4.1 成比例线段课件 2024-2025学年北师大版数学九年级上册

1　成比例线段 第1课时　成比例线段和比例的 基本性质 1.两条线段的比 如果选用　同一个长度单位　量得两条线段AB,CD的长度分别是m,n,那么这两条线段的比就是它们　长度的比　,即AB∶CD=　m∶n　,或写成=.其中,线段AB,CD分别叫做这个线段比的　前项　和　后项　.如果把表示成比值k,那么=　k　,或AB=　k·CD　.两条线段的比实际上就是　两个数　的比. 注意:(1)两条线段的比,与长度单位的选择无关,但单位必须统一. (2)两条线段的比是一个没有单位的正数. 2.成比例线段 四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即  =　,那么这四条线段a,b,c,d叫做　成比例线段　,简称　比例线段　. 注意:成比例线段是有顺序的,四条线段a,b,c,d成比例,记作=或a∶b=c∶d,而不能写成=. 3.比例的基本性质 如果=,那么　ad=bc　. 如果ad=bc(a,b,c,d都不等于0),那么  = . 两条线段的比 在比例尺为1∶200的地图上,测得A,B两地间的图上距离为4.5 cm,则A,B两地间的实际距离为　9　m. [误区点拨] 比例尺=图上距离∶实际距离,如果知道其中任意两个量的值便可求出第三个量,但是进行计算时,要注意统一单位. 1.等腰直角三角形的腰长与斜边长的比是 (　C　) A.1∶2 B.2∶1 C.1∶ D. ∶1 成比例线段 (1)若线段a=3 cm,b=6 cm,c=5 cm,且a,b,c,d是成比例线段,则d=　10 cm　; (2)已知四条线段a,b,c,d的长度,试判断它们是否成比例. ①a=12 cm,b=5 cm,c=24 cm,d=10 cm; 解:(2)①∵ b=5 cm,d=10 cm,a=12 cm,c=24 cm, ∴b∶d=1∶2,a∶c=1∶2,∴b∶d=a∶c, ∴这四条线段成比例. ②a=8 cm,b=0.2 cm,c=0.6 cm,d=4 cm. ② ∵a=8 cm,d=4 cm,c=0.6 cm, b=0.2 cm, ∴a∶d=2∶1,c∶b=3∶1,∴a∶d≠c∶b, ∴这四条线段不成比例. 2.下列各组中的四条线段成比例的是 (　B　) A.a=2,b=3,c=4,d=1 B.a=2,b=,c=2,d= C.a=4,b=6,c=5,d=10 D.a=,b=3,c=2,d= 3.如图,四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形, AB=3,AD=6.5,BF=2. (1)求下列各线段的比:,,; 解:(1)∵四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形, AB=3,AD=6.5,BF=2, ∴CD=EF=AB=3, BC=AD=6.5, CF=BC-BF=4.5. ∴==,==,=. (2)指出AB,BC,CF,CD,EF,BF这六条线段中的成比例线段(写一组即可). (2)成比例线段有EF,CF,BF,AB.(答案不唯一) 比例的基本性质 (1)已知=,且a+b=10,则a=　6　; (2)已知=,则的值为  　. [方法总结] 将比例式看成等式,用等式的性质及方程的解法处理比例式的问题,是一种常见的方法. 4.已知=(a≠0,b≠0),则下列变形正确的有 (　C　) ①=;②2a=3b ; ③=; ④3a=2b. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.若=(x≠0,y≠0),则=　-　. $$1　成比例线段 第2课时　比例的等比性质 比例的等比性质 如果==…=(b+d+…+n≠0),那么=  　. 注意:(1)比例的等比性质成立的条件是所有比的后项的和不等于0. (2)比例的性质中还有一个合比性质:如果=,那么=. 等比性质的应用 (1)已知===,若b+d+f=9,则a+c+e等于 (　A　) A.12 B.15 C.16 D.18 (2)已知a∶b∶c=3∶4∶5,求 的值. 解:由a∶b∶c=3∶4∶5,得==. 设===k(k≠0), 则a=3k,b=4k,c=5k, ∴原式==-1. 1.(1)若===,且b-2d+3f≠0,求 的值; 解:∵===, ∴===,且b-2d+3f≠0, ∴=. (2)若==,且x+y-z≠0,求的值; 解:设===k(k≠0), 则x=3k,y=5k,z=7k, ∴===5. (3)若==,且2a-b+3c=21,求a∶b∶c. 解:设===k, 则a=3k-2,b=4k,c=6k-5. ∵2a-b+3c=21, ∴2(3k-2)-4k+3(6k-5)=21,解得k=2, ∴a=4,b=8,c=7, ∴a∶b∶c=4∶8∶7. 比例性质的综合应用 已知===k,则直线y=kx+2k一定经过 (　B　) A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限 2.任意两个和不为零且均不为零的数a,b,c满足==,求的值. 解:设===(k≠0), ∴b+c=ak,a+c=bk,a+b=ck. ∴a+b+b+c+a+c=ak+bk+ck, 即2(a+b+c)=k(a+b+c). 分两种情况: ① 当a+b+c≠0时,k=2, ∴ ==8; ② 当a+b+c=0时,b+c=-a=ak,则k=-1, ∴==-1. 综上所述,的值为-1或8. $$