4.5　相似三角形判定定理的证明 课件 2024-2025学年北师大版数学九年级上册

5　相似三角形判定定理的证明 1.相似三角形的判定定理 定理:　两角分别相等　的两个三角形相似. 定理:　两边成比例且夹角相等　的两个三角形相似. 定理:　三边成比例　的两个三角形相似. 2.相似的常见基本图形 8字型 仿8字型 A字型 仿A字型 子母型 射影三角形 (子母直角三角形) 相似三角形的判定 如图,在△ABC和△ADE中,∠BAD=∠CAE,∠ABC=∠ADE,连接BD,CE. (1)写出图中两对相似三角形;(不得添加辅助线) 解:(1)△ABC∽△ADE, △ABD∽△ACE. (2)请分别说明两对三角形相似的理由. (2)① 证明△ABC∽△ADE: ∵∠BAD=∠CAE, ∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC, 即∠BAC=∠DAE. 又∵∠ABC=∠ADE,∴△ABC∽△ADE; ② 证明△ABD∽△ACE: ∵△ABC∽△ADE,∴=,即=. 又∵∠BAD=∠CAE, ∴△ABD∽△ACE. 1.如图,在△ADC中,AD=AC,延长CD至点B,使BD=CD,ED⊥BC交AB于点E,连接EC交AD于点F.下列四个结论: ①EB=EC; ②BC=2AD; ③△ABC∽△FCD; ④若AC=6,则DF=3. 其中正确的个数有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 (　C　) 2.如图,在正方形ABCD中,M为AB上一点,N为BC上一点,且BM=BN,连接CM,BP⊥MC于点P,连接DP,NP. 求证:△PCD∽△PBN. 证明:在正方形ABCD中, ∠ABC=90°,BC=CD. ∵BP⊥MC,∴∠BPC=∠MBC=90°. 又∵∠MCB=∠BCP, ∴△CBM∽△CPB,∴=,即=. ∵BM=BN,BC=CD,∴=. ∵∠BCP+∠PCD=∠PBN+∠BCP=90°, ∴∠PCD=∠PBN,∴△PCD∽△PBN. 利用相似证明线段(或角)相等、比例式或等积式 如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,BC上,AE与CD交于点F.若AE平分∠BAC,AB·AF=AC·AE. (1)求证:∠AEC=∠AFD; 证明:(1)∵AB·AF=AC·AE,∴=. ∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠CAF, ∴△BAE∽△CAF,∴∠AEB=∠AFC, ∴180°-∠AEB=180°-∠AFC, 即∠AEC=∠AFD. (2)若EG∥CD,交边AC的延长线于点G,求证:CD·CG=CF·BD. (2)∵∠CFE=∠AFD=∠CEF,∴CE=CF. ∵ CD∥EG, ∴∠DCB=∠CEG,∠G=∠ACF. ∵△BAE∽△CAF, ∴∠ACF=∠B,∴∠G=∠B, ∴△BDC∽△GCE, ∴==,∴CD·CG=CF·BD. 3.如图,在平行四边形ABCD中,点E是DA的延长线上一点,则 (　B　) A.= B.= C.= D.= 4.如图,在菱形ABCD中,G是BD上一点,连接CG并延长交BA的延长线于点F,交AD于点E,连接AG.求证: (1)AG=CG; 证明:(1)∵四边形ABCD是菱形, ∴AD=CD, ∠ADG=∠CDG. 又∵ DG=DG, ∴△ADG≌△CDG(SAS), ∴AG=CG. (2)AG2=GE·GF. (2)∵ AB∥CD,∴∠F=∠DCG. ∵△ADG≌△CDG, ∴∠EAG=∠DCG, ∴∠EAG=∠F. 又∵∠AGE=∠FGA, ∴△AEG∽△FAG, ∴=,∴AG2=GE·GF. $$