6.2 反比例函数的图象与性质 课件 2024-2025学年北师大版数学九年级上册

2　反比例函数的图象与性质 第1课时　反比例函数的图象 1.画反比例函数图象的一般步骤 (1)　列表　; (2)　描点　; (3)　连线　. 注意:(1)连线时必须用光滑的曲线连接各点,不能用折线. (2)为了更好地反映图象的全貌,要尽可能地多取一些数值,多描一些点. 2.反比例函数图象的特点 反比例函数y=的图象是　双曲线　,它有两支.当k>0时,两支曲线分别位于第　一、三　象限内;当k<0时,两支曲线分别位于第　二、四　象限内. 注意:一般不说两支曲线经过第一、三象限(或第二、四象限),而说两支曲线分别位于第一、三象限(或第二、四象限). 3.反比例函数图象的对称性 反比例函数图象是中心对称图形,它的对称中心是　坐标原点　;反比例函数图象也是轴对称图形,有　两　条对称轴,是　直线y=±x　. 画反比例函数的图象 在同一直角坐标系中画出函数y=和y=-的图象. 解:①列表: x … -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 … y= … -2 - -4 -8 8 4 2 … y=- … 2 4 8 -8 -4 - -2 … ② 描点:将表格中各组对应值作为点的坐标,在直角坐标系内描出相应的点; ③ 连线:用光滑的曲线顺次连接各点,即得函数y=和y=-的图象.如答案图所示. (答案图) 1.画出函数y=的图象. (1)完成下列表格: x … -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 … y= … -1.5 -2 -3 -6 6 3 2 1.5 … (2)描点,画图.作图略. 反比例函数图象的特点 (1)(2023·武汉)关于反比例函数y=,下列结论正确的是 (　C　) A.图象位于第二、四象限 B.图象与坐标轴有公共点 C.函数图象是双曲线 D.图象经过点(a,a+2),则a=1 (2)(2023·襄阳)在同一平面直角坐标系中,一次函数y=kx+k与反比例函数y=的图象可能是 (　A　) A B C D (3)(2023·永州)已知点M(2,a)在反比例函数y=的图象上,其中a,k为常数,且k>0,则点M一定在 (　A　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (4)如图,已知反比例函数图象A,B,C对应各自反比例函数系数k1,k2,k3,则k1,k2,k3的大小关系为　k1<k3<k2　.(用“<”号连接) 2.反比例函数y=-(x>0)的图象位于 (　D　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.一次函数y=ax-b(ab≠0)和反比例函数y=(ab≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是 (　A　) A B C D 4.若反比例函数y=的两条分支分别位于第一、三象限,则k的取值范围为　k<2　. $$2　反比例函数的图象与性质 第2课时　反比例函数的性质 1.反比例函数的性质 反比例函数y=的图象,当k>0时,在每一象限内,y的值随x值的增大而　减小　;当k<0时,在每一象限内,y的值随x值的增大而　增大　. 注意:反比例函数的增减性不是连续的,因此在谈到反比例函数的增减性时,一般是指在各自的象限内的增减情况.笼统地说“当k>0时,y随x的增大而减小”是错误的. 2.反比例函数中系数k的几何意义 (1)在反比例函数y=(k≠0)的图象上任取两点P,Q.过点P分别作x轴、y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S1;过点Q分别作x轴、y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S2,则S1=S2=  　. (2)从反比例函数y=(k≠0)的图象上任一点向一坐标轴作垂线,这一点和垂足及坐标原点所构成的三角形的面积是  　. 注意:因为反比例函数y=中的k有正负之分,所以上图中矩形的面积是而不是k,同理,上图中三角形的面积是而不是. (3)关于k的几何意义的常用模型及结论: S△ACP= S△ABC= S平行四边形ABCD=2 S△AOE=S四边形ECDB S矩形ABCD=- S△AOB=(-) S△ABC=S△AOB=(+) ①AC=BD;②S△AOB=S梯形AEFB; ③= 反比例函数的性质 (1)(2023·宜昌)某反比例函数图象上四个点的坐标分别为(-3,y1),(-2,3),(1,y2),(2,y3),则y1,y2,y3的大小关系为 (　C　) A.y2<y1<y3 B.y3<y2<y1 C.y2<y3<y1 D.y1<y3<y2 (2)反比例函数y=在每个象限内的函数值y随x的增大而增大,则m的取值范围是　m<-1　; (3)已知点A(-2,y1),B(-1,y2)在双曲线y=上,且y1>y2,则m的取值范围是　m>-　. 1.(2023·天津)若点A(x1,-2),B(x2,1),C(x3,2)都在反比例函数y=-的图象上,则x1,x2,x3的大小关系为 (　D　) A.x3<x2<x1 B.x2<x1<x3 C.x1<x3<x2 D.x2<x3<x1 2.反比例函数y=(2m-1),当x>0时,y随x的增大而增大,则m=　-1　. 反比例函数系数k的几何意义 如图,A,B是函数y=的图象上关于原点O对称的任意两点,AC平行于y轴,BC平行于x轴,求△ABC的面积. 解:设点A的坐标为(x,y), 则点B的坐标为(-x,-y), ∴AC=2y,BC=2x. ∴S△ABC=AC·BC=×2y×2x= 2xy=2=2. 3.(2023·朝阳)如图,点A是反比例函数y=(k≠0,x>0)的图象上一点,过点A作AB⊥x轴于点B,点P是y轴上任意一点,连接PA,PB.若△ABP的面积等于3,则k的值为　6　. 4.如图,四边形OACB是平行四边形,OB在x轴上,反比例函数y=(k>0)在第一象限内的图象经过点A,与BC交于点F.若F为BC的中点,△AOF的面积为6,则k的值为 　8　. 反比例函数综合问题 (2023·巴中)如图,正比例函数y=kx(k≠0)与反比例函数y=(m≠0)的图象交于A,B两点,点A的横坐标为-4,点B的纵坐标为-6. 解:(1)∵正比例函数y=kx(k≠0)与反比例函数y=(m≠0)的图象交于A,B两点, ∴A,B两点关于原点对称. ∵点A的横坐标为-4,点B的纵坐标为-6, ∴A(-4,6),B(4,-6). ∵点A(-4,6)在反比例函数y=(m≠0)的图象上, ∴m=-4×6=-24, ∴反比例函数的表达式为y=-. (1)求反比例函数的表达式; (2)观察图象,直接写出不等式kx<的解集; (3)将直线AB向上平移n个单位长度,交双曲线于C,D两点,交坐标轴于点E,F,连接OD,BD.若△OBD的面积为20,求直线CD的表达式. (2)-4<x<0或x>4. (3)方法一:如答案图,连接BE,作BG⊥y轴于点G. ∵A(-4,6)在直线y=kx上, ∴6=-4k,解得k=-, ∴直线AB的表达式为y=-x. ∵CD∥AB,∴S△OBD=S△OBE=20. ∵ B(4,-6),∴BG=4,∴S△OBE=OE·BG=20, ∴OE=10,∴E(0,10),∴直线CD的表达式为y=-x+10. (答案图) 方法二:连接BF,则S△OBD=S△BOF=20, ∴OF==, ∴F. 由此可得出直线CD的表达式为y=-x+10. (答案图) 5.(2023·湖北)如图,一次函数y1=kx+b(k≠0)与函数为y2=(x>0)的图象交于A(4,1),B两点. (1)求这两个函数的解析式; 解:(1)∵反比例函数y2=(x>0)的图象经过点A(4,1),∴m=1×4=4. ∴反比例函数的解析式为y2=(x>0). 把B代入y2=(x>0),得a=8.∴点B的坐标为. ∵一次函数y1=kx+b的图象经过A(4,1),B, ∴∴ ∴一次函数的解析式为y1=-2x+9. (2)根据图象,直接写出满足y1-y2>0时x的取值范围; (2)<x<4. (3)点P在线段AB上,过点P作x轴的垂线,垂足为M,交函数y2的图象于点Q.若△POQ的面积为3,求点P的坐标. (3)设P(p,-2p+9)且<p<4,则Q, ∴PQ=-2p+9-, ∴S△POQ=·p=3. 解得p1=,p2=2. ∴P或(2,5). $$