第11讲 单调性与最大（小）值（3个知识点+2个要点+2个易错点+6种题型+过关检测）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019必修一）

第11讲 单调性与最大（小）值（3个知识点+2个要点+2个易错点+6种题型+过关检测） 知识点1：函数的单调性 1.函数的单调性 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D：如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增． 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数． 如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减． 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数． 注意点： (1)区间I可以是整个定义域D，也可以是定义域的真子集． (2)同区间性，即x1，x2∈I. (3)任意性，即不可以用区间I上的特殊值代替． (4)有序性，即要规定x1，x2的大小． (5)“单调递增(递减)”“x1，x2的大小”“f(x1)与f(x2)的大小”知二求一． (6)单调递增(递减)是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质． 2.由函数单调性求参数范围的处理方法 (1)由函数解析式求参数 若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件． 若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性． 若为分段函数——数形结合，每一段的函数的单调性均要考虑，并注意临界值的大小．探求参数满足的条件． (2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”去掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域． 知识点2：函数单调性的判断与证明 利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值并规定大小：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2. (2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)(或f(x2)－f(x1))，并通过因式分解、通分、配方、有理化等方法，转化为易判断正负的关系式． (3)定号：确定f(x1)－f(x2)(或f(x2)－f(x1))的符号，当符号不确定时，进行分类讨论． (4)结论：根据定义确定单调性． 知识点3：函数的最大（小）值 1.函数的最值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足： (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M. 那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值． 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足： (1)∀x∈D，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M. 那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值． 注意点： (1)最大(小)值的几何意义：最高(低)点的纵坐标． (2)并不是所有的函数都有最大(小)值，比如y＝x，x∈R. (3)一个函数至多有一个最大(小)值． (4)研究函数最值需先研究函数的定义域和单调性． (5)对于定义域内的任意x都满足f(x)≤M(f(x)≥M)，那么M不一定是函数f(x)的最大(小)值，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大(小)值，否则不是．比如f(x)＝－x2≤3成立，但3不是f(x)的最大值，0才是它的最大值． 2.图象法求函数最值的一般步骤 3.利用单调性求最值的一般步骤 ①判断函数的单调性．②利用单调性写出最值． 4.函数的最值与单调性的关系 ①若函数在闭区间[a，b]上单调递减，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)． ②若函数在闭区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)． ③求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值． 要点1：复合函数的单调性 复合函数的单调性:一般地,对于复合函数y=f(g(x)),单调性如下表所示,简记为“定义域优先,同增异减”,即内层函数与外层函数单调性相同时,复合函数为增函数;内层函数与外层函数单调性不同时,复合函数为减函数, 若一个函数是由多个简单函数复合而成的则此复合函数的单调性由简单函数中减函数的个数决定.若减函数有偶数个,则这个复合函数为增函数;若减函数有奇数个,则这个复合函数为减函数. 【方法总结】判断复合函数单调性的步骤:先求函数的定义域,接着分解复合函数,再判断每一层函数的单调性,最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性 要点2：抽象函数的单调性 抽象函数是指没有给出具体解析式的函数 判断抽象函数单调性的方法: (1)凑:凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论; (2)赋值:给变量赋值要根据条件与结论的关系,有时可能要进行多次尝试, 题型1：利用定义法判断或证明函数的单调性 【例题1】（22-23高一上·北京·期中）函数在是减函数，且，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，在区间上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·河南郑州·期中）函数在区间内的单调性是 . 【变式3】（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 题型2：求函数的单调区间或判断函数的单调性 【例题2】（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）函数的单调增区间是（   ）. A． B． C． D．， 【变式1】（22-23高一上·天津和平·期中）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D．， 【变式2】（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）函数的单调增区间是 ． 【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）画出下列函数的图象，并写出它的单调区间． (1)； (2)． 题型3：函数单调性的应用 【例题3】（23-24高一上·河南·期中）已知函数在区间上单调递减，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·上海·课后作业）函数在上是严格增函数，且，则（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）函数在上是严格增函数，且，则的取值范围是 ． 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知函数在区间上是严格减函数，求实数的取值范围． 题型4：求函数的最值 【例题4】（24-25高一上·全国·随堂练习）函数在上的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式1】（多选）（24-25高一上·上海·随堂练习）下列选项正确的是（    ）． A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【变式2】（23-24高一上·浙江宁波）函数的最大值为 . 【变式3】（24-25高一上·全国·课堂例题）已知函数，，求函数的最小值． 题型5：含参数的最值问题 【例题5】（23-24高一上·广东湛江·阶段练习）若不等式对一切成立，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 【变式1】（22-23高一上·河南安阳·期中）设函数，若存在最大值，则实数的取值范围为 ． 【变式2】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数，求在上的最大值与最小值． 【变式3】（2020高一·上海·专题练习）求函数(a为常数)在上的最值. 题型6：恒成立与能成立问题 【例题6】（23-24高一上·浙江绍兴·期中）若存在，有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·浙江·期末）已函数，若对于定义域内任意一个自变量都有，则的最大值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【变式2】（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数和，若在上恒成立，则 ， ． 【变式3】（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知函数． (1)若存在，使得成立，求实数a的取值范围； (2)若对任意的，任意的，恒成立，求实数的取值范围． 易错点1：忽视函数的定义域 【例题1】（23-24高一上·湖北十堰·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·江西抚州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024高一·全国·专题练习）函数的单调区间为 【变式3】（21-22高一上·上海浦东新·阶段练习）已知函数 (1)求函数的单调区间并予以证明； (2)求函数的最值． 易错点2：对单调区间和在区间上单调这两个概念理解错误 【例题2】（23-24高一上·吉林·阶段练习）如果函数在区间上单调递增.那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数，在上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·山西临汾·阶段练习）已知函数的单调递减区间为，则实数的值为 . 【变式3】（23-24高一上·辽宁铁岭·期中）判断函数的单调递减区间并加以证明. 一、单选题 1．（22-23高一上·山东日照·阶段练习）函数在上是减函数．则（　　） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京·期中）函数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 3．（24-25高一上·全国·课后作业）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）函数在上是单调函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C．和 D．和 6．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，则函数（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 8．（23-24高一上·上海·期末）已知函数的定义域为，给定下列四个语句： ①在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数； ②在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数； ③在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数； ④在区间上是严格增函数，且是奇函数. 其中是“函数在上是严格增函数”的充分条件的有（    ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 9．（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）已知函数在区间上单调，则实数m的值可以是（    ） A．2 B．7 C．14 D．20 10．（22-23高一上·江苏常州·期末）已知函数的最小值为，则的可能取值是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 11．（23-24高一上·吉林白山·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．若对于，，，都有，则函数在上是增函数 B．若对于，，，都有，则函数在上是增函数 C．若对于，都有成立，则函数在上是增函数 D．若对于，都有，为增函数，则函数在上也是增函数 三、填空题 12．（23-24高一上·上海松江·期末）已知关于的不等式有实数解，则实数的取值范围是 . 13．（23-24高一上·上海·期中）对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 14．（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）已知正实数满足，且对任意恒成立，则实数的最小值是 . 四、解答题 15．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间上的最大值和最小值． 16．（23-24高一上·全国·期末）已知函数． (1)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； (2)求函数的值域． 17．（23-24高一上·重庆永川·期中）已知二次函数的最小值为1，且． (1)求的解析式； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． (3)若在区间上不单调，求实数的取值范围； 18．（23-24高一上·重庆·期中）已知二次函数满足：且． (1)求的解析式； (2)若在区间上单调递增，求实数的取值范围． 19．（23-24高一上·湖北荆州·期中）已知函数. (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，函数在有解，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 单调性与最大（小）值（3个知识点+2个要点+2个易错点+6种题型+过关检测） 知识点1：函数的单调性 1.函数的单调性 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D：如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增． 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数． 如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减． 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数． 注意点： (1)区间I可以是整个定义域D，也可以是定义域的真子集． (2)同区间性，即x1，x2∈I. (3)任意性，即不可以用区间I上的特殊值代替． (4)有序性，即要规定x1，x2的大小． (5)“单调递增(递减)”“x1，x2的大小”“f(x1)与f(x2)的大小”知二求一． (6)单调递增(递减)是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质． 2.由函数单调性求参数范围的处理方法 (1)由函数解析式求参数 若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件． 若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性． 若为分段函数——数形结合，每一段的函数的单调性均要考虑，并注意临界值的大小．探求参数满足的条件． (2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”去掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域． 知识点2：函数单调性的判断与证明 利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值并规定大小：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2. (2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)(或f(x2)－f(x1))，并通过因式分解、通分、配方、有理化等方法，转化为易判断正负的关系式． (3)定号：确定f(x1)－f(x2)(或f(x2)－f(x1))的符号，当符号不确定时，进行分类讨论． (4)结论：根据定义确定单调性． 知识点3：函数的最大（小）值 1.函数的最值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足： (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M. 那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值． 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足： (1)∀x∈D，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M. 那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值． 注意点： (1)最大(小)值的几何意义：最高(低)点的纵坐标． (2)并不是所有的函数都有最大(小)值，比如y＝x，x∈R. (3)一个函数至多有一个最大(小)值． (4)研究函数最值需先研究函数的定义域和单调性． (5)对于定义域内的任意x都满足f(x)≤M(f(x)≥M)，那么M不一定是函数f(x)的最大(小)值，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大(小)值，否则不是．比如f(x)＝－x2≤3成立，但3不是f(x)的最大值，0才是它的最大值． 2.图象法求函数最值的一般步骤 3.利用单调性求最值的一般步骤 ①判断函数的单调性．②利用单调性写出最值． 4.函数的最值与单调性的关系 ①若函数在闭区间[a，b]上单调递减，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)． ②若函数在闭区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)． ③求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值． 要点1：复合函数的单调性 复合函数的单调性:一般地,对于复合函数y=f(g(x)),单调性如下表所示,简记为“定义域优先,同增异减”,即内层函数与外层函数单调性相同时,复合函数为增函数;内层函数与外层函数单调性不同时,复合函数为减函数, 若一个函数是由多个简单函数复合而成的则此复合函数的单调性由简单函数中减函数的个数决定.若减函数有偶数个,则这个复合函数为增函数;若减函数有奇数个,则这个复合函数为减函数. 【方法总结】判断复合函数单调性的步骤:先求函数的定义域,接着分解复合函数,再判断每一层函数的单调性,最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性 要点2：抽象函数的单调性 抽象函数是指没有给出具体解析式的函数 判断抽象函数单调性的方法: (1)凑:凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论; (2)赋值:给变量赋值要根据条件与结论的关系,有时可能要进行多次尝试, 题型1：利用定义法判断或证明函数的单调性 【例题1】（22-23高一上·北京·期中）函数在是减函数，且，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数单调性的定义依次判断各个选项即可. 【详解】在上是减函数，， ，A正确；，B正确； 又，，，C正确，D错误. 故选：D. 【变式1】（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，在区间上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用函数单调性定义可判断得结果. 【详解】选项A：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为减函数，故A正确； 选项B：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故B错误； 选项C：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故C错误； 选项D：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故D错误； 故选：A. 【变式2】（23-24高一上·河南郑州·期中）函数在区间内的单调性是 . 【答案】单调递减 【分析】化简函数解析式，用定义证明函数的单调性即可. 【详解】因为， ，且，则 ， 由，则， 于是， ，即， 所以在单调递减. 故答案为：单调递减. 【变式3】（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 【分析】（1）由配凑法可得函数解析式； （2）根据函数单调性的定义证明即可. 【详解】（1）因为， 所以. （2）在上单调递减. 证明如下： 令，则， ， 即， 所以在上单调递减 题型2：求函数的单调区间或判断函数的单调性 【例题2】（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）函数的单调增区间是（   ）. A． B． C． D．， 【答案】D 【分析】首先求出函数的定义域，再根据反比例函数的性质及函数的变换规则判断即可. 【详解】函数的定义域为， 又的图象是由向右平移个单位而来， 的单调递增区间为，， 所以的单调递增区间为，. 故选：D 【变式1】（22-23高一上·天津和平·期中）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D．， 【答案】D 【分析】由对勾函数的单调性求解即可. 【详解】函数为对勾函数， 由对勾函数的性质知，函数的单调递减区间为：，. 不能选C，因为不满足减函数的定义. 故选：D. 【变式2】（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）函数的单调增区间是 ． 【答案】 【分析】求出函数的定义域，利用复合函数“同增异减”的性质即可求得其单调增区间. 【详解】由题意可知，解得，即函数定义域为， 易知函数由复合而成， 且在单调递减，在单调递增，在上单调递减； 利用复合函数单调性可得的单调增区间是 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）画出下列函数的图象，并写出它的单调区间． (1)； (2)． 【答案】(1)作图见解析，单调递增区间为，单调递减区间为． (2)作图见解析，单调递增区间为和，单调递减区间为和． 【分析】（1）先画出的图象，再将轴下方的图象沿轴翻折即可得到的图象； （2）先画出的图象，再将轴下方的图象沿轴翻折即可得到的图象. 【详解】（1）先画出的图象，再将轴下方的图象沿轴翻折即可得到的图象， 函数的图象如图所示，   的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）先画出的图象，再将轴下方的图象沿轴翻折即可得到的图象， 函数图象如图所示，     的单调递增区间为和，单调递减区间为和． 题型3：函数单调性的应用 【例题3】（23-24高一上·河南·期中）已知函数在区间上单调递减，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的周期性，把函数放在同一单调区间内，再利用单调性比较大小即可. 【详解】因为，所以. 因为在区间上单调递减，所以，即. 故选：A 【变式1】（24-25高一上·上海·课后作业）函数在上是严格增函数，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用严格增函数的性质，结合不等式性质解题即可. 【详解】由知且，由在上是严格增函数， 故，，故． 故选：A. 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）函数在上是严格增函数，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数单调性列出不等式即可求解. 【详解】因为函数在上是严格增函数，且， 所以，解得. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知函数在区间上是严格减函数，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】对分类讨论，再结合一次、二次函数的性质列不等式组即可求解. 【详解】因为在区间上是严格减函数，所以为函数严格减区间的子集． ①当时，在区间上是严格减函数，∴满足题意； ②当时，的减区间为，则有，解得； ③当时，的减区间为，则有，解得． 综上，实数的取值范围为． 题型4：求函数的最值 【例题4】（24-25高一上·全国·随堂练习）函数在上的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知函数在上单调递减，结合单调性求最值. 【详解】因为在上单调递增，且恒成立， 可知函数在上单调递减， 当时，，所以函数在上的最小值为. 故选：B. 【变式1】（多选）（24-25高一上·上海·随堂练习）下列选项正确的是（    ）． A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】D 【分析】利用基本不等式“一正、二定、三相等”的条件判断AB；借助对勾函数单调性判断CD. 【详解】对于A，当与为负数时，显然不成立，A不正确； 对于B，当x为负数时，显然不成立，B不正确； 对于C，令，所以的最小值为3， 当且仅当时，取到最小值，C不正确； 对于D，，令，函数在上递增， 因此当，即时，取得最小值，D正确. 【变式2】（23-24高一上·浙江宁波）函数的最大值为 . 【答案】/ 【分析】首先将函数化简，利用对勾函数的单调性，即可求函数的最值. 【详解】， 设，而在上单调递增， 所以，当且仅当时等号成立， 则. 所以函数的最大值为. 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·全国·课堂例题）已知函数，，求函数的最小值． 【答案】 【分析】分别在，，条件下研究函数在区间上的单调性，结合单调性求其最小值. 【详解】，．    当时，函数的图象如图1中实线所示， 函数在区间单调递减，最小值为； 当时，函数的图象如图2中实线所示， 函数在区间上单调递减，在区间单调递增，最小值为； 当时，函数的图象如图3中实线所示，函数在区间上单调递增，最小值为． 综上所述， 题型5：含参数的最值问题 【例题5】（23-24高一上·广东湛江·阶段练习）若不等式对一切成立，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】问题转化为，从而求出的最小值即可． 【详解】若不等式对一切成立，则， 当时，取最大值，故，故的最小值是. 故选：D． 【变式1】（22-23高一上·河南安阳·期中）设函数，若存在最大值，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】当时，由二次函数性质可知无最大值；当时，，无最大值；当时，分别在两段区间内求得的取值范围，根据有最大值可构造不等式求得结果. 【详解】当时，开口方向向上，此时无最大值，不合题意； 当时，，此时，无最大值，不合题意； 当时，若，；若，在上单调递增，在上单调递减，则； 若存在最大值，则，解得：； 综上所述：实数的取值范围为. 故答案为： 【变式2】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数，求在上的最大值与最小值． 【答案】答案见解析 【分析】求出二次函数图象的对称轴，结合二次函数的性质分类求出最值. 【详解】函数图象的对称轴为． ①当，即时，函数在上是增函数， 当时，函数取得最小值为，当时，函数取得最大值为； ②当，即时， 当时，函数取得最小值为，当时，函数取得最大值为； ③当，即时， 当时，函数取得最小值为，当时，函数取得最大值为； ④当，即时，函数在上是减函数， 故当时，函数取得最大值为，当时，函数取得最小值为. 【变式3】（2020高一·上海·专题练习）求函数(a为常数)在上的最值. 【答案】，. 【解析】就、、、四种情况分类讨论后，再结合图象可得函数的最值. 【详解】图象的开口向上，对称轴为直线. (1)当时，由图可知， . (2)当时，由图可知，，. (3)当时，由图可知，，. (4)当时，由图可知， . 综上，，. 【点睛】本题考查含参数的二次函数在定区间上的最值，可根据对称轴对应的值在区间的左侧、中间（再分在区间中点的左侧、不在左侧两类）、右侧分类讨论后再结合函数的图象得到函数的最值，本题为中档题. 题型6：恒成立与能成立问题 【例题6】（23-24高一上·浙江绍兴·期中）若存在，有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分离参数得在上有解，从而，利用对勾函数的单调性求得最值即可求解. 【详解】因为存在，有成立， 所以在上有解，所以， 记，，令，则，， 由对勾函数单调性知，在上单调递减，在上单调递增， 又当时，的函数值为，当时，的函数值为，且, 所以，即实数的取值范围是. 故选：B. 【变式1】（23-24高一上·浙江·期末）已函数，若对于定义域内任意一个自变量都有，则的最大值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由已知对的取值进行分类讨论，结合的取值范围求出函数的定义域，再结合函数的性质分别进行求解即可. 【详解】若，则恒成立，故符合题意； 若. ①当即时，，此时函数的定义域为， 所以恒成立，所以：符合题意； ②当即时，，此时函数的定义域为， 则，所以恒成立，所以：符合题意； ③当即时，函数的定义域为且 则取，则， 令，当时，，可以取得负值， 故不符合题意. 若，则函数定义域为且， 令，则. 当且时，，可以取得负值， 故不符合题意； 综上，，即的最大值为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：对的取值进行分类讨论，分别判断是否恒成立. 【变式2】（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数和，若在上恒成立，则 ， ． 【答案】 -1 0 【分析】分别令、，结合平方数的非负性可依次求得的值. 【详解】当时，． 当时，． 当时，时， ， 故满足题意. 故答案为：-1，0. 【变式3】（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知函数． (1)若存在，使得成立，求实数a的取值范围； (2)若对任意的，任意的，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）变形得到存在，使得成立，由根的判别式得到不等式，求出答案； （2）转化为只需对任意的恒成立即可，分和，结合参变分离，基本不等式求出答案. 【详解】（1）由得， ∵存在，使得成立． ∵由于为二次函数，开口向上， 故只需，解得或， 所以实数a的取值范围为或. （2）由题意知：对任意的，恒成立， 由于恒成立，故， 故只需对任意的恒成立即可， 即，当时，，上式成立， 当时，， 又∵（当且仅当时取＝）， ∴． 易错点1：忽视函数的定义域 【例题1】（23-24高一上·湖北十堰·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，令，可知该函数在上单调递减，由单调性的性质即可得出答案. 【详解】解：由，解得, 所以函数的定义域为， 令，其图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为， 该函数在上单调递减， 则函数的单调递增区间是. 故选：C. 【变式1】（23-24高一上·江西抚州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数解析式，作出函数图象，可得答案. 【详解】解析：，作出图象， 可以得到函数的单调递减区间是． 故选：B. 【变式2】（2024高一·全国·专题练习）函数的单调区间为 【答案】增区间为和，无单调递减区间， 【分析】分离常数，即可求解. 【详解】，所以的单调递增区间为和 故答案为：单调递增区间为和，无单调递减区间， 【变式3】（21-22高一上·上海浦东新·阶段练习）已知函数 (1)求函数的单调区间并予以证明； (2)求函数的最值． 【答案】(1)增区间为，减区间为和，证明见解析 (2)最大值1．最小值 【分析】（1）利用单调性的定义法即可证明；（2）对函数进行变形，利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）证明: 函数的定义域为，, 且 , 因为，所以， 当时, , 所以， 故 所以函数在上为增函数 当时，， 所以 故 所以函数在上为减函数 同理可得函数在上为减函数. 综上所述，函数的增区间为，减区间为和. （2）由题意得，. 当时,，当且仅当，即时取得等号， 所以. 当时,，当且仅当，即时取得等号， 所以. 所以函数的最大值为1，最小值为. 易错点2：对单调区间和在区间上单调这两个概念理解错误 【例题2】（23-24高一上·吉林·阶段练习）如果函数在区间上单调递增.那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的开口方向和对称轴得到不等式，求出答案. 【详解】开口向上，对称轴为， 要想函数在区间上单调递增，则需，解得， 故实数的取值范围是 故选：A 【变式1】（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数，在上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合分段函数的单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数在上单调递减， 根据分段函数单调性的判定方法，则满足且，解得， 实数的取值范围为. 故选：B. 【变式2】（23-24高一上·山西临汾·阶段练习）已知函数的单调递减区间为，则实数的值为 . 【答案】 【分析】首先分两种情况去绝对值号，根据二次函数的图象与性质和结合分段函数形式即可讨论求解. 【详解】， 当时，在区间和上单调递增，在区间上单调递减， 由于的单调递减区间为，则只需，得； 当时，在区间和上单调递增，在区间上单调递减， 这与的单调递减区间为矛盾，故不符合题意， 当时，此时在整个定义域上单调递增，故也不符合题意， 综上可得， 故答案是：. 【变式3】（23-24高一上·辽宁铁岭·期中）判断函数的单调递减区间并加以证明. 【答案】函数的单调递减区间为，证明见解析. 【分析】首先根据对勾函数单调性得到其单调区间，再利用定义法即可证明. 【详解】函数的单调递减区间为，证明如下： 令， 则， 因为， 所以， 所以，即， 所以函数在上单调递减，即函数的单调递减区间为. 一、单选题 1．（22-23高一上·山东日照·阶段练习）函数在上是减函数．则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的性质即可求解. 【详解】根据题意，函数在上是减函数，则有，解可得， 故选：B． 2．（23-24高一上·北京·期中）函数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据函数的单调性求解． 【详解】由已知时是减函数，，此时， 时，是增函数，且， 所以， 故选：A． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数的单调性，再利用函数的单调性可求出函数的值域. 【详解】因为和在上递增， 所以在上递增， 所以，， 所以函数的值域为. 故选：C 4．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）函数在上是单调函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的单调性判断. 【详解】因为函数开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递减， ，解得，所以的取值范围是. 故选：A. 5．（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C．和 D．和 【答案】C 【分析】作出函数的图象，可得出函数的单调递增区间. 【详解】因为函数的对称轴为直线， 由可得或，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数的单调递增区间为和. 故选：C. 6．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可知当时，函数取得最小值2，而，再结合二次函数图象的对称性可求出的取值范围. 【详解】因为， 所以当时，函数取得最小值2， 因为，而函数闭区间上有最大值3，最小值2， 所以. 故选：D 7．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，则函数（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】D 【分析】先将分离常数得，再根据反比例函数的性质进行求解即可. 【详解】， 所以函数的图象可由反比例函数的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到. 因为在和上单调递减， 所以在和上单调递减. 故选：D 8．（23-24高一上·上海·期末）已知函数的定义域为，给定下列四个语句： ①在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数； ②在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数； ③在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数； ④在区间上是严格增函数，且是奇函数. 其中是“函数在上是严格增函数”的充分条件的有（    ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用反例说明①④，根据单调性的定义判断②③. 【详解】对于①，令， 满足在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数， 但是函数在上不单调，故①错误； 对于②：在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数， 即任意的都有，都有， 所以， 设任意的且，若，则， 若，则， 若，，则， 所以函数在上是严格增函数，故②正确； 对于③：在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数， 则在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数， 结合②可知，函数在上是严格增函数，故③正确； 对于④：令，满足在区间上是严格增函数，且是奇函数， 但是函数在上不单调，故④错误. 故选：B 二、多选题 9．（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）已知函数在区间上单调，则实数m的值可以是（    ） A．2 B．7 C．14 D．20 【答案】AD 【分析】利用二次函数的性质求解. 【详解】的对称轴为， 因为函数在区间上单调， 所以或，解得或． 故选：AD 10．（22-23高一上·江苏常州·期末）已知函数的最小值为，则的可能取值是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】AB 【分析】根据二次函数的单调性、对钩函数的单调性，结合最小值的性质进行求解判断即可. 【详解】函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，函数， ，对称轴为， 当时， 当时，， 要想函数的最小值为，只需，即， 显然选项AB符合， 当时， 当时，，显然不是， 综上所述：只有选项AB符合条件， 故选：AB 11．（23-24高一上·吉林白山·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．若对于，，，都有，则函数在上是增函数 B．若对于，，，都有，则函数在上是增函数 C．若对于，都有成立，则函数在上是增函数 D．若对于，都有，为增函数，则函数在上也是增函数 【答案】AB 【分析】利用函数的单调性定义结合举反例的方法对选项逐一分析即可. 【详解】， 化简为， 设，则， 设，则， 故函数在上是增函数，故正确； 设， 由得， 即， 设， 由得， 即， 故函数在上是增函数，故正确； 令，表示不超过x的最大的整数， 满足，但在上不是增函数；故错误； 令，则，为增函数， 但函数在上不单调，故错误. 故选：. 三、填空题 12．（23-24高一上·上海松江·期末）已知关于的不等式有实数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据不等式有解转化为最值问题进而分类讨论求解答案. 【详解】因为关于的不等式有实数解， 所以， 当时，， 当时，， 当时，， 所以，即， 解得或， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 13．（23-24高一上·上海·期中）对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先讨论，然后时，将一元二次不等式恒成立问题进行等价转换即可得解. 【详解】若，则不等式变为了恒成立，故满足题意； 若，则不等式恒成立等价于，解得； 综上所述：实数的取值范围是. 故答案为：. 14．（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）已知正实数满足，且对任意恒成立，则实数的最小值是 . 【答案】 【分析】利用分离常数法，结合二次函数的性质求得正确答案. 【详解】依题意，，解得，则 由得， 其中 ①， 则当时①式取得最大值. 所以的最小值是. 故答案为：. 四、解答题 15．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1)单调递增，证明见解析 (2)22，6 【分析】（1）根据解析式可判断出函数的单调性，结合函数单调性定义即可证明； （2）判断函数在所给区间上的单调性，即可求得答案. 【详解】（1）函数在区间上单调递增， 证明：设，且， 则 ， 因为，且，故，， 故， 即，故函数在区间上单调递增； （2）由（1）可知该函数在区间上单调递增， 故. 16．（23-24高一上·全国·期末）已知函数． (1)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； (2)求函数的值域． 【答案】(1)在上是增函数，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据函数单调性的定义及判定方法，即可求解； （2）令，结合换元法结合单调性求函数的值域. 【详解】（1）解：函数在上是增函数. 证明如下： 任取，且， 则 因为，且，所以，， 所以，即， 所以函数在上是增函数． （2）解：令，则， 则的值域即为求的值域， 由（1）知函数在是单调递增， 所以当时，即，即时，取最小值， 所以，所以函数的值域为. 17．（23-24高一上·重庆永川·期中）已知二次函数的最小值为1，且． (1)求的解析式； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． (3)若在区间上不单调，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2)； (3). 【分析】（1）根据给定条件，设出二次函数的顶点式求出解析式. （2）求出在上的最小值，再列式求出即可. （3）利用二次函数的性质列式求解即得. 【详解】（1）依题意，二次函数满足，则函数图象的对称轴为， 由函数的最小值为，设， 由，得，解得， 所以函数的解析式为. （2）由（1）知，，当时，，依题意，，解得， 所以实数的取值范围是. （3）由（1）知，函数图象的对称轴为， 要使函数在区间上不单调，当且仅当，解得， 所以实数的取值范围为. 18．（23-24高一上·重庆·期中）已知二次函数满足：且． (1)求的解析式； (2)若在区间上单调递增，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设出的解析式，利用待定系数法求出即得. （2）利用（1）的解析式，分段讨论求出单调递增区间，再借助集合包含关系求解即得. 【详解】（1）设二次函数， 则， 由，得，解得，又， 即，于是， 所以的解析式是. （2）由（1）得， 当时，的单调递增区间为，依题意，，则； 当时，的单调递增区间为，依题意，， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 19．（23-24高一上·湖北荆州·期中）已知函数. (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，函数在有解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）转化为恒成立，分与，得到不等式，求出实数的取值范围； （2）转化为在上有解，所以只需，构造函数，由对勾函数性质得到，从而得到实数的取值范围. 【详解】（1）， 故恒成立， 当时，不恒成立，舍去， 当时，要想恒成立， 则要满足，解得， 综上，实数的取值范围为； （2）当时，函数在有解， 即在上有解， 所以在上有解，所以只需， 令， 因为，所以， 由对勾函数性质可知，在，即上单调递减，在，即上单调递增， 由于，， 由于，故， 故，解得， 实数的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$