24.4 解直角三角形 课件 2024-2025学年华东师大版数学九年级上册

24.4　解直角三角形 第1课时　解直角三角形(一) 1.解直角三角形的概念:在直角三角形中,由已知元素求出未知元素的过程,叫做解直角三角形.   3.解直角三角形的基本类型及其解法总结: 在Rt△ABC中,∠C=90° 已知 选择的边角关系 斜边和一直角边 c、a 两直角边 a、b 斜边和一锐角 c、∠A ∠B=90°-∠A; a=c·sinA; b=c·cosA 一直角边和 一锐角 a、∠A 注意:(1)在处理非直角三角形问题时,一般是通过作三角形的高构造直角三角形来解决问题,作高的顶点一般选择非特殊角顶点; (2)解直角三角形时一般遵循“有弦用弦,无弦用切,宁乘勿除,取原(原始数据)避中(中间数据)”的原则. 解直角三角形 在Rt△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,解下列直角三角形: (1)c=8,∠A=60°;       如图,在△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,D是边AB上一点,∠BDC=45°,AD=4.求BC的长.   1.在△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,下列各式成立的是 (　D　)   A.b=asinA B.a=bcosA C.b=atanA D.b=atanB 春春错春春春错春     (第2题) 春春错春春春错春   (第3题)   解直角三角形的应用         (答案图)   春春错春春春错春   春春错春春春错春 春春错春春春错春 利用解直角三角形解决方位角问题   (1)求CD的距离(结果保留根号);   (2)该公交车原计划由D→C行驶,其平均速度为400米/分,但当行驶到D点时,接到通知,DC段道路正在维修,需要沿D→A→C绕道行驶,为了尽快到达C站点,绕道时其平均速度提升到500米/分.那么原计划所用时间和实际所用时间相比,哪个更少?请说明理由(结果保留1位小数).     春春错春春春错春 7.五一假期,不少人选择乘坐飞机出游,妈妈和小明从航站楼入口点B处前往登机口点A处登机.已知点A位于点B东北方向且AB=100米.点B的正东方向有另一入口点C,商店D位于点C的正北方向,同时位于点A的南偏东60°方向,AD=40米. (1)求两个入口BC的距离(结果保留根号);       $$ 第2课时　解直角三角形(二) 仰角和俯角:如图,在进行测量时,从下向上看,视线与水平线的夹角叫做　仰角　;从上往下看,视线与水平线的夹角叫做　俯角　.  春春错春春春错春 春春错春春春错春 利用解直角三角形解决仰角、俯角问题 (1)如图,两栋大楼相距100 m,从甲楼顶部看乙楼的仰角为26°,若甲楼高为36 m,则乙楼的高度为 (　B　)   春春错春春春错春 (2)如图,小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC,并测得B、C两点的俯角分别为45°、35°.已知大桥BC与地面在同一水平面上,其长度为100 m,则热气球离地面的高度为　233　m.(结果保留整数,参考数据:sin35°≈0.57,cos35°≈0.82,tan35°≈0.70)  春春错春春春错春 如图,明明在居民楼ABCD前面空旷的广场上放飞无人机.已知居民楼高90米(AB=90米),明明站在广场上的点E处测得点A的仰角为45°,点E、B、C在同一水平线上,然后,明明将无人机竖直向上飞到点F处,此时测得点A的俯角为30°.(不考虑明明的身高) (1)求无人机竖直飞行的高度;(结果保留根号)       1.小艺同学在数学实践活动中测量树的高度,如图,她站在A 处看树顶端B 的仰角为35°,眼睛到地面的距离CA 为1.6 m,点A 到树的距离AD 为7 m,则树的高BD 约为(　C　) (结果精确到0.1 m,参考数据:sin35°≈0.6,cos35°≈0.8,tan35°≈0.7) A.4.9 m B.5.8 m C.6.5 m D.7.2 m 春春错春春春错春   春春错春春春错春   (1)求斜坡CD的高度DE(结果精确到十分位);   (2)求大楼AB的高度(结果精确到十分位).   利用解直角三角形解决其他问题 如图是儿童游乐场里的一个娱乐项目转飞椅的简图,该设施上面有一个大圆盘(圆盘的半径是OA=3.5米),圆盘离地面的高度OO1=6.5米,且OO1⊥地面l,圆盘的圆周上等间距固定了一些长度相等的绳子,绳子的另一端系着椅子(将椅子看作一个点,比如图中的点B和B1),当旋转飞椅静止时绳子是竖直向下的,如图中的线段AB,绳长为4.8米固定不变.当旋转飞椅启动时,圆盘开始旋转从而带动绳子和飞椅一起旋转,旋转速度越大,飞椅转得越高,当圆盘旋转速度达到最大时,飞椅也旋转到最高点,此时绳子与竖直方向所成的夹角为α=57°.(参考数据:sin57°≈0.84,cos57°≈0.54,tan57°≈1.54) (1)求飞椅离地面的最大距离(结果保留一位小数); 解:(1)如答案图,设过A1的铅垂线交l于点D,过点B1作B1C1⊥A1D,B1D1⊥l,则四边形B1D1DC1是矩形, ∴B1D1=C1D. ∵当圆盘旋转速度达到最大时,飞椅也旋转到最高点,此时绳子与竖直方向所成的夹角为α=57°,即∠B1A1C1=57°, 由题意可知,A1D=OO1=6.5米. 在Rt△A1B1C1中,∠B1A1C1=57°,A1B1=4.8米, ∴A1C1=A1B1·cos57°≈2.6米, ∴飞椅离地面的最大距离为 B1D1=C1D=A1D-A1C1=6.5-2.6=3.9(米). (2)根据有关部门要求,必须在娱乐设施周围安装安全围栏,而且任何时候围栏和飞椅的水平距离必须超过2米.已知该旋转飞椅左侧安装有围栏EF,且EF⊥l,O1E=9.8米,请问圆盘最大旋转速度的设置是否合规?并说明理由. (2)当圆盘旋转速度达到最大时,α=57°, 由(1)可知,B1C1=D1D=A1B1·sin57°≈4米. 由题意可知,O1E=9.8米,DO1=OA=3.5米, ∴围栏和飞椅的水平距离为 ED1=EO1-D1D-DO1=9.8-4-3.5=2.3(米). ∵2.3>2,∴圆盘最大旋转速度的设置合规. 4.(2023·绍兴)图1是某款篮球架,图2是其示意图,立柱OA垂直地面OB,支架CD与OA交于点A,支架CG⊥CD交OA于点G,支架DE平行地面OB,篮筐EF与支架DE在同一直线上,OA=2.5米,AD=0.8米.∠AGC=32°. (1)求∠GAC 的度数; 解:(1)∵ CG⊥CD,∴ ∠ACG=90°. ∵∠AGC=32°,∴ ∠GAC=58°. (2)某运动员准备给篮筐挂上篮网,如果他站在凳子上,最高可以把篮网挂到离地面3米处,那么他能挂上篮网吗?请通过计算说明理由.(参考数据:sin32°≈0.53,cos32°≈0.85,tan32°≈0.62) (2)该运动员能挂上篮网,理由如下: 如图,延长OA、ED交于点M. ∵OA⊥OB,∴∠AOB=90°. ∵DE∥OB,∴∠DMA=∠AOB=90°. ∵∠GAC=58°,∴∠DAM=∠GAC=58°, ∴∠ADM=32°. 在Rt△ADM中,AD=0.8米, ∴AM=AD·sin32°≈0.8×0.53=0.424(米), ∴OM=OA+AM=2.5+0.424=2.924(米). ∵2.924米<3米,∴该运动员能挂上篮网. $$ 第3课时　解直角三角形(三)   春春错春春春错春 春春错春春春错春 利用解直角三角形解决坡度、坡角问题       春春错春春春错春 2.(2023·湖北)为了防洪需要,某地决定新建一座拦水坝,如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD,斜面坡度i=3∶4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF 的比.已知斜坡CD 的长度为20米,∠C=18°,求斜坡AB 的长.(结果精确到0.1米,参考数据:sin18°≈0.31,cos18°≈0.95,tan18°≈0.32)   解直角三角形的综合应用   (1)求山顶C到AB的距离(结果保留整数);   (2)若小明和小红分别从点A、点B同时出发,小明的爬山速度为70米/分,小红的爬山速度为60米/分(小红在山坡BD、山坡EC段的速度相同),小红的平路速度为90米/分,请问谁先到达山顶C处?请通过计算说明理由.     春春错春春春错春   (1)求点F 到直线CE 的距离;(结果保留根号)       $$