专题05 最短路径问题【四大考点+知识串讲】-2024-2025学年八年级数学上册重难考点强化训练（人教版）

专题05 最短路径问题 考点类型 知识串讲 （一）将军饮马模型 ①两定一动 ②一定两动 ③两定两动 考点训练 考点1：两定一动 典例1：如图，在面积为的中，，，于点，直线垂直平分交于点，交于点，为直线上一动点，则周长的最小值为 ． 【变式1】如图，在中，，，点在直线上，，点为上一动点，连接、．当的值最小时，的度数为 度． 【变式2】【背景材料】对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，比如图1．同时，对称在解决生活中的实际问题时，也往往有很大的作用． 【问题提出】某小区要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？该问题给牛奶公司造成了困扰，现向居民们征求意见． 【问题解决】小明同学将小区和街道抽象出的平面图形，并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图2，作A关于直线m的对称点，连接与直线m交于点C，点C就是所求的位置． （1）请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答并填空： 证明：如图3，在直线m上另取任一点D，连结，，， ∵直线m是点A，的对称轴，点C，D在m上， ∴　　　　，　　　　， ∴　　　　． 在中， ∵， ∴． ∴，即最小． （2）如图4，在等边中，E是上的点，是的平分线，P是上的点，若，则的最小值为　　　　． 【拓展应用】 （3）“龙舟水”来势汹汹，深圳“雨雨雨”模式开启，深圳某学校的志愿者们在查阅地图后，画出了平面示意图5．其中，点A表示龙潭公园，点B表示宝能广场，点C表示万科里，点D表示万科广场，点E表示龙城广场地铁站．如图6，志愿者计划在B宝能广场和D万科广场之间摆放一批共享雨伞，使得共享雨伞的位置到B宝能广场、C万科里、D万科广场和E龙城广场地铁站的距离的和最小．若点A与点C关于对称，请你用尺子在上画出“共享雨伞”的具体摆放位置(用点G表示)． 【变式3】如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，．设l是过点A且平行于x轴的直线． (1)作关于直线l对称的三角形，并写出顶点坐标； (2)在直线l上找一点P，使最小，在图中标出此时点P的位置； (3)若为平面直角坐标系内任意一点，请直接写出点Q关于直线l的对称点的坐标（用含m，n的式子表示）． 考点2：一定两动 典例2：如图，四边形中，，，M，N分别是，上的点，当的周长最小时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，，，分别是边，上的定点，，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则关于，的数量关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，在锐角三角形中，，的面积为7，平分，若M，N分别是，上的动点，则的最小值为 ． 【变式3】如图，在中，，于点，，，点为边上的动点，点为边上的动点，则的最小值是 ． 考点3：两定两动 典例3：如图，锐角∠AOB＝x，M，N分别是边OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠OPM＝α，∠QNO＝β，当MP+PQ+QN最小时，则关于α，β，x的数量关系正确的是（　　） A．α﹣β＝2x B．2β+α＝90°+2x C．β+α＝90°+x D．β+2α＝180°﹣2x 【变式1】（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在边长为8的正方形中，点G是边的中点，E、F分别是和边上的点，则四边形周长的最小值为______． 【变式2】（2022秋·全国·九年级专题练习）在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2 (1)如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE； (2)如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长； (3)如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积． 考点4：造桥选址 典例4：如图，平行河岸两侧各有一城镇，，根据发展规划，要修建一条桥梁连接，两镇，已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案（    ） A．B．C． D． 【变式1】如图，直线，表示一条河的两岸，且 ．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄的路程最短，应该选择路线（ ） A． B． C． D． 【变式2】为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄A和李厝B的群众出行到河岸a．张庄A和李厝B位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄A和李厝B到河岸b的距离分别为、，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥建造的位置是 ．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等） 【变式3】如图，园区入口A到河的距离AE为100米，园区出口B到河的距离BF为200米，河流经过园区的长度EF为400米，现策划要在河上建一条直径CD为100米的半圆形观赏步道（如图：C在D左侧），游览路线定为A﹣C﹣D﹣B，问步道入口C应建在距离E 米处，才能使游览路线最短． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 最短路径问题 考点类型 知识串讲 （一）将军饮马模型 ①两定一动 ②一定两动 ③两定两动 考点训练 考点1：两定一动 典例1：如图，在面积为的中，，，于点，直线垂直平分交于点，交于点，为直线上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，连接．利用三角形的面积公式求出，由垂直平分，推出，推出，推出，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∵为直线上一动点， ∴， ∴， ∴， ∴周长的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称—最短问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一的性质，三角形三边关系，三角形的面积与周长等知识，解题的关键是确定． 【变式1】如图，在中，，，点在直线上，，点为上一动点，连接、．当的值最小时，的度数为 度． 【答案】 【分析】本题考查最短路线问题．点和点在直线的同旁，需要作点关于点的对称点，连接交直线于点，的值最小．由轴对称的性质可得，，进而可得的度数．易得为等腰三角形，那么可得的度数．解题的关键是掌握下面两个知识点：当两个定点在动点所在直线的同旁，求两个定点和动点的距离和的最小值，需要作其中一点关于动点所在直线的对称点，连接对称点和另一个点的线段与动点所在直线相交即可得到动点的位置；两个图形关于某条直线成轴对称，对应线段相等，对应角相等． 【详解】解：∵点和点在直线的同旁， ∴作点关于点的对称点，连接交直线于点，则的值最小． ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】【背景材料】对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，比如图1．同时，对称在解决生活中的实际问题时，也往往有很大的作用． 【问题提出】某小区要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？该问题给牛奶公司造成了困扰，现向居民们征求意见． 【问题解决】小明同学将小区和街道抽象出的平面图形，并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图2，作A关于直线m的对称点，连接与直线m交于点C，点C就是所求的位置． （1）请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答并填空： 证明：如图3，在直线m上另取任一点D，连结，，， ∵直线m是点A，的对称轴，点C，D在m上， ∴　　　　，　　　　， ∴　　　　． 在中， ∵， ∴． ∴，即最小． （2）如图4，在等边中，E是上的点，是的平分线，P是上的点，若，则的最小值为　　　　． 【拓展应用】 （3）“龙舟水”来势汹汹，深圳“雨雨雨”模式开启，深圳某学校的志愿者们在查阅地图后，画出了平面示意图5．其中，点A表示龙潭公园，点B表示宝能广场，点C表示万科里，点D表示万科广场，点E表示龙城广场地铁站．如图6，志愿者计划在B宝能广场和D万科广场之间摆放一批共享雨伞，使得共享雨伞的位置到B宝能广场、C万科里、D万科广场和E龙城广场地铁站的距离的和最小．若点A与点C关于对称，请你用尺子在上画出“共享雨伞”的具体摆放位置(用点G表示)． 【答案】（1），，（2）5（3）见解析 【分析】本题考查轴对称，最短路径问题，文字量多，读懂题意是解题的关键． （1）根据题意利用对称性和三角形的三边关系填空即可； （2）根据对称性和垂线段最短，以及等边三角形每条边上的高相等即可得解； （3）连接交于点G，即可得解． 【详解】解：（1）证明：如图3，在直线m上另取任一点D，连结，，， ∵直线m是点A，的对称轴，点C，D在m上， ∴ ， ， ∴ ． 在中， ∵， ∴． ∴，即最小． 故答案为：，，； （2）∵是的平分线， ∴可在上找到点E关于直线对称的对称点， 作出点，连接，则， 过点B作， 由垂线段最短可知，当点B、P、三点共线，且垂直时，有最小值， 即的最小值是的长度， ∵等边三角形每条边上的高相等， ∴的最小值为：， 故答案为：5； （3）到的距离和最小的点在线段上， ∵点A与点C关于对称， ∴到的距离和最小的点是线段和的交点， ∴到这四个点的距离和最小的点是线段和的交点， 故连接交于点G，点G即为所求作的点， 【变式3】如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，．设l是过点A且平行于x轴的直线． (1)作关于直线l对称的三角形，并写出顶点坐标； (2)在直线l上找一点P，使最小，在图中标出此时点P的位置； (3)若为平面直角坐标系内任意一点，请直接写出点Q关于直线l的对称点的坐标（用含m，n的式子表示）． 【答案】(1)见解析，，， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作轴对称图形，利用轴对称求最短距离问题，坐标变换—轴对称．掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）作点B、C关于直线l的对称点、，连接，，，再根据点在坐标系中的位置写出坐标即可； （2）作点B关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接，点P即为所求； （3）根据坐标的对称变换规律写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，，， （2）解：如图，点P即为所求； ∵点B关于直线l的对称点， ∴ ∴ 根据两点间线段最短，所以此时最小． （3）解：∵直线轴，且直线l上点的纵坐标为2， 当点Q在直线l上方时，如图，过点Q作于D，交直线l于E， ∵， ∴，，， ∵点Q、关于直线l的对称， ∴ ∴， ∴点的坐标为， 当点Q在直线l下方时，如图，过点Q作于D，连接交直线l于E， ∵， ∴，，， ∵点Q、关于直线l的对称， ∴ ∴， ∴点的坐标为， 综上关于直线l的对称点的坐标为． 考点2：一定两动 典例2：如图，四边形中，，，M，N分别是，上的点，当的周长最小时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作点C关于的对称点E，关于的对称点F，则，，可得，即可得当E、M、N、F在同一条直线上时，的最小值等于线段的长，根据四边形中，，得，根据三角形内角和定理得，根据等边对等角得，，即可得，根据三角形内角和定理即可得． 【详解】解：如图所示，作点C关于的对称点E，关于的对称点F， 则，， ∴， ∴当E、M、N、F在同一条直线上时，的最小值等于线段的长， ∵四边形中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，三角形内角和定理，等边对等角，解题的关键是理解题意，利用对称性构造最短路径． 【变式1】如图，，，分别是边，上的定点，，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则关于，的数量关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于Q，交于P，则最小，易知，，，，，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于Q，交于P，则最小， 由轴对称的性质得，，，，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【变式2】如图，在锐角三角形中，，的面积为7，平分，若M，N分别是，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的轴对称性、最短路径问题，先过C作于H，根据角平分线的轴对称性，可作N关于对称点，连接，则，由得当C、M、共线且时，取等号，此时值最小，最小值为的值，利用三角形的面积公式求得，进而可求解． 【详解】解：∵平分，如图，过C作于H，作N关于对称点， ∴在上， 连接，则，当C、M、共线且时，取等号，此时值最小，最小值为的值， ∵在锐角三角形中，，的面积为7， ∴， ∴ ， 即的最小值为， 故答案为：． 【变式3】如图，在中，，于点，，，点为边上的动点，点为边上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，最短路径问题，连接，过点作，可得，根据垂线段最短可知当、、三点共线且时，的最小值为，结合面积法求解即可． 【详解】解：连接，过点作， ，，，， ，， ， 当、、三点共线且时，的最小值为， ， ，即的最小值为， 故答案为：． 考点3：两定两动 典例3：如图，锐角∠AOB＝x，M，N分别是边OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠OPM＝α，∠QNO＝β，当MP+PQ+QN最小时，则关于α，β，x的数量关系正确的是（　　） A．α﹣β＝2x B．2β+α＝90°+2x C．β+α＝90°+x D．β+2α＝180°﹣2x 【答案】A 【分析】如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则此时MP+PQ+QN最小，易知∠OPM=∠OPM′=∠NPQ，∠OQP=∠AQN′=∠AQN，再结合∠OPM=∠NPQ=∠AOB+∠OQP，∠OQP=∠AQN=∠AOB+∠ONQ，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，作M关于的对称点，N关于的对称点， 连接交于Q，交于P，则此时的值最小． 此时，，． ∵∠OPM=∠NPQ=∠AOB+∠OQP，∠OQP=∠AQN=∠AOB+∠ONQ， ∴，， ∴，即：， 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【变式1】（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在边长为8的正方形中，点G是边的中点，E、F分别是和边上的点，则四边形周长的最小值为______． 【答案】24 【分析】作点G关于的对称点，作点B关于的对称点，连接、、，根据对称的性质可得，，再由，，可得当时，四边形的周长有最小值，最小值为，再利用勾股定理求得，最后利用即可求解． 【详解】解：如图，作点G关于的对称点，作点B关于的对称点，连接、、， ∵，， ∴， ∵，   ∴当时，四边形的周长有最小值，最小值为， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形的周长的最小值为24， 故答案为：24． 【点睛】本题考查了正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理，三角形的三边关系，熟练掌握轴对称的性质，构造三角形是解题的关键． 【变式2】（2022秋·全国·九年级专题练习）在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2 (1)如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE； (2)如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长； (3)如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)4 【分析】（1）由“SAS”可证△ABP≌△QCE，可得AP=QE； （2）要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ=EG最小，然后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，那么先证明∠GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的长度； （3）要使四边形PQNM的周长最小，由于PQ是定值，只需PM+MN+QN的值最小即可，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，由面积和差关系可求解． 【详解】（1）解：证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴CD=AB=4，BC=AD=8， ∵点E是CD的中点，点Q是BC的中点， ∴BQ=CQ=4，CE=2， ∴AB=CQ， ∵PQ=2， ∴BP=2， ∴BP=CE， 又∵∠B=∠C=90°， ∴△ABP≌△QCE（SAS）， ∴AP=QE； （2）如图②，在AD上截取线段AF=PQ=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点． ∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°， ∴∠GEH=45°， ∴∠CEQ=45°， 设BP=x，则CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x， 在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°， ∴CQ=EC， ∴6-x=2， 解得x=4， ∴BP=4； （3）如图③，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，连接FP交AD于T， ∴PT=FT=4，QC=BC-BP-PQ=8-3-2=3=CH， ∴PF=8，PH=8， ∴PF=PH， 又∵∠FPH=90°， ∴∠F=∠H=45°， ∵PF⊥AD，CD⊥QH， ∴∠F=∠TMF=45°，∠H=∠CNH=45°， ∴FT=TM=4，CN=CH=3， ∴四边形PQNM的面积=×PF×PH-×PF×TM-×QH×CN=×8×8-×8×4-×6×3=7． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称求最短距离，直角三角形的性质；通过构造平行四边形和轴对称找到点P和点Q位置是解题的关键． 考点4：造桥选址 典例4：如图，平行河岸两侧各有一城镇，，根据发展规划，要修建一条桥梁连接，两镇，已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】作PP'垂直于河岸L，使PP′等于河宽，连接QP′，与河岸L相交于N，作NM⊥L，根据平行线的判定与性质，易证得此时PM+NQ最短. 【详解】解：如图，作PP'垂直于河岸L，使PP′等于河宽，连接QP′，与河岸L相交于N，作NM⊥L，则MN∥PP′且MN＝PP′，于是四边形PMNP′为平行四边形，故PM＝NP′．根据“两点之间线段最短”，QP′最短，即PM+NQ最短．观察选项，选项C符合题意． 故选C． 【点睛】本题主要考查最短路径问题，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 【变式1】如图，直线，表示一条河的两岸，且 ．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄的路程最短，应该选择路线（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两点间直线距离最短，使为平行四边形即可，即垂直河岸且等于河宽，接连即可． 【详解】解：作垂直于河岸，使等于河宽， 连接，与另一条河岸相交于F，作于点E， 则且， ∴四边形为平行四边形， ∴， 根据“两点之间线段最短”，最短，即最短． ∴C选项符合题意， 故选：C． 【点睛】此题考查了轴对称-最短路径问题，解题的关键是利用“两点之间线段最短”． 【变式2】为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄A和李厝B的群众出行到河岸a．张庄A和李厝B位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄A和李厝B到河岸b的距离分别为、，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥建造的位置是 ．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等） 【答案】到AC的距离为p（m）处． 【分析】作B点关于直线b的对称点B'，连接AB'交b于点P，此时P点到A与B的距离和最短，然后求出AM＝（p＋q）m，可得∠CAP＝45°，则AC＝CP，问题得解． 【详解】解：作B点关于直线b的对称点B'，连接AB'交b于点P， ∴BP＝B'P， ∴AP＋BP＝AP＋B'P≥AB'，此时P点到A与B的距离和最短， 过B'作B'M∥CD，延长AC与B'M交于点M， ∴B'M＝CD， ∵AC＝p（m）、BD＝q（m），CD＝（p＋q）m， ∴AM＝（p＋q）m， ∴∠CAP＝45°， ∴AC＝CP， ∴P点与C点的距离是p（m）， ∴这座桥建造的位置是：到AC的距离为p（m）处， 故答案为：到AC的距离为p（m）处． 【点睛】此题主要考查了最短路线问题；作出辅助线，构造出最短路线为斜边的直角三角形是解决本题的难点． 【变式3】如图，园区入口A到河的距离AE为100米，园区出口B到河的距离BF为200米，河流经过园区的长度EF为400米，现策划要在河上建一条直径CD为100米的半圆形观赏步道（如图：C在D左侧），游览路线定为A﹣C﹣D﹣B，问步道入口C应建在距离E 米处，才能使游览路线最短． 【答案】100 【分析】如图，将BF向FE方向平移100米到B1F1，延长AE到A1，使AE=A1E=100米，连接A1B1交EF于C，则C即为所求作的点，延长BB1交A1A 延长线于H，证明△A1HB1和△A1EC是等腰直角三角形即可解答． 利用相似三角形的性质求解EC即可． 【详解】解：如图，将BF向FE方向平移100米到B1F1，则BB1=FF1=CD=100米，B1F1=BF=200米，EF1=300米， 延长AE到A1，使AE=A1E=100米，连接A1B1交EF于C，则C即为所求作的点． 延长BB1交A1A 延长线于H，则A1H= 300米，B1H=BH－BB1=300米，∠H=90°， ∴△A1HB1是等腰直角三角形， ∴∠HAB1=45°，又∠A1EC=90°， ∴∠A1CE=45°， ∴EC=A1E=100， ∴步道入口C应建在距离E100米处，能使游览路线最短， 故答案为：100． 【点睛】本题考查平移性质、最短路径问题、等腰直角三角形的判定与性质，会利用轴对称性质和两点之间线段最短解决最短路径问题是解答的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$