1.1.1空间向量及其运算课件(第一课时）-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

情境导入：生活中的空间向量 F1 F2 F3 图1 线缆同时受到来 自不同方向的支持力 图2 跳伞运动员同时受到 重力、风力、绳索牵拉力 图3 水平抬起钢板，钢板受 到来自不同方向上的作用力 思考：每个场景中的力都能用平面向量表示吗？ 情境导入 空间向量的有关概念 定义 与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量。 新知探究 类比平面向量，你能给出空间向量的有关概念吗？ 空间向量的有关概念 长度/模 空间向量的大小叫做空间向量的长度（或模）记为. 表示法 几何表示法 字母表示法 用有向线段表示。 用小写字母、等表示，或者用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。 A B 新知探究 空间向量的有关概念 零向量 单位向量 相等向量 相反向量 规定长度为的向量叫零向量，记为 模长为的的向量叫单位向量 长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量，的相反向量，记为 共线向量 表示若干空间向量的有向线段所在直线平行或重合 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量，都有 新知探究 辨析1：判断正误. (1)空间两个向量方向相反时，它们互为相反向量（ ） (2)若空间两个向量相等，则它们方向相同，且起点相同（ ） (3)若空间两个向量起点相同且长度相等，则这两个向量相等（ ） (4)将空间所有单位向量平移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆（ ） (2)× 空间向量可平行移动，相等向量起点可以不同． (3)× 缺少另一条件：方向相同． 【答案】(1)× 缺少另一条件：长度相等． (4)× 它们的终点构成一个球面． 练习巩固 　(多选)下列说法错误的是 A.任意两个空间向量的模能比较大小 B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C.空间向量就是空间中的一条有向线段 D.不相等的两个空间向量的模必不相等 跟踪训练 1 √ √ √ 7 空间向量的有关概念 思考：空间向量是如何运算的呢？与平面向量的运算有什么关系吗？ a b a b O A B 由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，这样任意两个空间向量的运算，都可以转化为平面向量的运算. 新知探究 空间向量的有关概念 由此，我们把平面向量的线性运算推广到空间，定义空间向量的加法、减法（如图）以及数乘运算（如图）： (1) (2) (3)当时， 当时， 当时， 新知探究 (1)求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，必须共起点. (2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 注 意 点 <<< (3)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 10 空间向量的有关概念 与平面向量一样，空间向量的线性运算满足以下运算律（其中）： 交换律： 结合律： 分配律： b c a a + b + c a + b b a a + b + c b + c c 新知探究 辨析2：如图,已知平行六面体，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量. A B C D A1 B1 C1 D1 (1) (2) (3) (4) 一般地，对于三个不共面的向量以任意点为起点，为邻边作平行六面体，则的和等于以为起点的平行六面体对角线所表示的向量 练习巩固 如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果. 跟踪训练 2 13 如图，连接GF，因为E，F，G分别是BC，CD，DB的 中点， 14 辨析3：如图,已知空间四边形中，向量 ， ，若为的中点，为的重心，试用， ， 表示下列向量： （1） ； （2） . A M C G D B 【答案】 练习巩固 　(1)(多选)已知m，n是实数，a，b是空间任意向量，下列命题正确的是 A.m(a－b)＝ma－mb B.(m－n)a＝ma－na C.若ma＝mb，则a＝b D.若ma＝na，则m＝n 例 3 √ √ m(a－b)＝ma－mb，A对； (m－n)a＝ma－na，B对； 若m＝0，则a，b不一定相等，C错； 若a＝0，则m，n不一定相等，D错. 16 ∵P是C1D1的中点， 17 ∵N是BC的中点， 18 ∵M是AA1的中点， 19 　如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中， M是棱BB1的中点，化简下列各式，并在图中标出 化简得到的向量. 跟踪训练 3 20 ∵M是BB1的中点， 21 22 空间向量及其线性运算 空间向量 常见的空间向量 线性运算 定义、长度（模）、表示法 零向量、单位向量、相等向量、相反向量 加法、减法、数乘 小结 作业： 1.完成大本随堂演练； 即＋＋＋…＋An－1An＝. 即＋＋＋…＋＝0. (1)＋－； ＋－＝＋＋＝＋＝，如图中向量. (2)－－. 所以＝，＝， 所以－－＝＋＋＝＋＋＝， 如图中向量. ∴＝＋＋＝a＋＋ ＝a＋c＋＝a＋b＋c. (2)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： ①； ∴＝＋＋＝－a＋b＋ ＝－a＋b＋＝－a＋b＋c. ②； ∴＝＋＝＋ ＝－a＋＝a＋b＋c. ③. (1)＋； ＋＝. ∴＝，又＝， ∴＋＋＝＋＝. (2)＋＋； －－－＝(＋)－(＋)＝－＝. (3)－－－. $$