23.2 中心对称 课件 2024—2025学年人教版数学九年级上册

23.2　中心对称 23.2.1　中心对称 知识导航 1.中心对称的概念 把一个图形绕着某一点旋转　 　,如果它能够与另一个图形　 　,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做　 　 .这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点. 注意:中心对称是特殊的旋转,其特殊性在于旋转的角度为180°. 180° 重合 对称中心 2.中心对称的性质 (1)中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过 　,而且被对称中心所　 　; (2)中心对称的两个图形是　 　; (3)关于中心对称的两个图形,对应线段 　且　 　. 对称中心 平分 全等图形 平分(或在同一直线上) 相等 典例导思 题型一 中心对称的性质 例1 如图,在△ABC 中,BC=2AB,D,E 分别是边BC,AC 的中点.将△CDE 绕点E 旋转180°,得到△AFE. [分析] (1)先证明四边形ABDF是平行四边形,再根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可;(2)连接AD,BF相交于点O.设OA=x,OB=y,构建方程组求出2xy即可解决问题. (1)判断四边形ABDF的形状,并证明; 解:(1)四边形ABDF是菱形.证明如下: ∵D,E分别是边BC,AC的中点, ∴DE∥AB,AB=2DE. 由旋转的性质,得DE=EF,点D,E,F在一条直线上, ∴AB=DF,AB∥DF, ∴四边形ABDF是平行四边形. ∵BC=2AB,BD=DC, ∴AB=BD, ∴四边形ABDF是菱形. (2)已知AB=3,AD+BF=8,求四边形ABDF的面积. (2)如答案图,连接AD,BF交于点O. ∵四边形ABDF是菱形, ∴AD⊥BF,OA=OD,OB=OF. 设OA=x,OB=y, 则有 ∴x+y=4, ∴x2+2xy+y2=16, ∴2xy=7, ∴S菱形ABDF=AD·BF=2xy=7. 跟踪训练 1.如图,已知△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称,则下列判断不正确的是 (　 　) A.OA=OA' B.∠BOC=∠B'A'C' C.AB=A'B' D.∠ABC=∠A'B'C' B 2.如图,BO是等腰三角形ABC的底边AC的中线,AC=2,BO=,△PQC与△BOC关于点C成中心对称,连接AP,则AP的长是 (　 　) A.4 B.4 C.3 D.2 D 3.如图,△ABO与△CDO关于点O成中心对称,点E,F在线段AC上,且AF=CE,连接BE,DF.求证:BE=DF,BE∥DF. ∵AF=CE,∴OF=OE, ∴四边形BEDF是平行四边形, ∴BE=DF,BE∥DF. 证明:如答案图,连接BF,DE. ∵△ABO与△CDO关于点O成中心对称, ∴OB=OD,OA=OC. 题型二 中心对称作图 例2 如图,已知等边△ABC和中心O(角平分线的交点),画出△A'B'C',使△A'B'C'和△ABC关于点O成中心对称. 解:如答案图所示.画法如下: ①连接AO并延长AO 到点A',使OA'=OA,则点A' 就是点A关于点O的对称点; ②同样作出点B的对称点B',点C 的对称点C'; ③顺次连接A'B',B'C',C'A',则△A'B'C'就是所求作的三角形. 跟踪训练 4.如图,两个半圆分别以点P,O为圆心,它们成中心对称,点A1,P,B1,B2,O,A2在同一条直线上,则对称中心为 (　 　) A.A2P 的中点 B.A1B2的中点 C.A1O 的中点 D.PO 的中点 D 5.如图,在正方形网格中,△ABC的顶点在格点上,请仅用无刻度直尺完成以下作图(保留作图痕迹). (1)在图1中,作△ABC关于点O对称的△A'B'C'; 如图. (2)在图2中,作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后,顶点仍在格点上的△AB'C'. (2)作图如答案图2所示. $$23.2.2　中心对称图形 知识导航 1.中心对称图形的定义 把一个图形绕着某一个点旋转　 　,如果旋转后的图形能够与　 　重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心. 180° 原来的图形 2.中心对称图形的性质 (1)对应点所连线段都经过　 　,并且被对称中心　 　; (2)对应线段　 　且　 　. 对称中心 平分 相等 平行(或在同一直线上) 3.中心对称与中心对称图形的区别与联系 典例导思 题型一 识别中心对称图形 例1 (1)下列四个图形中,是中心对称图形的是 (　 　) B (2)下列图形:线段、等边三角形、平行四边形、圆.其中既是轴对称图形,又是中心对称图形的个数有 (　　) A.1个　 B.2个 　 C.3个 　 D.4个 B 跟踪训练 1.下列关于数字变换的图案中,是中心对称图形,但不是轴对称图形的是 (　 　) A 2.下列图形:①平行四边形;②矩形;③菱形;④等边三角形.其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是　 　.(填序号) ②③ 题型二 作中心对称图形 例2 在如图所示的方格纸中,选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑,使之与图中阴影部分构成中心对称图形,则该小正方形的序号是 　. ② 跟踪训练 3.如图,图1和图2均是由若干个全等的小正三角形组成的网格,每个网格图中有3个小正三角形涂上阴影,请按要求在余下的小正三角形中选取一个涂上阴影. (1)使得图1中阴影部分是轴对称图形,但不是中心对称图形; 解:(1)如图,在①②③④⑤五个位置任选其一即可. (2)使得图2中阴影部分是中心对称图形,但不是轴对称图形. (2)如图,在①②两个位置任选其一即可. 4.如图,网格中的每个小正方形的边长均为1,点A,B,C在小正方形的格点上. (1)在图中确定点D,点D在小正方形的格点上,连接DC,DA,使得到的四边形ABCD为中心对称图形; 解:(1)点D的位置如答案图所示. (2)在(1)中确定点D后,在图中确定点E,点E(不与点C重合)在小正方形的格点上,连接ED,EB得到凸四边形ABED,使∠EBA=∠EDA,直接写出ED的长. (2)点E的位置如答案图所示,此时∠EBA=45°,连接EA. ∵AD 2=AE 2=12+22=5,DE 2=12+32=10, ∴AD 2+AE 2=DE 2. ∴△ADE是等腰直角三角形,且∠DAE=90°. ∴∠EDA=45°. ∴∠EDA=∠EBA,此时ED= . $$23.2.3 关于原点 对称的点的坐标 知识导航 关于原点对称的点的坐标特征 两个点关于原点对称时,它们的坐标符号　 　,即点P (x,y)关于原点的对称点为　 　. 注意:与关于x轴或y轴对称的点的坐标特征区分开. 相反 P '(-x,-y) 典例导思 题型一 求关于原点对称的点的坐标 例1 (1)已知点A(2,2),如果点A关于x 轴的对称点是点B,点B 关于原点的对称点是点C,那么点C 的坐标是 (　　) A.(2,2) B.(-2,2) C.(2,-2) D.(-2,-2) B (2)若点A(-4+2m,1-2m)关于原点对称的点在第一象限,则m的取值范围是 (　　) A.m>2 B.m< C<m<2 D.-2<m< (3)若点M(3,a-2),N(b,a)关于原点对称,则a+b=　 　. C -2 跟踪训练 1.已知点P(1,a-2)在x轴上,则点Q(-1,a)关于原点对称的点的坐标为 (　　) A.(1,2) B.(1,-2) C.(-1,-2) D.(-1,2) B 2.(1)若点P(a-1,5)与点Q(5,1-b)关于原点成中心对称,则a+b=　 　; (2)若点P(5-a,a+3)关于原点对称的点在第三象限,则a的取值范围为　 　. 2 -3<a<5 题型二 利用关于原点对称的点的坐标特征作图 例2 如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(-2,3),B(-3,1),C(-1,2). (1)将△ABC向右平移4个单位长度,画出平移后的△A1B1C1; (2)画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2; (3)将△ABC绕原点O旋转180°,画出旋转后的△A3B3C3; (1)(2)(3)如图所示. (4)在△A1B1C1,△B2C2和△A3B3C3中,　 　与 　 　成轴对称,对称轴是 　; 　 　与　 　成中心对称,对称中心的坐标是　 　. △A2B2C2 y轴 (2,0) △A3B3C3 △A1B1C1 △A3B3C3 跟踪训练 3.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别是A(0,4),B(0,2),C(3,2). (1)画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1; 解:(1)△A1B1C1如图所示. (2)将△ABC平移后得到△A2B2C2,若点A的对应点A2的坐标为(2,2),求△A1C1C2的面积. (2)由(1)得,A1(0,-4),C1(-3,-2). ∵△ABC平移后点A的对应点A2的坐标为(2,2), ∴易得C2(5,0).△A1C1C2如图所示. ∴=4×8-×2×8-×3×2-×5×4=11. $$