11.2　与三角形有关的角 课件 2024-2025学年 人教版数学八年级上册

第11章　三角形 11.2　与三角形有关的角 11.2.1　三角形的内角 1. 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 ⁠. 符号语言：如图，在△ ABC 中， ∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＝180°. 180°　 ①利用三角形内角和求度数时，若给出比例、倍分关 系，注意设未知数列方程求解. ②任何一个三角形中，至少有两个锐角，最多有一个钝 角或直角. 注意： 知识导航 2. 三角形内角和定理的推论 （1）推论一：直角三角形的两个锐角 ⁠. 符号语言：如图，在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°， ∴∠ A ＋∠ B ＝90°. 互余　 （2）推论二：有两个角互余的三角形是 ⁠三 角形. 符号语言：如图，在△ ABC 中，∠ A ＋∠ B ＝90°， ∴△ ABC 是直角三角形. 直角　 知识导航 3. 常见模型 图1 图2 数量关系：如图1，∠1＋∠2＝∠3＋∠4； 数量关系：如图2，∠1＋∠2＝∠3＋∠ ACB . 知识导航 图3 图4 数量关系：如图3，∠1＋∠2＝∠3＋∠4； 数量关系：如图4，∠ A ＋∠ B ＝∠ C ＋∠ D . 知识导航 题型一　三角形内角和定理的应用 （1）在△ ABC 中，∠ A ＝70°，∠ A 比∠ B 大10°， 则∠ C ＝ ⁠； （2）如图，在△ ABC 中，∠ B ＝32°，∠ C ＝48°， AD 平分∠ BAC ，则∠ ADC 的度数是（　B　） 50°　 B A. 80° B. 82° C. 98° D. 100° 典例导思 如图，在△ ABC 中， BF 平分∠ ABC ， CF 平分 ∠ ACB ，∠ A ＝65°. （1）求∠ BFC 的大小； 解：（1）∵ BF 平分∠ ABC ， CF 平分∠ ACB ， ∴∠ FBC ＝ ∠ ABC ，∠ FCB ＝ ∠ ACB . ∵∠ A ＝65°，∴∠ ABC ＋∠ ACB ＝180°－65°＝115°. ∴∠ FBC ＋∠ FCB ＝ （∠ ABC ＋∠ ACB ）＝57.5°. ∴∠ BFC ＝180°－（∠ FBC ＋∠ FCB ）＝122.5°. 典例导思 （2）若将题目中“∠ A ＝65°”改为“∠ A ＝α”，则 ∠ BFC 的大小是多少？ 解：（2）由（1）中推理易知：∠ BFC ＝ 90°＋ α. 典例导思 1. 在△ ABC 中，∠ A ∶∠ B ∶∠ C ＝3∶4∶5，则∠ C 等 于（　C　） A. 45° B. 60° C. 75° D. 90° C 典例导思 2. 如图为两直线 l ， m 与△ ABC 相交的情形，其中 l ， m 分别与 BC ， AB 平行.根据图中标示的角度，则∠ B 的度 数为（　A　） A. 55° B. 60° C. 65° D. 70° （第2题） A 典例导思 题型二　直角三角形的性质和判定的应用 如图，点 D 为△ ABC 的角平分线 AE 的延长线上一 点，过点 D 作 DF ⊥ BC 于点 F . 若∠ B ＝80°，∠ C ＝ 50°，则∠ D 的度数是（　C　） C A. 10° B. 13° C. 15° D. 17° 典例导思 在△ ABC 中，如果∠ A ＝ ∠ B ＝ ∠ C ，试判断 △ ABC 的形状. 解：设∠ A ＝ x ，则∠ B ＝2 x ，∠ C ＝3 x . 由三角形内角和定理，得 x ＋2 x ＋3 x ＝180°， 解得 x ＝30°. ∴∠ A ＝30°，∠ B ＝60°，∠ C ＝90°. ∴△ ABC 为直角三角形. 典例导思 3. 如图，在△ ABC 中， AD 是 BC 边上的高， BE 平分 ∠ ABC 交 AC 边于点 E ，∠ BAC ＝60°，∠ ABE ＝25°， 则∠ DAC 的大小是（　B　） A. 15° B. 20° （第3题） B C. 25° D. 30° 典例导思 4. 如图，在△ ABC 中， AD 是角平分线， AE 是高.已知 ∠ BAC ＝2∠ B ，∠ B ＝2∠ DAE ，那么∠ ACB 的度数 为 ⁠. （第4题） 72°　 典例导思 $$第11章　三角形 11.2　与三角形有关的角 11.2.2　三角形的外角 1. 三角形外角的定义 三角形的一边与另一边的 组成的角，叫做三 角形的外角. 延长线　 2. 三角形外角的性质（三角形内角和定理的推论） 三角形的外角等于 的两个内角的和. 三角形的外角和等于 ⁠. 与它不相邻　 360°　 知识导航 温馨提示：三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶 角，所以三角形共有六个外角.通常每个顶点处取一个 外角，因此，我们常说三角形有三个外角.因为三角形 的每个外角与它相邻的内角是互补的，由三角形的内角 和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°. 知识导航 3. 基本几何图形——飞镖形 数量关系：∠ BDC ＝∠ A ＋∠ B ＋∠ C . 知识导航 题型一　利用三角形外角的性质求角度 （1）将一副三角板△ ABC 和△ ABD 按图1方式叠 放，其中∠ C ＝45°，∠ D ＝30°，则∠ AEB 等于 （　A　） A A. 75° B. 60° 图1 C. 45° D. 30° 典例导思 （2）（2024·成都石室）如图2，在△ ABC 中，∠ B ＝ 30°，∠ C ＝60°， D 是 BC 上一点，将△ ABD 沿 AD 翻折 后得到△ AED ，边 AE 交射线 BC 于点 F . 若 DE ∥ AC ， 则∠ ADC 等于（　A　） 图2 A A. 60° B. 65° C. 70° D. 80° 典例导思 1. 如图，∠ A ＝28°，∠ C ＝35°，∠ BDC ＝100°，则 ∠ B 的度数是（　D　） A. 43° B. 33° （第1题） D C. 47° D. 37° 典例导思 2. 如图，在△ ABC 中， D ， E 分别是边 AB 和 BC 上的 点，连接 ED 并延长交 CA 的延长线于点 F . 若∠ B ＝ 35°，∠ C ＝56°，∠ F ＝47°，则∠ ADF 的度数 为 ⁠. （第2题） 42°　 典例导思 题型二　利用三角形外角的性质进行证明 如图，下面是有关三角形内角、外角平分线的探 究，阅读后请按要求作答： （1）如图1， BP ， CP 分别是∠ ABC 和 ∠ ACB 的平分线且相交于点 P ，请猜想 ∠ A 与∠ P 之间的数量关系，并说明理由； 典例导思 解：（1）∠ P ＝90°＋ ∠ A . 理由如下： ∵ BP ， CP 分别是∠ ABC 和∠ ACB 的平分线， ∴∠ PBC ＝ ∠ ABC ，∠ PCB ＝ ∠ ACB . ∵∠ P ＝180°－（∠ PBC ＋∠ PCB ）， ∴∠ P ＝180°－ （∠ ABC ＋∠ ACB ）＝180°－ （180° －∠ A ）＝90°＋ ∠ A . 典例导思 （2）如图2， BP ， CP 分别是∠ ABC 和∠ ACB 外角的 平分线且相交于点 P ，请猜想∠ A 与∠ P 之间的数量关 系，并说明理由； 解：（2）∠ P ＝90°－ ∠ A . 理由如下： ∵ BP ， CP 分别是∠ ABC 和∠ ACB 外角的平分线， ∴∠ PBC ＝ ∠ DBC ，∠ PCB ＝ ∠ ECB ， 典例导思 ∴∠ PBC ＝ （180°－∠ ABC ）， ∠ PCB ＝ （180°－∠ ACB ）， ∴∠ P ＝180°－（∠ PBC ＋∠ PCB ）＝180°－ （360° －∠ ABC －∠ ACB ）＝180°－ [360°－（180°－ ∠ A ）]＝90°－ ∠ A . 典例导思 （3）如图3， BP 为∠ ABC 的平分线， CP 为∠ ACB 的 外角∠ ACF 的平分线，它们相交于点 P ，请直接写出 ∠ A 与∠ P 之间的数量关系. 典例导思 解：（3）∠ P ＝ ∠ A . 理由如下： ∵ BP 为∠ ABC 的平分线， CP 为∠ ACF 的平分线， ∴∠ PBC ＝ ∠ ABC ，∠ PCF ＝ ∠ ACF . ∵∠ PCF ＝∠ PBC ＋∠ P ， ∴∠ P ＝∠ PCF －∠ PBC ＝ ∠ ACF － ∠ ABC ＝ （∠ ACF －∠ ABC ）＝ ∠ A . 典例导思 3. 如图，在△ ABC 中， BP 是∠ ABC 的平分线， CP 是 ∠ ACB 的外角的平分线.若∠ ABP ＝20°，∠ ACP ＝60°， 则∠ A －∠ P 等于（　D　） A. 70° B. 60° （第3题） D C. 50° D. 40° 典例导思 4. 如图，在△ ABC 中，将△ ADE 沿 DE 翻折，点 A 落在 点 F 处，则∠ A ，∠ BDF ，∠ CEF 三者之间的关系是 （　D　） A. ∠ CEF ＝∠ BDF ＋∠ A B. ∠ CEF －3∠ A ＝∠ BDF C. ∠ CEF ＝2（∠ BDF ＋∠ A ） D. ∠ CEF －∠ BDF ＝2∠ A （第4题） D 典例导思 5. 如图，在三角形纸片 ABC 中，∠ A ＝75°，∠ B ＝72°. 将三角形纸片的一角折叠，使点 C 落在△ ABC 内.如果 ∠1＝32°，那么∠2的度数为 ⁠. （第5题） 34°　 典例导思 $$