠A C．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A与AC的交点是AC中点 2．（2021·广东揭阳·一模）如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（    ） A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线 C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则 3．（23-24九年级下·吉林延边·阶段练习）如图，是的直径，与切于点，点在上，连接与交于点，过点作交的延长线于点．若，则的长为（   ） A．2 B．2 C．3 D．2 4．（2024·贵州贵阳·一模）如图，为知道一个光盘的面积，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出，则这张光盘 （包含圆孔）的面积为（   ） A． B． C． D． 5．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，为的直径延长线上的一点，与相切，切点为，点是上一点，连接．已知．下列结论：（1）与相切；（2）四边形是菱形；（3）；（4）弧弧．其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2024九年级上·全国·专题练习）如图分别切于A、B、E，，则（　　）    A． B． C． D． 7．如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于 度时，AC才能成为⊙O的切线． 8．（2024·广东·模拟预测）如图，是的直径，是上一点，过点作的切线交的延长线于点，连接，且，若，则的长为 ． 9．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，是的弦，点C在过点B的切线上，，交于点D．若，，则 ．    10．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，是的直径，与相切于点A，，的延长线交于点P，则的度数是 ． 11．（21-22九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 12．（22-23九年级上·河南濮阳·阶段练习）已知：内接于，过点A作直线． (1)如图1，为直径，要使为的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）： ①___________；②_____________． (2)如图2，是非直径的弦，，求证：是的切线． 13．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知，在中，，以为直径的与相交于点，在上取一点，使得． (1)求证：是的切线． (2)当，时，求的半径． 14．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在同心，大的直径交小于、，大的两弦、交于，且，，弦与小切于，过作于．小的半径为． (1)的长为__________； (2)试问弦与小是什么位置关系？请证明你的结论； 15．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知直线与相切于点，连接交于点． (1)如图①，点是优弧上一点，连接，若，则______； (2)如图②，延长交于点，连接，若，则______； (3)如图③，点是上一点，且，连接并延长交于点，连接，若，则______． 能力提升 16．（23-24九年级下·重庆渝中·自主招生）如图，的边经过点且与相交于点，与相切于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 17．（2024·湖北·模拟预测）如图，已知直线交于、两点，是的直径，点为上一点，且平分，过作，垂足为，且，的直径为，则的长等于（ ） A． B． C． D． 18．（2024·江苏徐州·一模）如图，，，，点在上运动，当最大时，则的长度是（    ） A．15 B．20 C． D． 19．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，，点M在以点为圆心，3为半径的圆上，点N在直线上，若是的切线，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 20．（2024·广西柳州·模拟预测）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋形”，如图，点A，B，C，D 分别是“蛋形”与坐标轴的交点，已知点 D 的坐标为，为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为，半圆半径为4．如果一条直线与“蛋形”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋形”的切线，则经过点 D 的“蛋形”切线的解析式为（    ）    A． B． C． D． 21．（21-22九年级上·福建莆田·期末）如图，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8，AB是⊙O的直径．将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形，且交⊙O于点E，交⊙O于点F，与⊙O相切于点M．下列说法正确的有 ．（只填写序号）①AE＝4；②；③；④． 22．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知点，的半径为1，切于点A，点P为上的动点，当P的坐标为 时，是等腰三角形． 23．（2024·贵州贵阳·一模）如如图，是半圆的直径，是切线，点A是半圆上一点，且，连接，，． (1)与的位置关系为________； (2)求证：； (3)若四边形是平行四边形，当时，求的值． 24．（2024·上海奉贤·三模）如图1，在边长为6的正方形中，E是边的动点，以E为圆心，为半径作圆，与相切于点F，连接并延长交于点G，连接、． (1)求证：； (2)如图2，与相交于点H，连接并延长交于点K，当满足时，试判断与的位置关系并说明理由． 拔高拓展 25．（23-24八年级下·北京海淀·期末）如图，等边三角形的边长为2，点，在上，点在内，的半径为．将绕点逆时针旋转，在旋转过程中得到两个结论：    ①当点第一次落在上时，旋转角为45°； ②当第一次与相切时，旋转角为75°． 则结论正确的是（    ） A．② B．均不正确 C．①② D．① 26．（23-24九年级上·北京房山·期末）在平面直角坐标系中，为轴正半轴上一点．已知点，，是的外接圆． （1）点的横坐标为 ； （2）若最大时，则点的坐标为 ． 27．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，是的直径，C是上的一点，过点B作的切线，过圆心O作的平行线交直线于点F，交于点E，交于点D，连接． (1)判断与的位置关系，并证明结论； (2)若四边形是平行四边形，求的值； (3)若运动后能与重合，则 ，请说明图形的运动过程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.2.2 直线和圆的位置关系（第二课时） 分层作业 基础训练 1．（2021九年级·浙江·专题练习）如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（　　） A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠A C．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A与AC的交点是AC中点 【答案】D 【分析】根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论． 【详解】解：A、∵∠A＝50°，∠C＝40°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°， ∴BC⊥AB， ∵点B在⊙A上， ∴AB是⊙A的半径， ∴BC是⊙A切线； B、∵∠B﹣∠C＝∠A， ∴∠B＝∠A+∠C， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠B＝90°， ∴BC⊥AB， ∵点B在⊙A上， ∴AB是⊙A的半径， ∴BC是⊙A切线； C、∵AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°， ∴BC⊥AB， ∵点B在⊙A上， ∴AB是⊙A的半径， ∴BC是⊙A切线； D、∵⊙A与AC的交点是AC中点， ∴AB＝AC，但不能证出∠B＝90°， ∴不能判定BC是⊙A切线； 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的判定、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识；熟练掌握切线的判定是解题的关键． 2．（2021·广东揭阳·一模）如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（    ） A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线 C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则 【答案】A 【分析】根据AB=AC，连接AD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以证明DE是⊙O的切线，可判断B选项正确； 若DE是⊙O的切线，同上法倒推可证明AB=AC，可判断D选项正确； 根据CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线，可判断C选项正确； 若，没有理由可证明DE是⊙O的切线． 【详解】解：当AB=AC时，如图：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∴CD=BD， ∵AO=BO， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线，所以B选项正确； 当DE是⊙O的切线时，如图：连接AD， ∵DE是⊙O的切线， ∴DE⊥OD， ∵DE⊥AC， ∴OD∥AC， ∴OD是△ABC的中位线， ∴CD∥BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∴AD是线段BC的垂直平分线， ∴AB=AC，所以D选项正确； 当CD=BD时，又AO=BO， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线，所以C选项正确． 若，没有理由证明DE是⊙O的切线，所以A选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 3．（23-24九年级下·吉林延边·阶段练习）如图，是的直径，与切于点，点在上，连接与交于点，过点作交的延长线于点．若，则的长为（   ） A．2 B．2 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，平行线的性质，根据切线的性质可得，再利用平行线的性质可得，从而可得，，然后利用等腰三角形的性质可得，从而可得，进而可得，即可解答． 【详解】解：与切于点， ， ∵， ， ，， ， ， ， ， 故选：C． 4．（2024·贵州贵阳·一模）如图，为知道一个光盘的面积，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出，则这张光盘 （包含圆孔）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径． 设圆的圆心为O点，过O点作垂直于三角尺的斜边于C点，连接，根据切线长定理和切线的性质得到平分，，则可计算出，再在中利用含30度角的直角三角形三边的关系得到，则利用勾股定理计算出，然后根据圆的面积公式求解． 【详解】解：设圆的圆心为O点，过O点作垂直于三角尺的斜边于C点，连接，如图， ∵和为的切线， ∴平分，， ∴， 在中，∵， ∴， ∴这张光盘 （包含圆孔）的面积． 故选：D． 5．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，为的直径延长线上的一点，与相切，切点为，点是上一点，连接．已知．下列结论：（1）与相切；（2）四边形是菱形；（3）；（4）弧弧．其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题主要考查了切线的判定与性质和全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质等知识，熟练利用全等三角形的判定与性质是解题关键． （1）利用切线的性质得出，进而得出，即可得出，得出答案即可； （2）利用（1）所求得出：，进而求出，即可得出答案； （3）利用全等三角形的判定得出，进而得出； （4）利用四边形是菱形，即可得到，弧弧． 【详解】解：（1）连接，， 与相切，切点为， ， 在和中， ， ， ， 与相切，故（1）正确； （2）由（1）得：， 在和中， ， ， ， ， 四边形是菱形，故（2）正确； （3）连接， ， ， 是直径， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的直径，不是直径， ， ，故（3）错误； （4）由（2）证得四边形是菱形， ， 弧弧， 故（4）正确；故选：C 6．（2024九年级上·全国·专题练习）如图分别切于A、B、E，，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质，三角形全等的判定与性质，四边形的内角和，根据切线的性质证明，，得到，，进而得到，再根据四边形内角和即可求解． 【详解】解：如图，连接，    ∵分别切于A、B、E， ， 在与中， ， ， ∴， 同理， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 7．如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于 度时，AC才能成为⊙O的切线． 【答案】60 【分析】由已知可求得∠OAB的度数，因为OA⊥AC，AC才能成为⊙O的切线，从而可求得∠CAB的度数． 【详解】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°， ∴， ∵当OA⊥AC即∠OAC=90°时，AC才能成为⊙O的切线， ∴当∠CAB的度数等于60°，即OA⊥AC时，AC才能成为⊙O的切线． 故答案为：60． 【点睛】本题考查了切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握切线的判定定理是解答此题的关键． 8．（2024·广东·模拟预测）如图，是的直径，是上一点，过点作的切线交的延长线于点，连接，且，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据圆周角定理及切线的性质结合，证明是等腰直角三角形，再根据直角三角形的性质即可解答． 【详解】解：是的直径， ， 是的切线， ， ， ， ， ， 又， ， 是等腰直角三角形， 为的中线， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，证明是等腰直角三角形是解题的关键． 9．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，是的弦，点C在过点B的切线上，，交于点D．若，，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是掌握切线的性质，属于中考常考题型． 由切线的性质得出，证明得出，则，最后由勾股定理进行计算即可，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造直角三角形的是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，   是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 10．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，是的直径，与相切于点A，，的延长线交于点P，则的度数是 ． 【答案】/26度 【分析】本题考查了同弧所对圆周角和圆心角的关系，切线的定义． 根据题意得出，根据切线的定义得出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵与相切于点A， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（21-22九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）连接，如图，根据圆周角定理得到，即，求得，得到，根据切线的判定定理得到答案； （2）根据勾股定理得到，求得，根据切线的性质得到根据勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵为直径， ∴，即， 又∵， ∵， ∴， ∴， 即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，是的直径， ∴是的切线， ∵CD是的切线； ∴， ∵， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论，正确的作出辅助线是解题的关键． 12．（22-23九年级上·河南濮阳·阶段练习）已知：内接于，过点A作直线． (1)如图1，为直径，要使为的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）： ①___________；②_____________． (2)如图2，是非直径的弦，，求证：是的切线． 【答案】(1)①(或)(答案不唯一) ②；(答案不唯一) (2)见解析 【分析】（1）①根据切线的判断由或可判断为的切线；②当，根据圆周角定理得，所以，即，于是也可判断为的切线； （2）作直径，连接，由为直径得，则，根据圆周角定理得，而，所以，根据切线的判定定理得到为的切线； 【详解】（1）解：①当(或)可判断为的切线； ②当， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为的切线； 故答案为∶ ①(或)(答案不唯一)、②；(答案不唯一) （2）证明：如图，作直径，连接， ∵为直径， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴为的切线； 【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理． 13．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知，在中，，以为直径的与相交于点，在上取一点，使得． (1)求证：是的切线． (2)当，时，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)1.5 【分析】本题考查切线的判定和性质，掌握切线的判定方法是解决问题的前提，转化到直角三角形中利用边角关系求解是常用的方法． （1）连接，根据切线的判定方法，只要证明即可； （2）证出是的中位线，进而求出，再在直角三角形中利用勾股定理求出半径即可． 【详解】（1）如图，连接、， 在和中， ，，， ， ， 是的切线； （2）， ， ， ， ， ， ， 又， ， 在中，由勾股定理得， ， 即：的半径为． 14．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在同心，大的直径交小于、，大的两弦、交于，且，，弦与小切于，过作于．小的半径为． (1)的长为__________； (2)试问弦与小是什么位置关系？请证明你的结论； 【答案】(1) (2)相切，证明见解析 【分析】本题考查切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，垂径定理等知识点．掌握圆的基本性质是解题的关键． （1）根据切线的性质得，证明四边形是矩形，即得得解； （2）过作于，连接，根据垂径定理得出，证明，即可证明为小的半径，证出与小相切． 【详解】（1）解：连接， ∵弦与小切于，小的半径为， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 故答案为：； （2）解：相切． 证明：过作于，连接， ∵，，， ， ， ， ∴， 即为小的半径， ∴与小相切． 15．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知直线与相切于点，连接交于点． (1)如图①，点是优弧上一点，连接，若，则______； (2)如图②，延长交于点，连接，若，则______； (3)如图③，点是上一点，且，连接并延长交于点，连接，若，则______． 【答案】(1)40 (2)30 (3)40 【分析】本题考查了切线的定义，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确画出辅助线． （1）连接，根据切线的定义得出根据圆周角定理得出，即可解答； （2）连接 根据切线的定义得出，几何圆周角定理得出，即可解答； （3）连接 易得，根据等边对等角得出，最后根据三角形的内角和定理即可解答． 【详解】（1）解：如图①，连接， 是的切线， ， ． 故答案为：40． （2）解：如图②，连接 是的切线， ， ， ， ， 又， ， ． 故答案为：30． （3）解：如图③，连接 是的切线， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：40． 能力提升 16．（23-24九年级下·重庆渝中·自主招生）如图，的边经过点且与相交于点，与相切于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质等知识点，正确地作出辅助线是解题的关键．如图：连接，根据切线的性质得到，根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 17．（2024·湖北·模拟预测）如图，已知直线交于、两点，是的直径，点为上一点，且平分，过作，垂足为，且，的直径为，则的长等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质以及垂径定理，连接，根据题意可证得，再根据角平分线的性质，得，过作，则，得四边形为矩形，设，在中，由勾股定理得，从而求得的值，由勾股定理得出的长． 【详解】连接，过作，垂足为， ， ， 平分， ， ， ∴， ， ， 四边形为矩形， ，． ， 设，则， 的直径为， ， ， 在中，由勾股定理得． 即， 解得，． 大于，故舍去， ， ，， ，由垂径定理知，为的中点， ． 故选：B． 18．（2024·江苏徐州·一模）如图，，，，点在上运动，当最大时，则的长度是（    ） A．15 B．20 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三点共圆，切线的判定，含的直角三角形，勾股定理，解题的关键是正确的作图，理解当P运动到圆上时，最大；过的中点Q作于P，由含的直角三角形的性质，可推出三点共圆，可证与圆Q相切于P，进而推出此时最大，再由勾股定理求解即可； 【详解】过的中点Q作于P，则， Q是的中点，， ， ， ，， ， ， 三点在以Q为圆心的圆上， ， 与圆Q相切与P， 此时最大， 在中，， 故选：． 19．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，，点M在以点为圆心，3为半径的圆上，点N在直线上，若是的切线，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查切线的性质，坐标与图形，勾股定理等知识，连接由点A的坐标可求出由得，由是的切线知，由勾股定理得，因为所以当最小时最小，即时最小，运用等积法求出，代入可得结论． 【详解】解：连接如图， ∵， ∴， ∵， ∴； ∴； ∵是的切线， ∴， ∴ ∵， ∴当最小时最小，即时最小， ∵ ， 又 ∴， ∴， 故选：C 20．（2024·广西柳州·模拟预测）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋形”，如图，点A，B，C，D 分别是“蛋形”与坐标轴的交点，已知点 D 的坐标为，为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为，半圆半径为4．如果一条直线与“蛋形”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋形”的切线，则经过点 D 的“蛋形”切线的解析式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、求二次函数解析式、二次函数与一元二次方程的综合等知识点，求得抛物线的 解析式成为解题的关键. 由为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为，半圆半径为4，可得点A坐标为，点B坐标为，再结合点的坐标为利用待定系数法确定抛物线解析式，过点D的“蛋圆”切线过D点，所以本题可设它的解析式为，因为相切，所以它们的交点只有一个，最后根据一元二次方程根的判别式列方程计算即可． 【详解】解：∵为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为，半圆半径为4， ∴点A坐标为，点B坐标为， ∵抛物线过点A、B、D， ∴设抛物线的解析式为， 又∵抛物线过点D ， ∴，即， ∴， ∵经过点D的“蛋圆”切线过D 点， ∴设它的解析式为， 又∵抛物线与直线相切， ∴，即只有一个解， ∴，解得：， 即经过点D的“蛋圆”切线的解析式为. 故选A. 21．（21-22九年级上·福建莆田·期末）如图，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8，AB是⊙O的直径．将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形，且交⊙O于点E，交⊙O于点F，与⊙O相切于点M．下列说法正确的有 ．（只填写序号）①AE＝4；②；③；④． 【答案】①②③④ 【分析】连接OE，OM，过点O作ON⊥AD′于点N，可得四边形OMD′N是矩形，证明OM=ND′=4，根据OA=OE，ON⊥AD′，可得AN=EN=2，进而可以判断①正确；证明△OAE是等边三角形，可得∠EOM=60°，∠BOM=60°，进而可以判断②正确；连接BF，根据AB是⊙O的直径，可得∠AFB=90°，利用含30度角的直角三角形即可判断③正确；根据∠DAB=90°，∠D′AO=60°，即可判断④正确． 【详解】解：如图，连接OE，OM，过点O作ON⊥AD′于点N， ∵D′C'与⊙O相切于点M， ∴OM⊥C′D′， ∴四边形OMD′N是矩形， ∴OM=ND′， ∵AB=8，AB是⊙O的直径， ∴OM=ND′=4， 在矩形ABCD中，由旋转可知：AD′=AD=6， ∴AN=AD′-ND′=6-4=2， ∵OA=OE，ON⊥AD′， ∴AN=EN=2， ∴AE=4，故①正确； ∵AE=AO=OE=4， ∴△OAE是等边三角形， ∴∠AOE=∠OEA=60°， ∴∠OED′=120°， ∵∠D′=∠OMD′=90°， ∴∠EOM=60°， ∴∠BOM=60°， ∴，故②正确； 如图，连接BF， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AFB=90°， ∵∠EAO=60°，∠D′AB′=90°， ∴∠BAF=30°， ∴BF=AB=4， ∴AF=，故③正确； ∵∠DAB=90°，∠D′AO=60°， ∠DAD′=30°，故④正确． 综上所述：正确的有①②③④． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，矩形的判定与性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是得到△OAE是等边三角形． 22．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知点，的半径为1，切于点A，点P为上的动点，当P的坐标为 时，是等腰三角形． 【答案】，， 【分析】根据题意画出图形，分三种情况讨论：当点P在x轴上，，，当点P是切点时，，进而可以解决问题． 【详解】解：如图，当P的坐标为，，时，是等腰三角形．理由如下： 连接， ∵，的半径为1， ∴， ∴， ∵切于点A， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，连接交x轴于点H， ∵切于点A， ∴切于点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述：当P的坐标为，，时，是等腰三角形． 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，解决本题的关键是得到是等边三角形． 23．（2024·贵州贵阳·一模）如如图，是半圆的直径，是切线，点A是半圆上一点，且，连接，，． (1)与的位置关系为________； (2)求证：； (3)若四边形是平行四边形，当时，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)4 【分析】（1）先根据切线的性质得到，然后证明即可解题； （2）根据得到，然后利用等腰三角形的性质解题即可； （3）证明，然后根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】（1）∵是切线， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵是的直径，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质与判定，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，平行四边形的性质，正确掌握切线的性质是解题的关键． 24．（2024·上海奉贤·三模）如图1，在边长为6的正方形中，E是边的动点，以E为圆心，为半径作圆，与相切于点F，连接并延长交于点G，连接、． (1)求证：； (2)如图2，与相交于点H，连接并延长交于点K，当满足时，试判断与的位置关系并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)与的位置关系是相切，理由见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，圆的切线的判定定理和性质定理，找出全等三角形是解题关键． （1）根据正方形的性质和圆的切线的性质，可证，进而推出，利用“”即可证明； （2）同（1）理可证：，推出，从而得出，证明，得到，进而得到，证明出是的切线，即可得解． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， 以E为圆心，为半径作圆，与相切于点F， ，， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：与的位置关系是相切，理由如下： 四边形是正方形， ， 同（1）理可证：， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，即， 是半径， 是的切线． 拔高拓展 25．（23-24八年级下·北京海淀·期末）如图，等边三角形的边长为2，点，在上，点在内，的半径为．将绕点逆时针旋转，在旋转过程中得到两个结论：    ①当点第一次落在上时，旋转角为45°； ②当第一次与相切时，旋转角为75°． 则结论正确的是（    ） A．② B．均不正确 C．①② D．① 【答案】A 【分析】本题考查了切线的性质，图形的旋转，熟练掌握旋转的性质，等边三角形，圆的切线性质，是解题的关键． ①当点C第一次落在上时，连接，可证明是等腰直角三角形，三点共线，再求出，可得； ②当与相切时，连接并延长与交于点M，连接，先求出，，，即可得出结论． 【详解】解：①当点C第一次落在上时， 连接，   ，， 是等腰直角三角形， ， 又， ， 是等腰直角三角形， ， 三点共线， ， ， ， ， ，故①不正确； 当与相切时，连接并延长与交于点M，连接，   是正三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当第一次与相切时，旋转角为，故②正确， 故选：A． 26．（23-24九年级上·北京房山·期末）在平面直角坐标系中，为轴正半轴上一点．已知点，，是的外接圆． （1）点的横坐标为 ； （2）若最大时，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心、切线的性质、圆周角定理，根据圆周角定理得到当与轴相切于点时，最大是解题的关键． （1）根据点、点的坐标求出的中点，根据外心的概念得到点的横坐标； （2）连接，，，过点作于点，根据垂径定理求出，根据圆周角定理和等腰三角形可得，推出，得到当与轴相切于点时，最大，进而得到四边形是矩形，推出，，，根据勾股定理计算，即可得到答案． 【详解】（1）点，， 的中点坐标为， 是的外接圆， 点在的垂直平分线上， 点的横坐标为， 故答案为:； （2）连接，，根据（1）可知点一定在直线上， 是的外接圆，为轴正半轴上， ，， 如图，过点作于点， ， ，， ， ， ， ， 当最小时，最大，即最大，即最大， 当，即当与轴相切于点时，最大， 连接， 与轴相切于点， 轴， 四边形是矩形， ，， 在中，， ， 点的坐标为， 故答案为：． 27．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，是的直径，C是上的一点，过点B作的切线，过圆心O作的平行线交直线于点F，交于点E，交于点D，连接． (1)判断与的位置关系，并证明结论； (2)若四边形是平行四边形，求的值； (3)若运动后能与重合，则 ，请说明图形的运动过程． 【答案】(1)与相切，见解析 (2) (3)1，见解析 【分析】（1）连接，证明，得出，结合切线的性质得出，即可得证； （2）根据题意作出图形，连接，证明四边形为正方形，得出，，推出，再求出，即可得解； （3）若运动后能与重合，得出必有，推出，进而得出，利用表示出和，进而求得比值，将沿直线，平移长度得，再将沿的平分线对折，则与重合． 【详解】（1）解：与相切． 理由如下：连接，如图1， ∵， ∴，， ， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 是的切线， ∴， ， 是的切线； （2）解：根据题意作出图形，如图2，连接， 四边形是平行四边形， ∴，， ， ∴，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形， 是的切线， ∴， 四边形为正方形， ，， ∴， ， ∴， ； （3）解：为直径， ， 是的切线， ∴， ∵， ∴， 若运动后能与重合， 必有， ∴， ， 连接，如图3， ∵， ∴，， ， ， ∴， ， ， ， ， ∴， ， 如图4，将沿直线，平移长度得，再将沿的平分线对折，则与重合， 故答案为：1． 【点睛】本题是圆的一个综合题，主要考查了圆的基本性质，切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，正方形的性质，平移的性质，轴对称的性质，正确作出辅助线和综合运用这些知识是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$