第二章《直线和圆的方程》章末综合测试-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第二章《直线和圆的方程》章末综合测试 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线与直线，若，则（ ） A. B. 2 C. 2或 D. 5 3. 已知圆经过两点，且圆心在直线上，则过点的直线与圆相交所截最短弦长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 4. 两定点A，B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹长为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线，点，若直线与线段相交，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线，若直线与圆交于两点，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 7. 若直线：平分圆的面积，则的最小值为（ ）. A. 6 B. 8 C. 4 D. 8. 已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射到点，则光线所经过的路程为（ ） A. B. 6 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线l的一个方向向量为，且l经过点，则下列结论中正确的是（ ） A. l的倾斜角等于 B. l在x轴上的截距等于 C. l与直线垂直 D. l与直线平行 10. 已知点在圆上，直线，则（ ） A. 直线与圆相交 B. 直线与圆相离 C. 点到直线距离大于 D. 点到直线距离小于 11. 已知圆C：则（ ） A. 圆C与直线必有两个交点 B. 圆上存在4个点到直线的距离都等于1 C. 圆C与圆恰有三条公切线，则， D. 动点在直线上，过点向圆引两条切线，为切点，直线经过定点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 平行线与间的距离为________． 13. 已知圆，圆，若圆平分圆的周长，则______. 14. 已知是圆上动点，是圆的上两点，若，则的范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）求证：动直线（其中）恒过定点，并求出定点坐标； （2）求经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线的方程. 16. 已知定点，点B为圆上的动点． （1）求AB的中点C的轨迹方程： （2）若过定点的直线与C的轨迹交于M，N两点，且，求直线的方程． 17. 如图，公路围成的是一块顶角为的角形耕地，其中，在该块土地中处有一小型建筑，经测量，它到公路的距离分别为，现要过点修建一条直线公路，将三条公路围成的区域建成一个工业园. （1）以为坐标原点建立适当的平面直角坐标系，并求出点的坐标； （2）三条公路围成的工业园区的面积恰为，求公路所在直线方程. 18. 已知圆，动点在圆上，点关于轴的对称点为点，点与点所在直线交圆于另一点，直线交轴于点， （1）求中点的轨迹方程； （2）若在第二象限，求面积的最大值. 19. 已知点P和非零实数，若两条不同的直线，均过点P，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直：，：是一组“共轭线对”，其中O是坐标原点． （1）已知点、点和点分别是三条直线PQ，QR，RP上的点（A，B，C与P，Q，R均不重合），且直线PR，PQ是“共轭线对”，直线QP，QR是“共轭线对”，直线RP，RQ是“共轭线对”，求点P的坐标； （2）已知点，直线，是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点O到直线，的距离之积的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章《直线和圆的方程》章末综合测试 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D A B A C C B C CD BCD ACD 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 【详解】因为直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为， 又因为直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍， 所以直线的倾斜角为， 所以的斜率为. 2. 已知直线与直线，若，则（ ） A. B. 2 C. 2或 D. 5 【详解】若，则， 所以或． 当时，重合，不符合题意，所以舍去； 当时，符合题意． 3. 已知圆经过两点，且圆心在直线上，则过点的直线与圆相交所截最短弦长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【详解】设圆的圆心为，半径为， 代入两点有， 解得圆， 圆心，设圆心到直线的距离为， ， 则弦长为，当直线与垂直时，弦长最短为. 4. 两定点A，B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹长为（ ） A. B. C. D. 【详解】以点A为坐标原点，直线AB为x轴，建立直角坐标系，如图， 则，设点， 由，得，化简并整理得：， 于是得点M的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，其周长为， 所以M点的轨迹长为. 5. 已知直线，点，若直线与线段相交，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【详解】将直线的方程变形得 由得，∴直线恒过点， ∴， 由图可知直线的斜率的取值范围是 或 ， ∵ ∴或，解得或， 又∵时，直线仍与线段相交，  ∴的取值范围为. 6. 已知直线，若直线与圆交于两点，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【详解】直线，即， 令，解得， 所以直线过定点， 圆的圆心，半径， 因为， 所以点在圆内， 则圆心到直线的距离（时取等号）， 所以（时取等号）， 所以的最小值为. 7. 若直线：平分圆的面积，则的最小值为（ ）. A. 6 B. 8 C. 4 D. 【详解】由题意可知：圆的圆心为， 若直线平分圆的面积， 则直线过圆心， 得，即， 则， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为8. 8. 已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射到点，则光线所经过的路程为（ ） A. B. 6 C. D. 【详解】直线的方程为，设点关于的对称点为， 则，得，即 点关于轴的对称点为， 由题意可知，如图，点都在光线上，并且利用对称性可知，，， 所以光线经过的路程. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线l的一个方向向量为，且l经过点，则下列结论中正确的是（ ） A. l的倾斜角等于 B. l在x轴上的截距等于 C. l与直线垂直 D. l与直线平行 【详解】因为直线一个方向向量为， 所以直线的斜率为， 设直线的倾斜角为（），则，所以，所以A错误； 因为经过点，所以直线的方程为，令，则，所以在轴上的截距为，所以B错误； 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 所以，所以与直线垂直，所以C正确； 因为直线的斜率为，直线的斜率也为，且两直线截距不等，故两直线平行，所以D正确. 10. 已知点在圆上，直线，则（ ） A. 直线与圆相交 B. 直线与圆相离 C. 点到直线距离大于 D. 点到直线距离小于 【详解】由知，圆心为，半径， 直线，则圆心到直线距离 所以直线与圆相离，故错对； 由圆心到直线的距离知，圆上点到直线距离的最大值为， 最小值为，故CD正确. 11. 已知圆C：则（ ） A. 圆C与直线必有两个交点 B. 圆上存在4个点到直线的距离都等于1 C. 圆C与圆恰有三条公切线，则， D. 动点在直线上，过点向圆引两条切线，为切点，直线经过定点 【详解】对于，直线，，直线过定点， ，定点在圆内，故A正确； 对于，圆的圆心到直线的距离为， 如图所示： 所以只有三个点满足，故B错误. 对于，圆化简得到， 因为两圆有三条公切线，所以两圆外切，故， 解得，故C正确. 对于D，设点，如图所示： 因为为切点，所以，连接，根 据圆周角与圆直径关系可知，两点在以为直径的圆上， 以为直径的圆的方程为，和相减可得， 两圆公共弦所在直线方程为， 联立方程，得， 令，则，即直线经过定点，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 平行线与间的距离为________． 【详解】将方程两边乘以2，得， 所以两平行线间的距离为. 13. 已知圆，圆，若圆平分圆的周长，则______. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 将两圆方程作差可得， 因为圆平分圆的周长，则这两圆相交，且相交弦所在直线的方程为， 由题意可知，直线过圆心， 所以，，解得. 14. 已知是圆上动点，是圆的上两点，若，则的范围为__________. 【详解】由题意知，点点所在圆，且所在圆的圆心为，半径为2， 设是的中点，连接，则垂直平分，则， 所以点在是以为圆心，半径为1圆上， 即点所在圆， 又由，可得， 即即为圆上的点与圆上的点的距离， 因为，所以， 即范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）求证：动直线（其中）恒过定点，并求出定点坐标； （2）求经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线的方程. 【详解】(1)证明：解法一：令，则直线方程为 ① 再令时，直线方程为 ② ①和②联立方程组，得， 将点代入动直线中，即故动直线恒过定点. 解法二：将动直线方程按降幂排列整理，得① 不论为何实数，①式恒为零， ∴ 有，解得， 故动直线恒过点． (2)解法一：联立方程，解得， 直线的斜率为，由，则直线的斜率为， 故直线的方程为. 解法二：设所求直线方程为， 将解法一中求得的交点代入上式可得， 故所求直线方程为. 解法三：设直线的方程为， 即，又， ∴ ， 解得， 故直线的方程为. 16. 已知定点，点B为圆上的动点． （1）求AB的中点C的轨迹方程： （2）若过定点的直线与C的轨迹交于M，N两点，且，求直线的方程． 【详解】（1）设点的坐标为，则点的坐标为， 点为圆上的动点， 化简得， 故的轨迹方程为． （2）由圆 可得，圆心坐标为，半径， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时圆心到直线的距离是， 所以，满足条件； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 化简得， 因为，故圆心到直线的距离， 由圆心到直线的距离公式得， 所以，即，平方得， 整理得，解得， 直线的方程为，即， 故直线的方程为或． 17. 如图，公路围成的是一块顶角为的角形耕地，其中，在该块土地中处有一小型建筑，经测量，它到公路的距离分别为，现要过点修建一条直线公路，将三条公路围成的区域建成一个工业园. （1）以为坐标原点建立适当的平面直角坐标系，并求出点的坐标； （2）三条公路围成的工业园区的面积恰为，求公路所在直线方程. 【详解】（1）以为坐标原点, 所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴， 建立如图所示的平面直角坐标系 由题意可设点，且直线的斜率为，并经过点， 故直线的方程为：， 又因点到的距离为，所以，解得或(舍去) 所以点坐标为. (2)由题意可知直线的斜率一定存在，故设其直线方程为：， 与直线的方程：，联立后解得:， 对直线方程：，令，得， 所以，解得， 所以直线方程为：，即:. 18. 已知圆，动点在圆上，点关于轴的对称点为点，点与点所在直线交圆于另一点，直线交轴于点， （1）求中点的轨迹方程； （2）若在第二象限，求面积的最大值. 【详解】（1）设中点，则，代入圆，化简得轨迹方程为. （2）设，直线方程为，联立圆得，有 直线方程为，令，得，所以点为定点； 又而，令，可得 ，当即（依题意舍去负值）时，， 所以面积的最大值为. 19. 已知点P和非零实数，若两条不同的直线，均过点P，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直：，：是一组“共轭线对”，其中O是坐标原点． （1）已知点、点和点分别是三条直线PQ，QR，RP上的点（A，B，C与P，Q，R均不重合），且直线PR，PQ是“共轭线对”，直线QP，QR是“共轭线对”，直线RP，RQ是“共轭线对”，求点P的坐标； （2）已知点，直线，是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点O到直线，的距离之积的取值范围． 【详解】（1）设直线RP，PQ，QR的斜率分别为，，， 则，得，，或，，． 当，，时，直线RP的方程为，直线PQ的方程为， 由，解得，则； 当，，时，直线PR的方程为，直线PQ的方程为， 由，解得，则； 故所求为或； （2）设：，：，其中， 故 由于（等号成立的条件是）， 故，． 学科网（北京）股份有限公司 $$