11.1　与三角形有关的线段 课件 2024-2025学年 人教版数学八年级上册

第11章　三角形 11.1　与三角形有关的线段 11.1.1　三角形的边 1. 三角形的有关概念及表示 由不在同一条直线上的三条线段 ⁠顺次相接所组 成的图形叫做三角形. 如图，线段 AB ， BC ， CA 是三角形的 ，点 A ， B ， C 是三角形的 ，∠ A ，∠ B ，∠ C 是相邻 两边组成的角，叫做三角形的 ，简称三角形 的 ⁠. 首尾　 边　 顶点　 内角　 角　 知识导航 三角形的边有时也用小写字母表示.如图，顶点 A 所对的 边 BC 用 表示，顶点 B 所对的边 AC 用 ⁠表 示，顶点 C 所对的边 AB 用 表示. 顶点是 A ， B ， C 的三角形，记作 ，读作 “三角形 ABC ”. a 　 b 　 c 　 △ ABC 　 知识导航 2. 三角形按角分类 三角形 知识导航 3. 三角形按边分类 三角形 知识导航 4. 三角形三边的关系 三角形两边的和 第三边，三角形两边的差 ⁠ 第三边.即若 a ， b ， c 为三角形的三边，则 ＜ c ＜ a ＋ b . 注意：判断三边能否组成三角形，只需判断两条较小边 之和是否大于第三条边.若大于，则能组成三角形；若 小于或等于，则不能组成三角形. 大于　 小 于　 知识导航 题型一　三角形的有关概念及表示 如图所示. （1）图中有 个三角形，分别是 ⁠ ⁠ ⁠； 7　 △ ADE 、 △ AEF 、 △ CEF 、△ BDC 、△ AEC 、△ ACD 、△ ABC 典例导思 （2）在△ ABC 中，∠ B 所对的边是 ；在△ AEF 中， AE 边所对的角是 ⁠. [方法点拨] 例（1）问最好用“先小后 大”的方法数，即由一部分构成的三 角形，由两部分构成的三角形，由三 部分构成的三角形等，做到不重复， 不遗漏. AC 　 ∠ AFE 　 典例导思 1. 若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角 形”，则图中以 BC 为公共边的“共边三角形”有 （　B　） A. 2对 B. 3对 （第1题） B C. 4对 D. 6对 典例导思 2. 如图，在△ BCE 中，边 BE 所对的角是 ⁠， ∠ CBE 所对的边是 ；在△ ACE 中，边 AE 所对 的角是 ，∠ AEC 所对的边是 ；∠ A 为内角的三角形是 ⁠. （第2题） ∠ BCE 　 CE 　 ∠ ACE 　 AC 　 △ ABD ，△ ABC ，△ ACE 典例导思 题型二　三角形三边的大小关系 （1）以下列长度的各组线段为边，能组成三角形 的是（　C　） A. 2 cm，4 cm，6 cm B. 2 cm，5 cm，9 cm C. 7 cm，8 cm，10 cm D. 6 cm，6 cm，13 cm C 典例导思 （2）在△ ABC 中，若 AB ＝3， BC ＝4，且周长为奇 数，则第三边的长可以是（　C　） A. 1 B. 3 C. 4 D. 8 C 典例导思 （3）三角形的三边长分别是6，2 a －2，8，则 a 的取值 范围是 ⁠. [方法归纳] （1）判断三条线段能否组成三角形，只需 判断较短的两条线段之和能否大于最长的线段或较长的 两条线段之差能否小于最短的线段即可；（2）求第三 边范围时，常用“两边之差＜第三边＜两边之和”建立 不等关系求解. 2＜ a ＜8　 典例导思 3. 下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是 （　B　） A. 1cm，2cm，3cm B. 3cm，4cm，5cm C. 4cm，5cm，10cm D. 6cm，9cm，2cm B 4. 现有四根木棒，长度分别为4 cm，6 cm，8 cm， 10 cm，从中任取三根木棒，能组成三角形的个数 为 个. 3　 典例导思 题型三　三角形三边关系的应用 一个等腰三角形的周长为40 cm. （1）求腰长的取值范围； 解：（1）设腰长为 x cm，则底边长为（40－2 x ）cm. 由题意，得 解得10＜ x ＜20. 典例导思 （2）若一边的长为10 cm，求另外两边的长. 解：（2）由（1）知，这一条边为底边， ∴腰长为 ＝15 （cm）. ∴另外两边的长为15 cm，15 cm. [易错点拨] 在等腰三角形中，当不清楚已知的边是腰还 是底时，一定要分类讨论.在求出等腰三角形的边长 后，还要根据三角形的三边关系看这三条线段能否组成 三角形. 典例导思 5. 已知三角形的三边长分别为2， a －1，4，则化简 ＋ 的结果为（　C　） A. 2 a －10 B. 10－2 a C. 4 D. －4 C 典例导思 6. 已知△ ABC 的三边长分别为 a ， b ， c . （1）若 a ， b ， c 满足（ a － b ）2＋（ b － c ）2＝0，试 判断△ ABC 的形状； 解：（1）∵（ a － b ）2＋（ b － c ）2＝0， ∴ a － b ＝0， b － c ＝0， ∴ a ＝ b ＝ c ， ∴△ ABC 是等边三角形. 典例导思 （2）若 a ＝5， b ＝2，且 c 为整数，求△ ABC 的周长的 最大值及最小值. 解：（2）∵ a ＝5， b ＝2， ∴5－2＜ c ＜5＋2，即3＜ c ＜7. ∵ c 为整数，∴ c ＝4，5，6. 当 c ＝4时，△ ABC 的周长最小， 最小值为5＋2＋4＝11； 当 c ＝6时，△ ABC 的周长最大， 最大值为5＋2＋6＝13. 典例导思 $$第11章　三角形 11.1　与三角形有关的线段 11.1.2　三角形的高、中线与角平分线 1. 三角形的高：从三角形的一个顶点向对边作垂 线， 与 之间的线段叫做三角形的高. （1）三角形的三条高线（或其延长线）交于 ⁠； 顶点　 垂足　 一点 （2）锐角三角形的三条高线交点在三角形 ，直 角三角形的三条高线交点即为 ，钝角三角 形的三条高线的延长线交点在三角形 ⁠. 内　 直角顶点　 外　 知识导航 注意：①三角形的三条高所在直线交于同一点，如图. 知识导航 ②三角形的三条高的特性 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 高在三角形内部 的数量 3 1 1 三条高之间是否 相交 相交 相交 不相交 知识导航 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 三条高所在的直线是否相交 相交 相交 相交 三条高所在直线的交点的位置 三角形 内部 直角 顶点 三角形 外部 知识导航 2. 三角形的中线：连接三角形的顶点与 ⁠的 线段叫做三角形的中线. （1）三角形的三条中线相交于一点，这个点叫做三角 形的 ⁠； （2）三角形的三条中线交点在三角形 ⁠； （3）三角形的一条中线可以等分三角形的面积. 对边中点　 重心　 内　 知识导航 3. 三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与 它的对边相交，连接这个角的 和 ⁠之 间的线段叫做三角形的角平分线，也叫做三角形的内 角平分线. （1）三角形的三条角平分线交于 ⁠； （2）三角形的三条角平分线交点在三角形 ⁠. 注意：三角形的高线、中线、角平分线都是线段，既不 是射线，也不是直线. 顶点　 交点　 一点　 内　 知识导航 4. 归纳与小结 三角形的重 要线段 图形 符号语言 三角形的高线 ∵ AD 是△ ABC 的高线， ∴ AD ⊥ BC ， ∴∠ ADB ＝∠ ADC ＝90° 三角形的中线 ∵ AD 是△ ABC 的边 BC 上 的中线，∴ BD ＝ CD ＝ BC 知识导航 三角形的重 要线段 图形 符号语言 三角形的角 平分线 ∵ AD 是△ ABC 的角平分 线， ∴∠1＝∠2＝ ∠ BAC 知识导航 题型一　三角形的高 （1）如图1，在△ ABC 中， AB 边上的高 是 ， BC 边上的高是 ；在△ BCF 中， CF 边上的高是 ⁠； 图1 CE 　 AD 　 BC 　 ； 典例导思 （2）如图2，△ ABC 的三条高线交于点 H ，则有∠ HAE ＝ ，∠ HAF ＝ ，∠ HBF ＝ ； S△ ABC ＝ BC · AD ＝ 　 AC · BE 　 ＝ ⁠； 图2 ∠ HBD 　 ∠ HCD 　 ∠ HCE 　 AC · BE 　 AB · CF 　 典例导思 （3）如图3， AD ， BE 分别是△ ABC 中 BC ， AC 边上的 高， BC ＝8 cm， AC ＝4 cm.若 AD ＝3 cm，则 BE 的长 为 ⁠cm. 图3 6　 典例导思 1. 如图，在△ ABC 中， AD ⊥ AB ，有下列三个结论：① AD 是△ ACD 的高；② AD 是△ ABD 的高；③ AD 是 △ ABC 的高.其中正确的结论是（　D　） A. ①和② B. ①和③ C. ②和③ D. 只有②正确 （第1题） D 典例导思 2. 如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，∠1＝∠ B . （1）试说明 CD 是△ ABC 的高； 解：（1）∵∠ ACB ＝90°， ∴∠1＋∠ BCD ＝90°. 又∵∠1＝∠ B ， ∴∠ B ＋∠ BCD ＝90°， ∴∠ BDC ＝90°， 即 CD ⊥ AB ， ∴ CD 是△ ABC 的高. （第2题） 典例导思 （2）如果 AC ＝8， BC ＝6， AB ＝10，求 CD 的长. 解：（2）∵∠ ACB ＝∠ BDC ＝90°， ∴ S△ ABC ＝ AC · BC ＝ AB · CD ， ∴ CD ＝ ＝ ＝ . （第2题） 典例导思 题型二　三角形的中线 （1）如图1，在△ ABC 中，已知点 E ， F 分别是 AD ， CE 的中点，且 S△ ABC ＝4 cm2，则 S△ BEF ＝ cm2； 图1 1　 典例导思 （2）如图2，在△ ABC 中，点 D ， E ， F 分别在三边 上， E 是 AC 的中点， AD ， BE ， CF 交于一点 G ， BD ＝2 DC ， S△ BGD ＝8， S△ AGE ＝3，则△ ABC 的面积 是 ⁠； 图2 30　 典例导思 （3）在△ ABC 中， AB ＝ AC ， AC 边上的中线 BD 把△ ABC 的周长分成12 cm和15 cm的两部分，则这个等腰三 角形的腰长是 ⁠cm. [方法归纳] （1）三角形的中线将三角形分成面积相等 的两部分；（2）等底不等高的三角形的面积之比等于 高之比；（3）等高不等底的三角形的面积之比等于底 之比. 8或10　 典例导思 3. 如图，在△ ABC 中， D ， E ， F 分别是 AC ， BD ， AE 的中点.若△ DEF 的面积为1，则△ ABC 的面积为 （　C　） A. 3 B. 4 C. 8 D. 12 （第3题） C 典例导思 4. 在△ ABC 中， AM 是 BC 边上的中线.已知 AB － AC ＝ 5，且△ AMC 的周长是20，则△ ABM 的周长是 ⁠. 25　 典例导思 题型三　三角形的角平分线 （1）如图1，在△ ABC 中， AD ， CE 是△ ABC 的角平分线.若∠ BAC ＝60°，∠ ACE ＝40°，则∠ DAC ＝ ，∠ BCE ＝ ，∠ ABC ＝ ⁠； 图1 30°　 40°　 40°　 典例导思 （2）如图2，在△ ABC 中，∠ BAC ＝100°， AD ⊥ BC 于点 D ， AE 平分∠ BAC 交 BC 于点 E . 若∠ C ＝26°，则 ∠ DAE 的度数为 ⁠. 图2 14°　 典例导思 5. 如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下列结论中错误的是 （　D　） A. BD 是△ ABC 的角平分线 B. CE 是△ BCD 的角平分线 C. ∠3＝ ∠ ACB D. CE 是△ ABC 的角平分线 （第5题） D 典例导思 6. 如图，△ ABC 的三条角平分线交于点 I ，则有： （第6题） ∠ BAD ＝ ⁠， ∠ ABE ＝ ⁠， ∠ ACB ＝2 ⁠. ∠ CAD 　 ∠ ABC 　 ∠ ACF 或∠ BCF 　 典例导思 $$第11章　三角形 11.1　与三角形有关的线段 11.1.3　三角形的稳定性 三角形的稳定性 由于构成三角形的三边的长固定时，三角形的形状和大 小不会发生变化，所以三角形具有 ，而四边 形不具有稳定性. 通过添加适当的线段，可以将多边形转化为由若干 个 组成的图形，使不具有稳定性的多边形转 化为具有稳定性的多个三角形. 稳定性　 三角形　 知识导航 题型一　生活中三角形的稳定性的应用 （1）如图1，桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，主 要是为了（　C　） A. 节省材料，节约成本 B. 保持对称 C. 利用三角形的稳定性 D. 美观漂亮 图1 C 典例导思 （2）下列设备，没有利用三角形的稳定性的是 （　A　） A. 活动的四边形衣架 B. 起重机 C. 屋顶三角形钢架 D. 相机支架 A 典例导思 （3）如图2，木工师傅做长方形门框时，会在门上斜着 钉两条木板，使其不变形，这样做的数学原理是 ⁠ ⁠. 图2 三角 形具有稳定性　 典例导思 1. 空调安装在墙上时，一般用如图所示的方法固定， （第1题） 该方法应用的几何原理是（　C　） C A. 两点确定一条直线 B. 两点之间线段最短 C. 三角形的稳定性 D. 垂线段最短 典例导思 2. 如图所示是一幅电动伸缩门的图片，电动门能伸缩的 几何原理是： ⁠. （第2题） 四边形的不稳定性　 典例导思 题型二　对几何图形稳定性的设计与判断 如图，工人在墙内镶嵌了一个四边形窗框，为了防 止变形，工人师傅需采用一种加固方法，下面四种方 案，你认为错误的是（　D　） D A B C D 典例导思 3. 将几根木条用钉子钉成如下的模型，其中在同一平面 内不具有稳定性的是（　C　） A B C D C 典例导思 4. 如图是一个由四根木条钉成的框架，拉动其中两根木 条后，它的形状将会改变，若固定其形状，下列有四种 加固木条的方法，不能固定形状的是钉在哪两点上的木 条（　D　） A. A ， F B. C ， E C. C ， A D. E ， F （第4题） D 典例导思 5. （1）下列图形中具有稳定性的是 ；（填 序号） （第5题） ①④⑥　 典例导思 （2）对不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使 之具有稳定性. 解：（2）如答案图所示. （答案图） （第5题） 典例导思 $$