第十三章 轴对称 重难点练习题归纳 2024-2025学年人教版九年级数学上册

一、轴对称求坐标 1.在平面直角坐标系中，点(m, −2)与点(3, n)关于x轴对称，则m + n = ______. 2.点P (−2, 1)与点Q (a, b)关于直线y = −1对称，则点Q的坐标为（ ） A. (−2, −3) B. (−2, −1) C. (−2, −2) D. (−2, −4) 二、垂直平分线 1.兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在△ABC (  ) A. 三条中线的交点 B. 三条高的交点 C. 三条边的垂直平分线的交点 D. 三个角的角平分线的交点 2.如图，△ABC中，AB = AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的 对数是_____. 3．如图，在△ABC中，于点，且，，于点，若，，则 ． 4．如图，是的角平分线，点B在射线上，是线段的中垂线交于E，．若∠ACB=23°，∠CBE=21°，则 ． 5.如图，Rt△ABC中，∠ABC = 90 °，D是AC上一点，BC = DC，过点D作AC 的垂线交AB于点E，求证：CE垂直平分BD. 6．如图，在△ABC中， 是边上的高，为的角平分线，且，是△ABC的中线，延长到点，使得，连接，交于点，交于点，交于点． (1)试说明：； (2)若，试说明：． 3、 等腰三角形 1.等腰三角形的一个外角是70°，则它的顶角的度数为（ ） A.70° B.70°或40° C.110° D.110°或40° 2. 在平面直角坐标系xOy中，A (2, 0)，C (0, −4)，AB = AC，∠BAC = 90 °，则点B的坐标为______. 3．如图，在正方形网格中，网格的交点称为格点．已知点在格点上，若点也在格点上，使得以，，三点为顶点的三角形为等腰三角形，则符合条件的点的所有个数为（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 4．如图，在坐标系中，点O为坐标原点，点A为，若点B在坐标轴上，且使得为等腰三角形，则这样的点B有（    ）个 A．4个 B．6个 C．8个 D．12个 5.如图所示，∠AOB=60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为 ． 【等腰直角构造三垂直】 6．如图：，，且，，则点坐标为 ． 7.(1)如图，在△ABC和△ADE中，AB = AC，AD = AE，∠BAC = ∠DAE = 90 ∘ ，点D，B，C在同一条直线上，AH⊥BC于点H. ①求证：AH = 1 2 BC； ②求∠DCE的度数. (2)在△MNQ中，MN = MQ，∠NMQ = 90 ∘，在平面内有一点P，满足PQ = 3， PN = 7，∠NPQ = 90 ∘，请直接写出点M到NP的距离. 【等腰三角形中底边有中点时，连中线】 8.如图，在中，，，D为的中点，于E． (1)求的度数； (2)若，求的长． 9．如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，且．      【等腰三角形中底边无中点时，作高】 10.如图，已知，点在边上，，点在边上，，若，求的长．    【等腰三角形判定】 11.如图，在△ABC中，AB = AC，∠BAC = 36°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作 AE∥BC，交BD的延长线于点E. (1)求∠ADB的度数； (2)求证：△ADE是等腰三角形. 12.如图，在△ABC中，∠A = 60 ∘ . BE，CF交于点P，且分别平分∠ABC，∠ACB. (1)求∠BPC的度数； (2)连接EF，求证：△EFP是等腰三角形. 四、等边三角形 1．.如图所示，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，下列结论：①AE=CD；②BF=BG；③BH平分∠AHD；④∠AHC=60°；⑤△BFG是等边三角形；⑥FG∥AD，其中正确的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2.如图，等边三角形ABC的边长是3，动点E在射线AB上，动点D在射线CB上，且ED = EC，当BE = 1时，那么CD的长 为  ． 3．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内的两点，AE平分∠BAC，∠D=∠DBC=60°，若BD=5cm，DE=3cm，则BC的长是 cm． 4.如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN=AM，连结MN交AC于点P，MH⊥AC于点H。 （1）求证：MP=NP. （2）若AB=a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示） 5.在边长为9的等边三角形ABC中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，以每秒1个单位的速度从点A向点B移动，设运动 时间为t秒. (1)如图1，若BQ = 6, PQ∥AC，求t的值； (2)如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边 三角形？ 五、尺规作图 1．如图，已知，请根据下列要求进行尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． 求作，使，你的依据是________；（填“SSS、SAS、ASA或AAS”） 2．在中，． (1)尺规作图：作的角平分线； (2)求证：． 3．如图，在中， （尺规作图）作的垂直平分线交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹） 4．如图：已知和两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即，且P到两条公路的距离相等． 5.已知锐角∠AOB = 40 °，如图，按下列步骤作图： ①在OA边取一点D，以O为圆心，OD长为半径画弧MN ，交OB于点C，连接CD. ②以D为圆心，DO长为半径画弧GH，交OB于点E，连接DE.则∠CDE的度数为______. 六、最短路径（将军饮马） 1.如图，△ABC中，∠ACB = 90 ∘，∠B = 30 ∘，AC = 4cm，P为BC边的垂直平分线DE上一个 动点，则△ACP的周长最小值为______cm. 2.如图，在△ABC中，AB = AC，边AC的垂直平分线MN分别交AB、AC于点M、N，点D是边 BC的中点，点P是MN上任意一点，连接PD、PC，若∠B = α，∠CPD = β，当△PCD周长取 到最小值时, β =______(用含α的代数式表示)。 3.如图，∠AOB = 18 ∘，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动 点，记∠MPQ = α，∠PQN = β，当MP + PQ + QN最小时，则β − α =____. 4.如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上一个动点(D与B、C均不重合 ). AD = AE. ∠DAE = 60 ∘，连接CE. (1)求证：CE平分∠ACF； (2)若AB = 2，当四边形ADCE的周长取最小值时，求BD的长. 学科网（北京）股份有限公司 $$