精品解析：2023-2024学年人教版九年级上学期开学摸底测验数学试题

2023-2024学年人教版数学九年级上学期开学摸底测验试题 （全卷三个大题，共24个小题；满分100分，考试用时120分钟） 一、选择题（本大题共12小题．每小题只有一个正确选项，每小题3分，共36分） 1. 等式成立的条件是（ ） A. 且 B. C. D. 2. 下列计算正确的是(　　) A. B. C. D. 3. 已知三角形三边长分别为12，13，5，则这个三角形的面积为（ ） A. 78 B. 65 C. 60 D. 30 4. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=2，则四边形CODE的周长是( ) A 2.5 B. 3 C. 4 D. 5 5. 学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地．两人之间的距离（米）与时间（分钟）之间的函数关系如图所示．其中说法正确的是（ ） A. 甲的速度是60米/分钟 B. 乙的速度是80米/分钟 C. 点的坐标为 D. 线段所表示的函数表达式为 6. 关于一组数据的平均数、中位数、众数，下列说法中正确的是（ ） A. 平均数一定是这组数中的某个数 B. 众数一定是这组数中的某个数 C. 中位数一定是这组数中的某个数 D. 以上说法都不对 7. 若一组数据，，…，的平均数为17，方差为2，则另一组数据，，…，的平均数、方差分别为（ ） A 17，2 B. 18，2 C. 17，3 D. 18，3 8. 如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（ ） A. 0.4 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8 9. 如图所示，函数和的图像相交于，两点，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 10. 如图，菱形沿射线平移，得到菱形，延长，相交于点M，延长，相交于点N，若，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 11. 如图，在中，，，点D是边上一点，连接，把绕点D旋转至，连接．若，∠DEB＝90°，则长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 12. 如图，正方形中，点是边的中点，，交于点，、交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　） A. ①③ B. ①②③④ C. ①②③ D. ①③④ 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 13. 已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简____． 14. 甲、乙两个同学在四次数学模拟测试中，平均成绩都是112分，方差分别是，，则甲、乙两个同学的数学成绩比较稳定的是______． 15. 若点，在直线上，且满足，则_____．(选填“”或“”) 16. 如图，在中， ，为边上的中线，过点作交于点.若，，则的长为__________． 三、解答题（本答题共8小题，共56分） 17. 计算： (1)； (2)． 18. 若，为实数，且，求的值. 19. 为了考察甲、乙两种玉米的生长情况，在相同的时间，将它们种在同一块实验田里，经过一段时间后，分别抽取了10株幼苗，测得苗高如下（单位：）： 甲：8，12，8，10，13，7，12，11，10，9； 乙：11，9，7，7，12，10，11，12，13，8． （1）分别求出两种玉米平均高度； （2）哪种玉米的幼苗长得比较整齐？ 20. 某动物园在周年庆来临之际，推出、两种纪念章，已知每个种纪念章的进价比每个种纪念章的进价多4元；购进6件种纪念章和购进10件种纪念章的费用相同，且种纪念章售价为13元/个，种纪念章售价为8元/个． （1）每个种纪念章和每个种纪念章的进价分别是多少元？ （2）根据网上预约的情况，该园计划用不超过2800元的资金购进、两种纪念章共400个，这400个纪念章可以全部销售，选择哪种进货方案，该园获利最大？最大利润是多少元？ 21. 如图，直线：与直线：相交于点A，直线与y轴相交于点B，直线与y轴负半轴相交于点C，，点A纵坐标为3． （1）求直线的解析式； （2）若D是直线上一点，且点D的横坐标为1，求的面积． 22. 如图，在中，∠C＝90°，D是边BC上一点，连接AD并延长至点E，AD＝DE，过点E作EF⊥BC于点F，连接BE． （1）求证：． （2）若BE＝DE，AC＝8，CD＝4，求AB的长． 23. 如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边分别相交于点M、N． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，菱形的面积为120，求菱形的周长． 24. 如图，四边形是正方形，M是边上的一点，E是的中点，平分． （1）判断与的数量关系，并说明理由； （2）求证：； （3）若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年人教版数学九年级上学期开学摸底测验试题 （全卷三个大题，共24个小题；满分100分，考试用时120分钟） 一、选择题（本大题共12小题．每小题只有一个正确选项，每小题3分，共36分） 1. 等式成立的条件是（ ） A. 且 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的意义和分母不为零的条件，列不等式组求解． 【详解】解：根据二次根式意义，有，且x−3>0， 解得x>3. 故选:D. 【点睛】考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数大于等于0是解题的关键. 2. 下列计算正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：（A）原式＝2+4，故A错误； （B）原式＝2，故B错误； （D）原式＝﹣，故D错误； 故选C． 【点睛】本题考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型． 3. 已知三角形三边长分别为12，13，5，则这个三角形的面积为（ ） A. 78 B. 65 C. 60 D. 30 【答案】D 【解析】 【分析】先根据勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形，再利用面积公式求得面积． 【详解】解：∵52＋122＝132， ∴三边长分别为5、12、13的三角形构成直角三角形，其中的直角边是5、12， ∴此三角形的面积为×5×12＝30． 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 4. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=2，则四边形CODE的周长是( ) A. 2.5 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD=3，即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案． 【详解】解：∵CE∥BD，DE∥AC， ∴四边形CODE是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD=2，OA=OC，OB=OD， ∴ ∴四边形CODE是菱形， ∴四边形CODE的周长为：． 故选C． 【点睛】本题考查了矩形性质和菱形判定和性质的应用，注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 5. 学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地．两人之间的距离（米）与时间（分钟）之间的函数关系如图所示．其中说法正确的是（ ） A. 甲速度是60米/分钟 B. 乙的速度是80米/分钟 C. 点的坐标为 D. 线段所表示的函数表达式为 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象信息，甲60分钟行驶2400米，根据速度=路程÷时间可得甲的速度；由甲、乙两人的速度和为2400÷24=100米/分钟，减去甲的速度得出乙的速度，再根据“路程、时间与速度”的关系解答即可；求出乙从图书馆回学校的时间即A点的横坐标，用A点的横坐标乘以甲的速度得出A点的纵坐标，再将A、B两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出线段AB所表示的函数表达式． 【详解】解：A、根据图象信息，甲的速度为2400÷60=40米/分钟，故A选项错误； B、∵甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，t=24分钟时甲乙两人相遇， ∴甲、乙两人的速度和为2400÷24=100米/分钟， ∴乙的速度为100-40=60米/分钟，B选项错误； C、乙从图书馆回学校的时间为2400÷60=40分钟， 40×40=1600， ∴A点的坐标为（40，1600），故C选项错误； D、设线段AB所表示的函数表达式为y=kt+b， ∵A（40，1600），B（60，2400）， ∴， 解得：， ∴线段所表示的函数表达式为，故D选项正确； 故选D. 【点睛】本题考查了一次函数的应用，路程、速度、时间的关系，用待定系数法确定函数的解析式，读懂题目信息，从图象中获取有关信息是解题的关键． 6. 关于一组数据的平均数、中位数、众数，下列说法中正确的是（ ） A. 平均数一定是这组数中的某个数 B. 众数一定是这组数中的某个数 C. 中位数一定是这组数中的某个数 D. 以上说法都不对 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：A、如数据0，1，1，4这四个数的平均数是1.5，不是这组数中的某个数，错误； B、众数是一组数据中出现次数最多的数，它一定是数据中的数，正确； C、如数据1，2，3，4的中位数是2.5，不是这组数中的某个数，错误； D、错误． 故选B． 7. 若一组数据，，…，的平均数为17，方差为2，则另一组数据，，…，的平均数、方差分别为（ ） A. 17，2 B. 18，2 C. 17，3 D. 18，3 【答案】B 【解析】 【分析】根据方差的公式解题即可． 【详解】解：由题意可知， 则另一组数据的平均数为： 方差为： 即另一组数据的平均数为18，方差为2， 故选：B． 【点睛】本题考查平均数、方差等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 8. 如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（ ） A. 0.4 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8 【答案】D 【解析】 【分析】首先在直角三角形中计算出长，再由题意可得长，再次在直角三角形中计算出长，从而可得的长度． 【详解】解：∵米，米， ∴（米）， ∵梯子的顶部下滑0.4米， ∴米， ∴米， ∴米． ∴梯子的底部向外滑出（米）． 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理的应用．抓住“梯子长度不变”是解题关键． 9. 如图所示，函数和的图像相交于，两点，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先由已知得出y1＝x或y1＝−x又相交于（−1，1），（2，2）两点，根据y1＞y2结合图像的位置关系，即可求出x的取值范围． 【详解】解：∵当x≥0时，y1＝x；当x＜0时，y1＝−x， 两直线的交点为（2，2），（−1，1）， ∴由图象可知：当y1＞y2时x的取值范围为：x＜−1或x＞2． 故选C． 【点睛】此题考查的是两条直线相交问题，关键是掌握，当y1＞y2时x的取值范围等价于y1所对应的图像在y2所对应的图像上方部分图像上点的横坐标的范围． 10. 如图，菱形沿射线平移，得到菱形，延长，相交于点M，延长，相交于点N，若，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平移的性质可得，，，四边形是平行四边形，即可求出，结合，易知，，由菱形的性质可得，，所以，由等腰三角形的性质可得． 【详解】解：如下图， ∵， ∴， 由平移的性质可得，，，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、平移的性质等知识，解题关键是根据平移的性质得到，由菱形的性质得到为等腰三角形． 11. 如图，在中，，，点D是边上一点，连接，把绕点D旋转至，连接．若，∠DEB＝90°，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，交于，则，由含的直角三角形可得，，由旋转可知，，设，则，，，由勾股定理可得，则，，，可得，解得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 由旋转可知，， 过点作，交于，则， ∴， ∴， 设，则，，， 由勾股定理可得，则 ，， 则，解得：， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查含的直角三角形，旋转的性质，勾股定理，利用结合勾股定理构造方程是解决问题的关键． 12. 如图，正方形中，点是边的中点，，交于点，、交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　） A. ①③ B. ①②③④ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查正方形性质，三角形全等的判定和性质．根据正方形的性质，可证，，，，由此即可求解． 【详解】解：正方形中，点是边的中点， ∴，，， ∴， ∴，故结论①正确； ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，故结论②正确； ∵与是等底等高的两个三角形， ∴与的面积相等，即， ∵，， ∴，故结论③正确； 由结论①，②可知，， ∵， ∴， ∴．故结论④正确． 综上所述，正确的有①②③④． 故选：． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 13. 已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简____． 【答案】b 【解析】 【分析】根据a、b、c在数轴上的位置，判断出a、b、c的正负情况以及绝对值的大小，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算即可解答． 【详解】解：由图可知，， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的性质，根据数轴判断出a、b、c的大小并正确运用二次根式和绝对值的性质是解题关键． 14. 甲、乙两个同学在四次数学模拟测试中，平均成绩都是112分，方差分别是，，则甲、乙两个同学的数学成绩比较稳定的是______． 【答案】甲 【解析】 【分析】根据方差越小成绩越稳定进行求解即可． 【详解】解：∵甲、乙两个同学在四次数学模拟测试中，平均成绩都112分，方差分别是， ∴甲、乙两个同学数学成绩比较稳定的是甲， 故答案为：甲． 【点睛】本题主要考查了方差与稳定性的关系，熟知方差越小成绩越稳定是解题的关键． 15. 若点，在直线上，且满足，则_____．(选填“”或“”) 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的性质，先根据函数的解析式判断出函数的增减性，再由即可得出结论． 【详解】解：直线中，， 随的增大而减小， ， ． 故答案为：． 16. 如图，在中， ，为边上的中线，过点作交于点.若，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质得到AD=CD=BD，根据等腰三角形的性质得到∠ACD=∠CAD，∠DCB=∠B，根据余角的性质得到∠CAE=∠B，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】∵∠ACB=90°，CD为AB边上的中线， ∴AD=CD=BD， ∴∠ACD=∠CAD，∠DCB=∠B， ∵AE⊥CD， ∴∠CAE+∠ACD=∠B+∠CAD=90°， ∴∠CAE=∠B， ∴tan∠CAE=tanB， ∴， ∴， ∴CE=1， ∴AE=， 故答案为． 【点睛】本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边上的中线定义斜边的一半，余角的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 三、解答题（本答题共8小题，共56分） 17. 计算： (1)； (2)． 【答案】（1）；（2）1 【解析】 【分析】（1）先将每个二次根式化简，再作加减法； （2）先化简分式部分和计算乘法，再相减． 【详解】解：（1） = =； （2） = = =1 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则． 18. 若，为实数，且，求的值. 【答案】9 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0列式求出y的值，再求出x的值，然后代入代数式进行计算即可得解. 【详解】由题意得，y2-1≥0且1-y2≥0， 所以，y2≥1且y2≤1， 所以，y2=1 所以，y=±1， 又∵y+1≠0， ∴y≠-1， 所以，y=1, 所以，x=, ∴. 【点睛】考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，关键是求出x=1，b=． 19. 为了考察甲、乙两种玉米的生长情况，在相同的时间，将它们种在同一块实验田里，经过一段时间后，分别抽取了10株幼苗，测得苗高如下（单位：）： 甲：8，12，8，10，13，7，12，11，10，9； 乙：11，9，7，7，12，10，11，12，13，8． （1）分别求出两种玉米的平均高度； （2）哪种玉米的幼苗长得比较整齐？ 【答案】（1）两种玉米的平均高度都为 （2）甲这块地的玉米长得比较整齐 【解析】 【分析】本题考查的是求解一组数据的平均数，一组数据的方差，利用方差做决策，理解方差的含义是解本题的关键． （1）根据平均数的定义求解即可； （2）求解出两组数据的方差，根据方差的大小作判断即可． 【小问1详解】 解：； ； 答：两种玉米的平均高度都为； 【小问2详解】 解： ； ． ， 甲这块地的玉米长得比较整齐． 20. 某动物园在周年庆来临之际，推出、两种纪念章，已知每个种纪念章的进价比每个种纪念章的进价多4元；购进6件种纪念章和购进10件种纪念章的费用相同，且种纪念章售价为13元/个，种纪念章售价为8元/个． （1）每个种纪念章和每个种纪念章的进价分别是多少元？ （2）根据网上预约的情况，该园计划用不超过2800元的资金购进、两种纪念章共400个，这400个纪念章可以全部销售，选择哪种进货方案，该园获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）每个A种纪念章的进价为10元，每个B种纪念章的进价为6元； （2）该专卖店获得销售利润最大的进货方案为购进A纪念章100个，B纪念章300个，最大利润为900元． 【解析】 【分析】（1）设每个A种纪念章的进价为x元，则每个B种纪念章的进价为元，由等量关系列出方程即可求解； （2）设购进A种纪念章a个，则购进B种纪念章(400−a)个，利润为w元，由题意知，，利润，然后根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每个A种纪念章的进价为x元，则每个B种纪念章的进价为元， 由题意得，， 解得：， ∴， 答：每个A种纪念品的进价为10元，每个B种纪念品的进价为6元； 【小问2详解】 解：设购进A种纪念章a个，则购进B种纪念章(400−a)个，利润为w元， 由题意知，， 解得，， ， ∵， ∴w随着a的增大而增大， ∴当时，w最大，值为900， ∴（个）， 答：该专卖店获得销售利润最大的进货方案为购进A纪念章100个，B纪念章300个，最大利润为900元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用．解题的关键在于根据题意正确的列等式、不等式． 21. 如图，直线：与直线：相交于点A，直线与y轴相交于点B，直线与y轴负半轴相交于点C，，点A的纵坐标为3． （1）求直线的解析式； （2）若D是直线上一点，且点D的横坐标为1，求的面积． 【答案】（1） （2）18 【解析】 【分析】（1）根据轴上点的坐标特征可求点坐标，再根据，可求点坐标，根据点的纵坐标为3，可求点坐标，根据待定系数法可求直线的解析式； （2）根据点的横坐标为1，可求点坐标，再用长方形面积减去3个小三角形面积即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， ， ， ， 点的纵坐标为3， ，解得， ， 则，解得． 故直线的解析式为； 【小问2详解】 在中，令，则， ∴， 的面积． 【点睛】本题考查了两直线的相交问题，用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法． 22. 如图，在中，∠C＝90°，D是边BC上一点，连接AD并延长至点E，AD＝DE，过点E作EF⊥BC于点F，连接BE． （1）求证：． （2）若BE＝DE，AC＝8，CD＝4，求AB的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质和等腰三角形的性质可求，由勾股定理可求解． 【小问1详解】 证明：在和中， ， ； 【小问2详解】 ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键． 23. 如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边分别相交于点M、N． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，菱形的面积为120，求菱形的周长． 【答案】（1）见解析；（2）52 【解析】 【分析】（1）证△MOD≌△NOB（AAS），得出OM=ON，由OB=OD，证出四边形BNDM是平行四边形，进而得出结论； （2）根据菱形的面积和BD求出MN，再由菱形的性质得出BM=BN=DM=DN，OB=BD=12，OM=MN=5，由勾股定理得BM=13，即可得出答案． 【详解】解：（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠DMO=∠BNO， ∵MN是对角线BD的垂直平分线， ∴OB=OD，MN⊥BD， 在△MOD和△NOB中， ， ∴△MOD≌△NOB（AAS）， ∴OM=ON， ∵OB=OD， ∴四边形BNDM是平行四边形， ∵MN⊥BD， ∴四边形BNDM是菱形； （2）∵BD=24，菱形BNDM的面积为120， ∴MN=120×2÷24=10， ∴BM=BN=DM=DN，OB=BD=12，OM=MN=5， 在Rt△BOM中，由勾股定理得：BM==13， ∴菱形BNDM的周长=4BM=4×13=52． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 24. 如图，四边形是正方形，M是边上的一点，E是的中点，平分． （1）判断与的数量关系，并说明理由； （2）求证：； （3）若，求的长． 【答案】（1）； （2）证明见详解； （3）； 【解析】 【分析】（1）四边形是正方形得到，根据平分得到，即可得到答案； （2）过E作，连接，根据角平分线性质可得，即可得到，，即可得到答案； （3）设，根据（2）得到，根据勾股定理列式求解即可得到答案； 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：过E作，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：设， ∵， ∴，， 在中， ，即， 解得：， ∴； 【点睛】本题考查勾股定理，角平分线的性质，三角形全等的判定与性质，正方形的性质，解题的关键是作出辅助线得到全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$