23.1 图形的旋转 课件 2024—2025学年人教版数学九年级上册

23.1　图形的旋转 第1课时　图形的旋转(1) 知识导航 1.旋转的定义 把一个平面图形绕着平面内某一点O　 　,叫做图形的　 　,点O叫做　 　,转动的角叫做 　.如果图形上的点P经过旋转变为点P',那么这两个点就叫做这个旋转的　 　. 旋转 转动一个角度 旋转中心 旋转角 对应点 注意:(1)旋转只改变图形的位置,不改变图形的形状和大小; (2)旋转三要素: ①旋转中心(只有一个,可以是任意位置); ②旋转方向(顺时针方向或逆时针方向); ③旋转角(小于360°的角). 2.旋转的性质 (1)对应点到旋转中心的距离　 　; (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于　 　; (3)旋转前、后的图形　 　. 相等 旋转角 全等 典例导思 题型一 旋转的定义 例1 如图,C是线段AB上一点,△ACD和△BCE都是等边三角形,△DCB经过旋转后得到△ACE. (1)请指出旋转中心是哪一点; 解:(1)旋转中心是点C. (2)旋转了多少度? (3)图中还存在是旋转关系的三角形吗? (2)逆时针旋转了60°. (3)存在,△PCE与△QCB、△APC与△DQC是旋转关系. 跟踪训练 1.如图,将方格纸中的图形绕点O逆时针旋转90°后得到的图形是 (　 　) B 2.如图,将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°,得到△DEC,连接AD.若∠BAC=25°,则∠BAD=　 　. 70° 题型二 旋转性质的运用 例2 (1)如图,将△AOB绕点O逆时针旋转30°后得到△COD.若CD恰好经过点A,且OC⊥OB,则∠B的度数为　 　 ; 45° (2)如图,在△ABC中,∠BCA=90°,将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE处,分别延长BC与ED交于点F,连接AF,CE.若S四边形ABFD=12,AC=4,求CE的长. 解:由旋转的性质,可得S△ADE=S△ABC,∠AEF=∠ACB=90°,AC=AE. ∵S四边形ABFD=12, ∴S四边形ACFD+S△ABC=12, ∴S四边形ACFD+S△ADE=12, ∴S四边形ACFE=12. 又∵AC=AE,AF=AF,∴Rt△ACF≌Rt△AEF(HL), ∴CF=EF,S△ACF=S△AEF=S四边形ACFE=6, ∴S△ACF=AC·CF=6, ∴CF=3. 在Rt△ACF中,由勾股定理,得 AF==5. ∵AC=AE,CF=EF, ∴AF垂直平分CE,即AF⊥CE,CG=EG, ∴S△ACF=AF·CG=6, ∴CG=, ∴CE=2CG=. 3.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC绕点A旋转至△AEF的位置,延长BC交EF于点D.若BD=10,BC=8,则DE的长为 (　　) A.9 B.6 C.8 D.7 B 4.如图,在△ABC中,∠CAB=65°,将△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AED的位置,使CD∥AB,则旋转角的度数为　 　. 50° 5.如图,点M,N分别在正方形ABCD的边BC,CD上,且∠MAN=45°.把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE. (1)求证:△AEM≌△ANM; (1)证明:由旋转的性质,可得△ADN≌△ABE, ∴∠DAN=∠BAE,AN=AE. ∵∠DAB=90°,∠MAN=45°, ∴∠MAE=∠BAE+∠BAM= ∠DAN+∠BAM=90°-45°=45°, ∴∠MAE=∠MAN. 又∵MA=MA, ∴△AEM≌△ANM(SAS). (2)若BM=3,DN=2,求正方形ABCD的边长. (2)解:设BC=CD=x, 则CM=x-3,CN=x-2. ∵△AEM≌△ANM,∴ME=MN. ∵△ADN≌△ABE,∴BE=DN=2, ∴MN=ME=BM+BE=5. ∵∠C=90°,∴MN2=CM2+CN2, 即25=(x-3)2+(x-2)2, 解得x=6或x=-1(舍去), ∴正方形ABCD的边长为6. $$23.1　图形的旋转 第2课时　图形的旋转(2) 知识导航 旋转作图的一般步骤: (1)确定旋转中心、旋转角、旋转方向; (2)找出图形的关键点; (3)作出关键点经旋转后的对应点; (4)按图形的顺序连接所作的点,得到旋转后的图形. 典例导思 题型一 旋转作图 例1 如图,作出△ABC绕点O顺时针旋转60°后的三角形. 解:如答案图所示,△DEF 即为所求作.画法如下: ①连接OA,OB,OC; ②分别以OA,OB,OC 为一边按顺时针方向作∠AOD,∠BOE,∠COF,使得∠AOD=∠BOE=∠COF=60°; ③分别在射线OD,OE,OF上截取OD=OA,OE=OB,OF=OC; ④连接DE,EF,FD,则△DEF就是△ABC绕点O顺时针旋转60°后的三角形. 跟踪训练 1.如图,Rt△OCB的斜边在y 轴上,OC=,含30°角的顶点与原点重合,直角顶点C在第二象限.将Rt△OCB绕原点O 顺时针旋转120°后得到△OC'B',则点B的对应点B'的坐标是 (　 　) A.(,-1) B.(1,-) C.(2,0) D.(,0) A 2.(1)在如图所示的网格中画出△ABC 绕点P 顺时针旋转180°后的图形△A'B'C'; 解:(1)作图如图所示. (2)当平面直角坐标系中每个小正方形的边长均为1个单位长度时,写出点C,P,C'的坐标;并观察和思考点C,P,C'的横坐标之间的数量关系,纵坐标之间是否也有相同的数量关系呢?请用等式表示出来; (2)C(-1,2),P(1,1),C'(3,0). 点C,P,C'的横坐标之间的数量关系为=1,纵坐标之间的数量关系为=1. (3)根据(2)的数量关系求点D (x1,y1)和点D' (x2,y2)所连线段DD' 的中点M 的坐标.(用含x1,y1,x2,y2的式子表示) (3)根据(2)的数量关系,可得线段DD' 的中点M的坐标为. 题型二 利用旋转设计图案 例2 按下面的要求画图: 将(1)中的图案沿虚线翻折到(2)的方格中; 将翻折后的图案向右平移到(3)的方格中; 将平移后的图案绕点P 旋转180°到(4)的方格中. 解:如图所示. 跟踪训练 3.如图所示的图案是由六个全等的菱形拼成的,它也可以看作是以一个图案为“基本图案”,通过旋转得到的.下列图案中,不能作为“基本图案”的是 (　 　) B 题型三 利用旋转思想作辅助线问题 例3 已知△ABC是等腰三角形,AB=AC. (1)特殊情形:如图1,当DE∥BC时,有DB　　　EC(填“>”“<”或“=”); = (2)发现探究:若将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α(0°<α<180°)到图2位置,则(1)中的结论还成立吗?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由; 解:(2)成立.证明如下: 在图1中,∵DE∥BC, ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C. 又∵AB=AC,∴∠B=∠C, ∴∠ADE=∠AED,∴AD=AE. 由旋转的性质,得∠DAB=∠EAC. 易证△DAB≌△EAC,∴DB=EC. (3)拓展运用:如图3,P是等腰Rt△ABC内的一点,∠ACB=90°,且PB=1,PC=2,PA=3,求∠BPC的度数. (3)如答案图,将△CPB绕点C顺时针旋转90°得到△CEA,连接PE,则△CPB≌△CEA, ∴CP=CE=2,BP=AE=1,∠PCB=∠ECA, ∴∠PCE=90°, ∴∠CEP=∠CPE=45°, PE==2. 在△PEA中,PE2+AE2=9=AP2, ∴△PEA是直角三角形,且∠PEA=90°, ∴∠AEC=∠CEP+∠PEA=135°. 又∵△CPB≌△CEA, ∴∠BPC=∠AEC=135°. [方法点拨] 在有公共端点的等长线段的条件中,经常把含等长线段的三角形绕公共端点旋转来作辅助线,把题目中的条件进行转化而求解. 跟踪训练 4.如图,点P是等边三角形ABC内的一点,PA=,PB=3,PC=2,则S△ABP+S△BCP=  　,AB的长为  　. $$