第28章 三角函数 单元检测题2024-2025学年 人教版数学九年级下册

学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 2024-2025学年 第28章 三角函数 单元检测题（原卷版） 一．选择题 1．（2024春•赣榆区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则cosA的值为（　　） A． B． C． D． 2．（2024•南岗区校级开学）在Rt△ABC中，∠C＝90°，现把这个三角形的三边都扩大为原来的3倍，则∠A的正弦值（　　） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的3倍 C．不变 D．不能确定 3．（2024•滨海新区校级模拟）tan30°﹣sin60°的值是（　　） A． B． C． D． 4．（2024•红河州二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，则∠B的正切值为（　　） A．1 B． C． D． 第4题 第6题 第7题 5．（2024•云南模拟）观测员从海面上的一艘小船上（小船和观测员高度忽略不计）观察前方高出海平面150米的一座山崖顶端，测得仰角为60°，则小船和山崖之间的水平距离为（　　） A．米 B．米 C．米 D．300米 6．（2024•邵阳模拟）∠BAC放在正方形网格纸的位置如图，则tan∠BAC的值为（　　） A． B． C． D． 7．（2024春•绵阳期末）如图，甲乙两艘轮船从某港口O同时出发，各自沿一固定方向航行，其中甲航行方向为北偏西60°，乙航行方向为北偏东30°，甲每小时航行12海里，乙每小时航行16海里，他们离开港口两小时后分别位于点A、B处，则此时两船相距（　　）海里． A．36 B．40 C．48 D．50 8．（2024•溧阳市模拟）在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，△ABC的周长为60，那么△ABC的面积为（　　） A．60 B．30 C．240 D．120 9．（2023秋•贵池区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝6，AB＝4，则BC的长是（　　） A．6 B．2 C．2 D．9 10．（2024•罗湖区校级模拟）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点B处前行30 m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20 m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度i＝1：，且点A，B，C，D，E在同一平面内，小明同学测得古塔AB的高度是（　　） A． B． C． D．40 m 第10题 第11题 第12题 11．（2024•丛台区校级模拟）如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），点B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则sin∠OBC为（　　） A． B． C． D． 12．（2024•聊城模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是中线，过点A作CD的垂线，分别交BC、CD于点E、F．若，AE＝26，则CD的长为（　　） A．39 B． C． D．19.5 二．填空题 13．（2024•高邮市校级模拟）在△ABC中，若，则∠C＝　 　°． 14．（2024•哈尔滨）△ABC是直角三角形，AB＝，∠ABC＝30°，则AC的长为 　 　． 15．（2024•双峰县模拟）已知，则sinα的值为 　 　． 16．（2024•宁波模拟）如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，3CD＝BD．若，则sin∠BAD＝　 　． 第16题 第17题第18题 17．（2024•溧阳市模拟）如图，为了测量铁塔AB的高度，在离铁塔底部（点B）60米的C处，测得塔顶A的仰角为30°，那么铁塔的高度AB＝　 　米． 18．（2024•深圳）如图，在△ABC中，AB＝BC，tan∠B＝，D为BC上一点，若满足CD＝BD，过D作DE⊥AD交AC延长线于点E，则＝　 　． 三．解答题 19．（2023秋•杜尔伯特县期末）计算：（﹣1）2023+2sin45°﹣cos30°+sin60°+tan260°． 20．（2024•瑶海区二模）如图，Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝32°，AB＝4，点D在BC边上，且∠CAD＝37°，求CD的长．（结果精确到0.1，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin32°≈0.55，cos32°≈0.83，tan32°≈0.66） 21．（2024•南岗区校级开学）一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的东南方向上的B处．（1）求∠APB的度数；（2）求海轮所在的B处与灯塔P的距离（结果保留根号）． 22．（2024•渝北区自主招生）如图为某景区平面示意图，C为景区大门，A，B，D分别为三个风景点．经测量，A，B，C在同一直线上，且A，B在C的正北方向，AB＝240米，点D在点B的南偏东75°方向，在点A的东南方向．（参考数据：（1）求B，D两地的距离；（结果精确到0.1米） （2）大门C在风景点D的南偏西60°方向，景区管理部门决定重新翻修CD之间的步道，翻修费用为每米200元，请计算此次翻修工程的总费用． 23．（2024•秦都区校级一模）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠ABC＝，点D在边BC上，BD＝4，连接AD，tan∠DAC＝．（1）求边AC的长；（2）求tan∠BAD的值． 24．（2024•鼓楼区校级一模）如图，在一笔直的海岸线上有A、B两个观测站，A在B的正东方向，AB＝2km．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向． （1）填空：∠PAB＝　 　度，∠PBA＝　 　度； （2）求点P到海岸线AB的距离； （3）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到达点C处．此时，从B测得小船在北偏西15°的方向，求点C与点B之间的距离．（2，3小题的结果都保留根号） 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 2024-2025学年 第28章 三角函数 单元检测题（解析版） 一．选择题 1．（2024春•赣榆区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则cosA的值为（　　） A． B． C． D． 【考点】同角三角函数的关系．版权所有 【分析】根据三角函数的定义，sinA＝＝，因而可以设BC＝5k，则AB＝13k，根据勾股定理可以求得AC的长，然后利用余弦的定义即可求解． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝＝， ∴设BC＝5k，则AB＝13k， 根据勾股定理可以得到：AC＝＝12k， ∴cosA＝＝． 故选：A． 【点评】本题考查了三角函数的定义，正确理解三角函数可以转化成直角三角形的边的比值，是解题的关键． 2．（2024•南岗区校级开学）在Rt△ABC中，∠C＝90°，现把这个三角形的三边都扩大为原来的3倍，则∠A的正弦值（　　） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的3倍 C．不变 D．不能确定 【考点】锐角三角函数的定义．版权所有 【分析】根据三角函数的定义解答即可． 【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，将各边长度都扩大为原来的3倍，其比值不变， ∴∠A的正弦值不变． 故选：C． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 3．（2024•滨海新区校级模拟）tan30°﹣sin60°的值是（　　） A． B． C． D． 【考点】特殊角的三角函数值．版权所有 【分析】把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 【解答】解：tan30°﹣sin60° ＝﹣ ＝﹣ ＝﹣． 故选：A． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键． 4．（2024•红河州二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，则∠B的正切值为（　　） A．1 B． C． D． 【考点】锐角三角函数的定义；含30度角的直角三角形；勾股定理．版权所有 【分析】先设AB＝2x，AC＝x，结合勾股定理得出，再运用正切定义列式化简，即可作答． 【解答】解：设AB＝2x，AC＝x， ∵∠C＝90°， ∴， ∴， 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理以及求一个角的正切值，掌握正切的定义是解题的关键． 5．（2024•云南模拟）观测员从海面上的一艘小船上（小船和观测员高度忽略不计）观察前方高出海平面150米的一座山崖顶端，测得仰角为60°，则小船和山崖之间的水平距离为（　　） A．米 B．米 C．米 D．300米 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．版权所有 【分析】由已知条件即可得出∠B＝60°，AC＝150米，则，代入计算即可． 【解答】解：根据题意如下图： 则∠B＝60°，AC＝150米， ∴（米）， ∴小船和山崖之间的水平距离为米， 故选：C． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是构造直角三角形解决问题． 6．（2024•邵阳模拟）∠BAC放在正方形网格纸的位置如图，则tan∠BAC的值为（　　） A． B． C． D． 【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理；勾股定理的逆定理．版权所有 【分析】连接CD，再利用勾股定理分别计算出AD、AC、BD的长，然后再根据勾股定理逆定理证明∠ADC＝90°，再利用三角函数定义可得答案． 【解答】解：连接CD，如图： ，CD＝，AC＝， ∵ ∴∠ADC＝90°， ∴tan∠BAC＝＝． 故选：D． 【点评】此题主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，以及锐角三角函数定义，关键是证明∠ADC＝90°． 7．（2024春•绵阳期末）如图，甲乙两艘轮船从某港口O同时出发，各自沿一固定方向航行，其中甲航行方向为北偏西60°，乙航行方向为北偏东30°，甲每小时航行12海里，乙每小时航行16海里，他们离开港口两小时后分别位于点A、B处，则此时两船相距（　　）海里． A．36 B．40 C．48 D．50 【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用．版权所有 【分析】由题意可知∠AOB＝90°，OA＝24海里，OB＝32海里，利用勾股定理求出AB即可． 【解答】解：由题意可知∠AOB＝90°， ∵甲每小时航行12海里，乙每小时航行16海里，航行两小时， ∴OA＝24海里，OB＝32海里， ∴AB＝＝＝40（海里）， 则此时两船相距40海里． 故选：B． 【点评】本题解直角三角形的应用﹣方向角问题，在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 8．（2024•溧阳市模拟）在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，△ABC的周长为60，那么△ABC的面积为（　　） A．60 B．30 C．240 D．120 【考点】解直角三角形．版权所有 【分析】由tanA的值，利用锐角三角函数定义设出BC与AC，进而利用勾股定理表示出AB，由周长为60求出x的值，确定出两直角边，即可求出三角形面积． 【解答】解：如图所示，由tanA＝， 设BC＝12x，AC＝5x，根据勾股定理得：AB＝13x， 由题意得：12x+5x+13x＝60， 解得：x＝2， ∴BC＝24，AC＝10， 则△ABC面积为120， 故选：D． 【点评】此题考查了解直角三角形，锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 9．（2023秋•贵池区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝6，AB＝4，则BC的长是（　　） A．6 B．2 C．2 D．9 【考点】解直角三角形；勾股定理．版权所有 【分析】作CD⊥AB，根据直角三角形的性质求出AD，根据勾股定理求出CD，根据勾股定理计算，得到答案． 【解答】解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D， ∵∠BAC＝120°， ∴∠DAC＝180°﹣120°＝60°， ∴∠ACD＝30°， ∴AD＝AC＝3， ∴BD＝AB+AD＝7， 由勾股定理得，CD＝＝3， 在Rt△BCD中，BC＝＝2， 故选：B． 【点评】本题考查的是解直角三角形，掌握含30°的直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键． 10．（2024•罗湖区校级模拟）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点B处前行30 m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20 m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度i＝1：，且点A，B，C，D，E在同一平面内，小明同学测得古塔AB的高度是（　　） A． B． C． D．40 m 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．版权所有 【分析】过点D作DF⊥AB于点F，DG⊥BC，交BC的延长线于点G，根据CD＝20m以及斜坡的斜面坡度i＝1：，可得DG＝BF＝10m，CG＝m，DF＝BG＝CG+BC＝（30+）m，在Rt△ADF中，tan30°＝，求出AF的值，再根据AB＝AF+BF可得出答案． 【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，DG⊥BC，交BC的延长线于点G， 由题意得，BC＝30m，CD＝20m，∠ADF＝30°，DG＝BF，DF＝BG， ∵斜坡的斜面坡度i＝1：， ∴， 设DG＝x m，则CG＝x m，CD＝2x m， ∴2x＝20， 解得x＝10， ∴DG＝BF＝10m，CG＝m，DF＝BG＝CG+BC＝（30+）m， 在Rt△ADF中，tan30°＝， 解得AF＝10+， ∴AB＝AF+BF＝（20+）m． 故选：A． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 11．（2024•丛台区校级模拟）如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），点B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则sin∠OBC为（　　） A． B． C． D． 【考点】解直角三角形；坐标与图形性质；圆周角定理．版权所有 【分析】连接DC，根据90度的圆周角所对的弦是直径可得CD是⊙A的直径，从而可得CD＝6，再根据已知易得：OC＝2，然后在Rt△COD中，利用锐角三角函数的定义可得sin∠CDO＝，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CDO＝∠OBC，即可解答． 【解答】解：连接DC， ∵∠COD＝90°， ∴CD是⊙A的直径， ∴CD＝2×3＝6， ∵点C（0，2）， ∴OC＝2， 在Rt△COD中，sin∠CDO＝＝＝， ∵∠CDO＝∠OBC， ∴sin∠OBC＝sin∠CDO＝， 故选：A． 【点评】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，坐标与图形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 12．（2024•聊城模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是中线，过点A作CD的垂线，分别交BC、CD于点E、F．若，AE＝26，则CD的长为（　　） A．39 B． C． D．19.5 【考点】解直角三角形；直角三角形斜边上的中线．版权所有 【分析】先在Rt△ACE中，根据AE长及∠CAE的正切求出AC的长，再通过∠B＝∠CAE，在Rt△ABC中求出BC的长，最后用勾股定理及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解决问题． 【解答】解：在Rt△ACE中， tan∠CAE＝＝， 则令CE＝2x，AC＝3x， 所以（2x）2+（3x）2＝262， 解得x＝（舍负）， 所以AC＝． 因为AE⊥CD， 所以∠CAE+∠AEC＝90°， 又因为∠AEC+∠ECD＝90°， 所以∠CAE＝∠ECD． 因为CD是斜边AB上的中线， 所以CD＝BD， 所以∠ECD＝∠B， 所以∠CAE＝∠B， 所以tanB＝tan∠CAE＝． 在Rt△ABC中， tanB＝， 所以BC＝． 所以AB＝＝39， 所以CD＝＝19.5． 故选：D． 【点评】本题考查解直角三角形及直角三角形斜边上的中线，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及正切的定义是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 13．（2024•高邮市校级模拟）在△ABC中，若，则∠C＝　105　°． 【考点】特殊角的三角函数值．版权所有 【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠A＝30°，∠B＝45°，进而结合三角形内角和定理得出答案． 【解答】解：∵， ∴∠A＝30°，∠B＝45°， 则∠C＝180°﹣30°﹣45°＝105°． 故答案为：105． 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 14．（2024•哈尔滨）△ABC是直角三角形，AB＝，∠ABC＝30°，则AC的长为 　2或　． 【考点】特殊角的三角函数值；锐角三角函数的定义．版权所有 【分析】分若∠B＝90°，若∠C＝90°求解即可． 【解答】解：若∠B＝90°，则AC＝＝2； 若∠C＝90°，则AC＝AB＝． 【点评】本题主要考查了三角函数的定义，解题关键是分类讨论． 15．（2024•双峰县模拟）已知，则sinα的值为 　　． 【考点】同角三角函数的关系．版权所有 【分析】根据sin2α+cos2α＝1变形计算即可． 【解答】解：∵，sin2α+cos2α＝1， ∴， 解得， 故答案为：． 【点评】本题考查了三角函数的性质，关键是掌握同一锐角的正弦与余弦之间的关系：对任一锐角α，都有sin2α+cos2α＝1． 16．（2024•宁波模拟）如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，3CD＝BD．若，则sin∠BAD＝　　． 【考点】解直角三角形；勾股定理．版权所有 【分析】过点D作DE⊥AB于E，则∠AED＝∠BED＝90°，设CD＝a，BD＝3a，则BC＝4a，由可得，，利用勾股定理求出AD、DE，根据正弦的定义即可求解． 【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，则∠AED＝∠BED＝90°， ∵3CD＝BD， ∴设CD＝a，BD＝3a， ∴BC＝4a， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了三角函数，勾股定理，正确作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 17．（2024•溧阳市模拟）如图，为了测量铁塔AB的高度，在离铁塔底部（点B）60米的C处，测得塔顶A的仰角为30°，那么铁塔的高度AB＝　20　米． 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．版权所有 【分析】直接利用锐角三角函数关系得出AB的值进而得出答案． 【解答】解：由题意可得：tan30°＝＝＝， 解得：AB＝20， 答：铁塔的高度AB为20m． 故答案为：20． 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键． 18．（2024•深圳）如图，在△ABC中，AB＝BC，tan∠B＝，D为BC上一点，若满足CD＝BD，过D作DE⊥AD交AC延长线于点E，则＝　　． 【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质．版权所有 【分析】根据问题分析：要求的值，可能需要构造相似或者平行线分线段成比例，所以作CM⊥AD于点M，从而将转化成，再根据题中条件去求解即可． 【解答】解：如图，过点A作AH⊥CB于点H，作CM⊥AD于点M， ∵AB＝BC，， 设BD＝8a，则CD＝5a， ∴BC＝AB＝BD+CD＝13a， ∵tanB＝， ∴AH＝5a，BH＝12a， ∴DH＝BH﹣BD＝4a，CH＝a， 在Rt△ACH中，AC＝＝a， 在Rt△ADH中，AD＝＝a， ∴cos∠ADC＝＝， ∴DM＝CD•cos∠ADC＝a， ∴AM＝AD﹣DM＝a， ∴． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了解直角三角形、平行线分线段成比例等知识点，作为填空压轴题有一定难度，其中熟练掌握相关知识和构造合适的辅助线是解题关键． 三．解答题（共7小题） 19．（2023秋•杜尔伯特县期末）计算：（﹣1）2023+2sin45°﹣cos30°+sin60°+tan260°． 【考点】特殊角的三角函数值．版权所有 【分析】根据有理数的乘方法则、特殊角的三角函数值计算． 【解答】解：（﹣1）2023+2sin45°﹣cos30°+sin60°+tan260° ＝﹣1+2×﹣++（）2 ＝﹣1++3 ＝2+． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 20．（2024•瑶海区二模）如图，Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝32°，AB＝4，点D在BC边上，且∠CAD＝37°，求CD的长．（结果精确到0.1，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin32°≈0.55，cos32°≈0.83，tan32°≈0.66） 【考点】解直角三角形．版权所有 【分析】根据正弦定义求出AC＝2.2，再根据正切定义求解即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝32°， ∴sinB＝＝sin32°＝0.55， ∵AB＝4， ∴AC＝4×0.55＝2.2， 在Rt△ABC中，∠CAD＝37°， ∴tan∠CAD＝＝tan37°＝0.75， ∴CD＝2.2×0.75＝1.65≈1.7． 【点评】此题考查了解直角三角形，熟记锐角三角函数定义是解题的关键． 21．（2024•南岗区校级开学）一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的东南方向上的B处． （1）求∠APB的度数； （2）求海轮所在的B处与灯塔P的距离（结果保留根号）． 【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．版权所有 【分析】（1）根据题意可得∠APE＝60°，∠BPF＝45°，AP＝80海里，根据含30°，45°角的直角三角形的性质即可求解； （2）根据题意可得，△BPG是等腰直角三角形，由此即可求解． 【解答】解：（1）如图所示， 根据题意，∠APE＝60°，AP＝80海里，∠BPF＝45°， ∴∠APG＝90﹣∠APE＝90°﹣60°＝30°，∠BPG＝45°， ∴∠APB＝∠APG+∠BPG＝30°+45°＝75°； （2）由题意可知，AG⊥PG，且∠APG＝30°，AP＝80海里， ∴海里，海里， ∵∠BPG＝45°， ∴△BPG是等腰直角三角形， ∴海里， ∴（海里）， ∴海轮所在的B处与灯塔P的距离海里． 【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 22．（2024•渝北区自主招生）如图为某景区平面示意图，C为景区大门，A，B，D分别为三个风景点．经测量，A，B，C在同一直线上，且A，B在C的正北方向，AB＝240米，点D在点B的南偏东75°方向，在点A的东南方向．（参考数据： （1）求B，D两地的距离；（结果精确到0.1米） （2）大门C在风景点D的南偏西60°方向，景区管理部门决定重新翻修CD之间的步道，翻修费用为每米200元，请计算此次翻修工程的总费用． 【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．版权所有 【分析】（1）过点B作BP⊥AD于点P，在Rt△ABP中，解直角三角形求出BP，根据含30度直角三角形的性质即可求出BD； （2）过点B作BM⊥CD于点M，在Rt△BDN和Rt△BCM中，根据三角函数的定义求出BD，BM，DM，CM，继而求出DC，即可得到结论 【解答】解：（1）过点B作BP⊥AD于点P， 由题意知∠BAD＝45°，∠CBD＝75°， ∴∠ADB＝30°，∠ABP＝45°＝∠A， ∴BD＝2 B P，AP＝BP， 在Rt△ABP中，AB＝240米， ∴（米）， ∴（米）． 答：B、D两地的距离约为339.4米； （2）过点B作BM⊥CD于点M， 由（1）得（米）， ∵∠CDB＝180°﹣60°﹣75°＝45°，∠CBD＝75°，∠DCB＝60°， ∴∠DBM＝45°＝∠CDB， ∴BM＝DM， 在Rt△BDM中，， ∴（米）， 在Rt△BCM中，∠CBM＝75°﹣45°＝30°， ∴（米）， ∴（米）， 费用为元， 答：翻新总费用为75712元． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 23．（2024•秦都区校级一模）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠ABC＝，点D在边BC上，BD＝4，连接AD，tan∠DAC＝． （1）求边AC的长； （2）求tan∠BAD的值． 【考点】解直角三角形．版权所有 【分析】（1）根据题意和锐角三角函数，可以求得AC的长； （2）根据（1）中的结果，可以得到AC、CD的长，然后根据勾股定理可以得到AD的长，再根据等面积法可以求得DE的长，从而可以求得AE的长，然后即可得到tan∠BAD的值． 【解答】解：（1）设AC＝3m， ∵BD＝4，BC＝CD+BD∠C＝90°，sin∠ABC＝，tan∠DAC＝， ∴CD＝2m， ∴4m＝2m+4， 解得m＝2， ∴AC＝3m＝6； （2）作DE⊥AB于点E， 由（1）知，AB＝5m＝10，AC＝6，BD＝4， ∵， ∴， 解得DE＝， ∵AC＝6，CD＝2m＝4，∠C＝90°， ∴AD＝＝2， ∴AE＝＝＝， ∴tan∠BAD＝， 即tan∠BAD的值是． 【点评】本题考查解直角三角形、锐角三角函数、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 24．（2024•鼓楼区校级一模）如图，在一笔直的海岸线上有A、B两个观测站，A在B的正东方向，AB＝2km．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向． （1）填空：∠PAB＝　30　度，∠PBA＝　45　度； （2）求点P到海岸线AB的距离； （3）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到达点C处．此时，从B测得小船在北偏西15°的方向，求点C与点B之间的距离．（2，3小题的结果都保留根号） 【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用．版权所有 【分析】（1）过点P作PD⊥AB于点D，垂足为D．根据平行线的性质得到∠PBE＝∠BPD＝45°，∠PAG＝∠APD＝60°，再根据直角三角形的性质计算即可； （2）设PD＝x km，先解Rt△PBD，用含x的代数式表示BD，再解Rt△PAD，用含x的代数式表示AD，然后根据BD+AD＝AB，列出关于x的方程，解方程即可； （3）过点B作BF⊥AC于点F，先解Rt△ABF，得出，再解Rt△BCF，得出． 【解答】解：（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D，垂足为D． ∴BE∥PD∥AG，∠BDP＝∠ADP＝90°， ∴∠PBE＝∠BPD＝45°，∠PAG＝∠APD＝60°， ∴∠PBA＝45°，∠PAB＝30°； 故答案为：30；45； （2）设PD＝x km． 在Rt△PBD中，∠PBD＝∠BPD＝45°， ∴BD＝PD＝x km． 在Rt△PAD中，∠ADP＝90°，∠PAD＝90°﹣60°＝30°， ∴x km． ∵BD+AD＝AB， ∴， 解得：， ∴点P到海岸线l的距离为； （3）如图，过点B作BF⊥AC于点F． 根据题意得：∠ABC＝105°， 在Rt△ABF中，∠AFB＝90°，∠BAF＝30°， ∴． ∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝45°． 在Rt△BCF中，∠BFC＝90°，∠C＝45°， ∴， ∴点C与点B之间的距离大约为． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中．通过作辅助线，构造直角三角形是解题的关键 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$