4.7　相似三角形的性质 课件 2024-2025学年 北师大版数学九年级上册

7　相似三角形的性质 第1课时　相似三角形中的对应线段的比 相似三角形的性质定理 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于　相似比　. 注意:当我们用该性质解题时,要特别注意其中的“对应”,要注意并不是任意高的比、角平分线的比、中线的比都等于相似比. 相似三角形性质的综合应用 如图,铁道口的栏杆短臂长1 m,长臂长16 m,当短臂端点下降0.5 m时,长臂端点能升高 (　C　) A.11.25 m B.6.6 m C.8 m D.10.5 m 如图,△ABC∽△A'B'C',BE,B'E'分别是∠ABC,∠A'B'C’的平分 线,点D,D'分别是BC,B'C'的三等分点,即CD=2BD, C'D'=2B'D',连接AD,A'D'.求证:=. 证明:由题意,得==,∠ABD=∠A'B'D'. ∵BD=BC,B'D'=B'C',∴=. 又∵∠ABD=∠A'B'D',∴△ABD∽△A'B'D', ∴=,∴=. 如图,有一块三角形余料ABC,它的边BC=18 cm,高AD=12 cm,现在要把它加工成长与宽的比为3∶2的矩形零件EFGH,要求一条长边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上,求矩形EFGH的周长. 解:在矩形EFGH中,EH∥FG,EH=FG, ∴△AEH∽△ABC. 又∵AD⊥BC,∴AM⊥EH,∴=. 设EH=3x cm, 则MD=EF=2x cm,AM=(12-2x)cm, ∴=,解得x=3, ∴EH=9 cm,EF=6 cm, ∴矩形EFGH的周长为2×(9+6)=30(cm). 1.已知△ABC∽△DEF,若△ABC与△DEF的相似比为,则△ABC与△DEF对应中线的比为 (　A　) A.　 B.　 C.　 D. 2.如图,在一块直角三角形铁皮上截一块正方形铁皮,已有的铁皮是Rt△ABC,∠C=90°,截得的正方形EFGD的边FG在AB上,顶点E,D分别在边CA,CB上.如果AF=4,GB=9,那么正方形铁皮的边长为　6　. 3.如图,一条河的两岸有一段是平行的,在河的一岸每隔5 m有一棵树,在河的对岸每隔50 m有一根电线杆,在这岸离开岸边25 m看对岸,看到对岸相邻两根电线杆恰被这岸的两棵树遮住,并且这两棵树之间还有三棵树,求河的宽度. 解:如答案图,过点E作EG⊥AB于点G,交CD于点F. 由题意,得EF=25 m,CD=5×4=20(m), AB=50 m. ∵AB∥CD,∴△ECD∽△EAB, ∴=, 即=,解得FG=37.5 m. 经检验,FG=37.5 m符合题意. 答:河的宽度是37.5 m. (答案图) $$7　相似三角形的性质 第2课时　相似三角形中的周长比 及面积比 相似三角形的性质定理 相似三角形的周长比等于　相似比　,面积比等于　相似比的平方　. 注意:(1)要防止出现“面积比等于相似比”的错误.在由相似比求面积比时,面积比等于相似比的平方;在由面积比求相似比时,相似比等于面积比的开方; (2)相似三角形的面积比是相似比的平方,注意不要与“等底(或等高)的两个三角形面积之比等于两个三角形高(或底)的比”相混淆. 相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系 如图,AD=AB,AE=AC,则△ADE与△ABC的周长、面积有怎样的数量关系?并说明你的理由. 解:△ADE与△ABC的周长比是,面积比是.理由如下:∵AD=AB,AE=AC,∴==. 又∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC, ∴==,==. 如图,已知△ABC是面积为的等边三角形, △ABC∽△ADE,AB=2AD,∠BAD=45°,AC与DE相 交于点F,则点D到线段AB的距离等于  　. 1.若△ABC∽△DEF,且面积比为4∶9,其中△ABC的周长为6 cm,则△DEF的周长是 (　B　) A.4 cm B.9 cm C.13.5 cm D.9 cm或13.5 cm 2.如图,在△ABC中,点D是BC边上的中点,且AD=AC, DE⊥BC,交AB于点E,AD与CE相交于点F. (1)求证:△ABC∽△FCD; (1)证明:∵点D是BC边上的中点,DE⊥BC, ∴BE=CE,∴∠B=∠DCF. ∵AC=AD,∴∠BCA=∠CDF, ∴△ABC∽△FCD. (2)若△FCD的面积为7.5,BC=10,求DE的长. (2)解:如答案图,过点A作AH⊥BC于点H. ∵AC=AD,AH⊥CD,CD=BD=BC=5, ∴CH=DH=CD=2.5,∴BH=7.5. ∵△ABC∽△FCD,∴==4, ∴S△ABC=4S△FCD=30,∴AH==6. ∵AH⊥BC,DE⊥BC,∴AH∥DE,∴△BDE∽△BHA, ∴= ,∴DE===4. (答案图) 相似三角形的性质在实际问题中的应用 某生活小区的居民筹集了资金1 600元,计划在一块如图所示的四边形空地上种植花卉,其中AD∥BC.他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花,价格为8元/m2,当△AMD地带种满花后(图中阴影部分),共花了160元. 解:(1)∵AD∥BC,∴△AMD∽△CMB, ∴== =. ∵种满△AMD地带花费了160元, ∴==20(m2), ∴=4S△AMD=4×20=80(m2), ∴种满△BMC地带所需的费用为 80×8=640(元). (1)请计算种满△BMC地带所需的费用; (2)若其余地带要种的有玫瑰花和茉莉花两种花卉可供选择,价格分别为12元/m2和10元/m2,应选择哪种花卉能刚好用完所筹集的资金? (2)在△BMC和△BMA中,分别把CM,MA看作底边,这两底上的高相同,不妨设为h. ∵△AMD∽△CMB,∴===,∴===. ∵=80 m2,∴=×80=40(m2). 同理可得=40 m2,∴+=40×2=80(m2). 若其余地带种玫瑰花,则总共花费资金为160+640+80×12=1 760(元); 若其余地带种茉莉花,则总共花费资金为160+640+80×10=1 600(元), ∴选择种植茉莉花能刚好用完所筹集的资金. 3.有一块多边形草坪,在市政建设设计图纸上的面积是300 cm2,其中一条边的长度为5 cm.经测量,这条边的实际长度为15 m,则这块草坪的实际面积是 (　C　) A.100 m2 B.270 m2 C.2 700 m2 D.900 m2 4.某施工地在道路拓宽施工时,遇到这样一个问题:如图,马路旁边原有一个面积为100 m2,周长为90 m的三角形绿化地ABC,由于马路拓宽,绿地的一部分△ADE被占去了,变成了四边形BCED且DE∥BC,原绿化地一边AB的长由原来的30 m缩短成BD为18 m,则被占去部分的面积有多大?它的周长为多少? 解:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC, ∴===, =. ∵AB的长由原来的30 m缩短成BD为18 m, ∴AD=12 m, ∴C△ADE=·C△ABC=36(m), S△ADE=·S△ABC=16(m2). 答:被占去部分的面积为16 m2,它的周长为36 m. $$