数列部分-福建省2024届高三下学期数学模拟考试分类汇编

2024届福建省高三下学期模拟考试分类专项练习 数列部分 一、单选题 1．（2024·福建宁德·三模）记为等比数列的前项积.设命题，命题，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·福建漳州·三模）已知数列是公比不为1的正项等比数列，则是成立的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024·福建莆田·三模）设数列的前n项和为，则“是等差数列”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2024·福建龙岩·三模）等差数列的首项为2，公差不为0．若成等比数列，则公差为（    ） A． B． C．1 D． 5．（2024·福建厦门·二模）已知正项等差数列的公差为，前项和为，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2024·福建三明·三模）已知等差数列满足，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（2024·福建泉州·一模）已知数列满足，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时，数列是常数列 C．当时， D．当时，数列单调递减 8．（2024·福建莆田·三模）已知等差数列中，，公差为，，记为数列的前n项和，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 三、填空题 9．（2024·福建莆田·三模）数列满足，且，则数列的前2024项和为 . 10．（2024·福建三明·三模）已知数列满足，设数列的前项和为，则满足的实数的最小值为 ． 11．（2024·福建龙岩·三模）已知等比数列满足且，则的取值范围是 ． 12．（2024·福建福州·三模）已知数列满足，则的通项公式 . 四、解答题 13．（2024·福建泉州·三模）已知数列和，其中的前项和为，且，. (1)分别求出数列和的通项公式； (2)记，求证：. 14．（2024·福建莆田·二模）已知等差数列的前项和为，公差，且成等比数列，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 15．（2024·福建厦门·一模）已知数列的前项和为，，当，且时，． (1)证明：为等比数列； (2)设，记数列的前项和为，若，求正整数的最小值． 16．（2024·福建厦门·三模）设为数列的前项和，已知，且为等差数列. (1)求的通项公式； (2)若，求的前项和. 17．（2024·福建龙岩·二模）已知等差数列的首项为1，公差，前项和为，且为常数． (1)求数列的通项公式； (2)令，证明：． 18．（2024·福建莆田·三模）已知数列的首项，设，且的前项和满足：． (1)求数列的通项公式； (2)令，求证：． 19．（2024·福建龙岩·三模）若数列是公差为1的等差数列，且，点在函数的图象上，记数列的前项和为. (1)求数列的通项公式; (2)设，记数列的前项和为，证明:. 20．（2024·福建三明·三模）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”. （1）已知等比数列{an}满足：，求证:数列{an}为“M－数列”； （2）已知数列{bn}满足:，其中Sn为数列{bn}的前n项和． ①求数列{bn}的通项公式； ②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn}，对任意正整数k，当k≤m时，都有成立，求m的最大值． 21．（2024·福建宁德·三模）已知无穷数列，给出以下定义：对于任意的，都有，则称数列为“数列”；特别地，对于任意的，都有，则称数列为“严格数列”. (1)已知数列，的前项和分别为，，且，，试判断数列，数列是否为“数列”，并说明理由； (2)证明：数列为“数列”的充要条件是“对于任意的，，，当时，有”； (3)已知数列为“严格数列”，且对任意的，，，.求数列的最小项的最大值. 22．（2024·福建南平·二模）若数列共有项，对任意都有（为常数，且），则称数列是关于的一个积对称数列.已知数列是关于的一个积对称数列. (1)若，，，求的值； (2)已知数列是公差为的等差数列，，若，，求和的值； (3)若数列是各项均为正整数的单调递增数列，求证：. 23．（2024·福建漳州·三模）已知有穷数列的通项公式为，将数列中各项重新排列构成新数列，则称数列是的“重排数列”；若数列各项均满足，则称数列是的“完全重排数列”，记项数为的数列的“完全重排数列”的个数为． (1)计算，，； (2)写出和，之间的递推关系，并证明：数列是等比数列； (3)若从数列及其所有“重排数列”中随机选取一个数列，记数列是的“完全重排数列”的概率为，证明：当无穷大时，趋近于．（参考公式：） 24．（2024·福建龙岩·二模）已知项数为的有穷数列的各项取遍中的所有整数，我们称该数列为“规范的”.对于一组规范列，从的第1项开始，取第1个符合题意的项，使不是的最大项，然后依次删除、第1个超过的项、第1个超过的项、，直到无法删除为止称为的1次“变换”.变换后剩余项按其相对位置不变构成新数列（新数列也许可以再次进行变换，则继续进行下去），直到最后剩下1项或1组递减数列统称为的“保留列”（若最终没有剩下任何一项则称是“不可保留的”，在此我们不研究这类数列），记保留列的项数为，若变换进行的次数为且，则称是“饱和的”（其中：表示不超过的最大整数）. (1)已知规范数列：5，3，2，1，4，6.求出其保留列并判断它是否为饱和的；若交换其第5、6项或交换其2、3项，请直接判断其是否为饱和的. (2)若为饱和的规范列，它的项数与其保留列项数满足为正偶数： （i）证明：任意规定的第项为其保留列，总至少存在个符合题意的（其中：）. （ii）若，对每一组任意给定的，求使的项最多有几个（用含的代数式） 参考答案： 1．B 【详解】若，则，即，即或， 故不是的充分条件， 若，则有， 故是的必要条件，即是的必要不充分条件. 故选：B. 2．A 【详解】由下标和性质可知，若，则； 记数列是公比为，若，则，即， 因为数列是公比不为1的正项等比数列，所以，得. 综上，则是成立的充要条件. 故选：A 3．A 【详解】由是等差数列，得，满足充分性； 反之，，只需，得不到是等差数列， 不满足必要性，则“是等差数列”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4．B 【详解】设等差数列的公差为， 若成等比数列，则，即， 整理可得，解得或（舍去）， 所以公差为. 故选：B. 5．B 【详解】因为，故两式相减得：， 即，则， 又数列为正项等差数列，故，即， 故选：B 6．C 【详解】根据等差数列的性质，得， 因为，所以， 所以， 故选：C． 7．BCD 【详解】对于A，当时，由知A错误； 对于B，当时，有，这意味着只要就有. 而，从而由数学归纳法即可证明，所以B正确； 对于C和D，当时，我们用数学归纳法证明. 当时，由知结论成立； 假设已有，则由可知. 所以，展开即. 这就得到. 同时，由可得. 所以. 故由数学归纳法可知恒成立，所以C正确； 同时，由于，故. 展开即，故，所以D正确. 故选：BCD. 8．BCD 【详解】由为等差数列，，公差为，则 当时，，则选项A不正确. 当为偶数时， 当为奇数时， 故，所以选项B正确. 当为偶数时， 当为奇数时， 所以， 故选项C正确. 所以 ，所以选项D正确 故选：BCD 9． 【详解】由可得， 则， 则， 故数列的前2024项和为. 故答案为：. 10． 【详解】由题意，当时，， 当时，由， 可得， 两式相减，可得， 解得， 当时，不满足上式， ， 则当时，， 当时， ， 当时，也满足上式， ，， ，且对任意恒成立， ，即实数的最小值为． 故答案为：. 11． 【详解】因为为等比数列，所以. 令， 则. 因为，所以. 当时，，此时恒成立，在上单调递增， ，所以一定有解，即，使得成立. 当时，，则，此时单调递增；，则，此时单调递减. 为使有解，则， 整理得，解得. 又，所以. 综上，的取值范围是. 故答案为： 12． 【详解】因为， 若，可得； 若，则， 可得； 且符合上式，可得，所以. 故答案为：. 13．(1)， (2)证明见解析 【详解】（1）当时，，所以， 时，①， ②， ①-②得， 即，， 所以是以首项为2，公比为2的等比数列，所以， 所以； （2），即③， ④， ④-③，得 ， 因为，，所以. 14．(1) (2) 【详解】（1）由题意可得：，即， 且，解得， 所以数列的通项公式. （2）由（1）可得， 可得 ， 所以. 15．(1)证明见解析； (2)3. 【详解】（1）当时，，即， 又，故在上都成立，且， 所以是首项、公比均为2的等比数列. （2）由（1）知：，则， 所以， 则，即， 所以，可得，而，故，正整数的最小值为3. 16．(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为，因为， 所以，即， 所以，即， 当时，， 当时，，满足上式，所以. （2）由（1）知 则 所以数列的前项和为. 17．(1) (2)证明见解析 【详解】（1）依题意，得：，即 所以，，化简得： 因为，所以 所以 经检验：成立 （2）解法一： 因为 所以 ， 所以 ． 解法二： 所以 ． 18．(1) (2)证明见解析 【详解】（1）当时，， 两式相减得：，所以. 当时，且，可得，满足上式， 由，则为等比数列，， 所以． （2）由（1）知， 所以， 当时，成立； 当时，， 所以成立． 19．(1)， (2)证明见解析 【详解】（1）由得，， 点在函数的图象上， （2）,显然数列为等比数列，首项为1，公比为3，则， . 20．（1）见解析； （2）①bn=n；②5. 【详解】（1）设等比数列{an}的公比为q，所以a1≠0，q≠0. 由，得，解得． 因此数列为“M—数列”. （2）①因为，所以． 由得，则. 由，得， 当时，由，得， 整理得． 所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{bn}的通项公式为bn=n. ②由①知，bk=k，. 因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0. 因为ck≤bk≤ck+1，所以，其中k=1，2，3，…，m. 当k=1时，有q≥1； 当k=2，3，…，m时，有． 设f（x）=，则． 令，得x=e.列表如下： x e (e，+∞) + 0 – f（x） 极大值 因为，所以． 取，当k=1，2，3，4，5时，，即， 经检验知也成立． 因此所求m的最大值不小于5． 若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216， 所以q不存在.因此所求m的最大值小于6. 综上，所求m的最大值为5． 21．(1)是为“数列”， 不是为“数列”； (2)证明见解析； (3). 【详解】（1）由于为等差数列，所以，为等比数列，， 任意的，都有， 故，所以数列是为“数列”， 任意的，都有， 故，所以数列不是为“数列”， （2）先证明必要性： 因为为“数列”，所以对任意的，都有，即， 所以对任意的，，，当时，有 ， 所以， 又， 所以， 又， 故，即，故， 再证明充分性： 对于任意的，，，当时，有， 即， 对于任意的,，则有， 即可，所以为“数列”， （3）数列为“严格数列”，且对任意的，有，即， 设，则为单调递增数列，且， 所以 因为，.所以， 所以存在时，， 所以，当数列为单调递减数列， 当 因此存在最小值，且最小值为， 由于，所以，且 所以，即， ，即 所以 ， 当时，， 当时，， 当时， 所以当时，的最大值为， 此时，因为， 所以数列的最小项的最大值为 22．(1)4 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）依题意，又，所以. （2）法一：由知对任意都有， 即， 所以， 所以， 所以， 因为，，所以，即. 法二：当时由得， 所以， 即， 令，， 则， 因为，，所以，， 即，， 当时都有 ， 所以，成立. （3）由已知，，…，， 所以， 所以 ， 即. 23．(1)；；. (2)，；证明见解析. (3)证明见解析. 【详解】（1）当时，，所以； 当时，，，则其完全重排数列必为：，，故； 当时，数列的完全重排数列可以为：或，故； 当时，为得到数列的完全重排数列，可先排1，有3种排法，比如1排到2的位置，那就再排2，也有3种排法，剩下的两个数字只有1种排法，由乘法原理可得：. （2）当数列有项时，其“完全重排数列”的排法可以分为两个步骤： 第一步：重排第项，有种排法； 第二步：重排其余项，根据第一步的排法，可以分为两类： 第一类：若第项排在第项的位置，但第项不排在第项的位置，这样的排法有种； 第二类：若若第项排在第项的位置，第项排在第项的位置，这样的排法有种. 所以，，又， 所以. 所以数列，是等比数列，且，公比为. （3）由（2）可得：. 所以：，，，，， 以上各式相加，可得：， 所以. 又数列的重排数列的个数为：， 所以， 当无穷大时， 24．(1)保留列：2，1.. 是饱和的；5、6项交换：饱和的；2、3项交换：不饱和的 (2)（i）证明见解析；（ii）项数至多为 【详解】（1）由题意第一次剩下：3，2，1，4，第二次剩下：2，1，结束， 所以数列2，1是数列5，3，2，1，4，6的保留列. 又，是饱和的， 5、6项交换， 饱和的；2、3项交换：不饱和的. （2）（i）由题每一次变换至少删除2项，所以饱和的规范列的每次变换都能且只能删除2项， 不妨设为保留列，剩下的项按相对位置不变构成新数列， 由于为偶数，故，应删除的总项数为， 故中有项，取，中任取一项， 则第一次变换应删除；再取为剩余项的第1项，令， 再从剩下的项中取一项， 则第二次变换删除的项为； 再取为剩余项的第1项，令，剩下的项中取一项，...，以此类推，这样就得到了一组， 接下来将数列插入（从第一项开始插入）中：项只有2种情况： ①是的第一项，那么令，中其他项均减1； ②不是的第一项，那么令为前面所有项的最小值减1，原本所有不超过的项减1， 这样就构造出了一组，由的取法，共有至少存在个符合题意的. （ii）先不妨设保留列为，，，，，，， ，，， 这时，，除外其他项均满足：，故有个项， 将与的数值交换位置得到成立的情况， 再将与的数值交换位置得到成立的情况，， 将与的数值交换位置得到成立的情况， 当为奇数时先取同理可得这些情况， 由于，所以得到了取定时所有符合题意的情况， 再证明项数为是最多的： 由于第一项一定不满足题意，于是假设若有个项满足条件， 那么除第一项外剩余项均应有：， 则：，， 而故，以此类推得：， 这时：，变换只进行1次，剩余项，与矛盾，故：个项不成立， 即项数至多为. 学科网（北京）股份有限公司 $$