1.4.2.2空间向量研究夹角问题导学案-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.4.2.2 空间向量研究夹角问题导学案 1、 本节重、难点 重点：利用向量研究夹角问题的方法，用向量的数量积计算向量之间的夹角，并转化为空间角 难点：对空间向量研究夹角问题的原理的理解和方法的掌握并能计算正确，对向量的几何意义的理解 2、 教学过程 任务一：利用向量求两条直线的夹角 思考1：两条直线夹角的定义是什么？ 两条相交直线夹角的定义：平面内，两条直线相交形成4个角，其中 的角称为这两条直线所成的角（或夹角）． 两条异面直线夹角的定义：空间中，空间中，两条异面直线，经过空间任一点作直线，我们把直线所成的角叫做异面直线所成的角（或夹角）． 思考2：根据前面的定义两条直线夹角的取值范围是怎样的？ 空间中两条直线夹角的取值范围是 ． 特别的，两条异面直线的夹角的取值范围是 ． 问题1 如何用空间向量求两条直线的夹角？（学生讨论） 思考3：两直线方向向量的夹角与两直线的夹角有什么关系？ 例1 如图，在棱长为１的正四面体（四个面都是正三角形）中，， 分别为，的中点． （1）求直线与夹角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 总结：空间向量求两条直线,的夹角的步骤与方法： 任务二：利用向量求直线与平面所成的角 首先回顾直线与平面所成角的定义，包含了这样几种情况： 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角为； 一条直线与平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角为； 一条直线与平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线. 思考4：斜线与平面所成的角的定义是什么？ 过斜线上斜足B外一点 A向平面引垂线AC ，过垂足C 和斜足B的直线BC 叫做斜线在平面上的射影. 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角． 思考5：直线与平面所成的角的取值范围是什么？ 直线与平面所成角的取值范围是 ． 问题2 如何用空间向量求两条直线的夹角？ 思考6：用空间向量求直线与平面所成的角，需要求些向量？ 直线的方向向量，平面的法向量． 思考7：向量的夹角直线和平面所成的角有什么关系？ 例2 如图，直三棱柱中，，是的中点，是的中点． (1)证明：直线直线; (2)求直线与平面所成的角的大小． 总结：用空间向量求直线平面所成角的步骤和方法： 任务三：利用向量解决平面与平面的夹角 空间两个平面的位置关系分为 和 ． 对于//，我们可以规定它们的夹角为 ．如图，平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角称为平面与平面的夹角． 思考8：两个平面夹角的取值范围是什么？ 两个平面夹角的取值范围是 思考9：这里，我们用二面角来定义两个平面的夹角，请问二面角的大小是如何度量的？ 思考10：二面角的平面角是如何定义的？ 问题3：如何用向量方法求两个平面的夹角？ 师生讨论：根据两个平面夹角的定义，可以按这样的思路转化解决问题：求平面，的夹角→求直线，的夹角→求方向向量,的夹角→求得向量,的夹角→求得平面，的夹角． 例3 如图，在直三棱柱中，，，，为的中点，点，分别在棱，上，， ．求平面与平面夹角的余弦值. 总结：用空间向量求两个平角夹角的一般步骤： 学科网（北京）股份有限公司 $$