专题03 旋转（考题猜想，15种常考题型）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（人教版）

专题03 旋转（考题猜想，15种常考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 利用旋转的性质求角度 · 利用旋转的性质求线段长 · 利用旋转证明线段相等 · 利用旋转的性质求图形面积 · 结合旋转的性质求坐标 · 旋转在证明图形全等中的应用 · 旋转在判断特殊图形中的应用 · 手拉手模型 · 半角模型 · “爪形图” · “丫形图” · 平移作图 · 旋转作图 · 轴对称作图 · 中心对称作图 1． 利用旋转的性质求角度（共3小题） 1.（23-24九年级上·吉林松原·期中）如图，把绕点顺时针旋转，得到，交于点，若，则的度数（   ） A． B． C． D． 2.（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，，可以由绕点 顺时针旋转得到（点与点是对应点，点与点是对应点），连接，则的度数是(    ) A． B． C． D． 3.（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，且于点，求的度数． 2． 利用旋转的性质求线段长（共3小题） 4.（23-24九年级上·四川南充·期中）如图，菱形的对角线、交于点O，，，将绕着点C旋转得到，连接，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 5.（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，正方形的边长为，为边上一点，．绕着点逆时针旋转后与重合，连结，则 ． 6.（23-24九年级上·江西赣州·期中）如图，在边长为3的正方形中，E为边上的一点，连接，将绕点D逆时针方向旋转得到． (1)旋转角为_____度； (2)连接，若，求的长． 3． 利用旋转证明线段相等（共2小题） 7.（22-23九年级上·广东珠海·期中）如图，在中，，，点为垂足，将绕点顺时针旋转，使与重合，点落在点处，延长交的延长线于点，延长交的延长线于点，求证：． 8.（23-24九年级上·北京海淀·期中）如图，在中，，点D在上，过点D作于点E，连接，将线段绕点E顺时针旋转，得到线段，连接． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)交于点G，用等式表示线段和的数量关系，并证明． 4． 利用旋转的性质求图形面积（共3小题） 9.（23-24九年级上·重庆开州·期中）如图，在等边中，D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，若的周长是17，，则等边的面积是（    ） A． B． C． D． 10.（23-24九年级上·湖北十堰·期中）如图，在中，为的中点，将绕点顺时针旋转得到，当点分别在边和的延长线上，连接，若，则的面积是 ．    11.（23-24九年级上·北京东城·期中）如图，已知正方形的边长为，是边上的点，将绕点逆时针旋转得到． (1)画出旋转后的图形，______． (2)若，求的面积． 5． 结合旋转的性质求坐标（共3小题） 12.（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，将线段绕点O顺时针旋转得到线段，那么的对应点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 13.（22-23九年级上·福建莆田·期中）如图，在平面直角坐标系中将绕点旋转得到设点的坐标为，则点A的坐标为 ． 14.（23-24九年级上·甘肃庆阳·期中）如图,的顶点在抛物线上,将绕点顺时针旋转,得到,边与该抛物线交于点,求点的坐标． 6． 旋转在证明图形全等中的应用（共3小题） 15.（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，点M、N分别在正方形的边上，且，把顺时针旋转一定角度后得到． (1)填空：绕旋转中心______点，按顺时针方向旋转______度得到； (2)求证：； (3)若，，求正方形的边长． 16.（23-24九年级上·北京海淀·期中）如图，D是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，，， (1)依题意补全图形 (2)求证：； (3)若，求的度数． 17.（21-22九年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接，交于点F． (1)求证：； (2)求的度数． 7． 旋转在判断特殊图形中的应用（共1小题） 18.（20-21九年级上·广东广州·期中）如图1所示，在正方形中，是上一点（点G不与点C、点D重合），延长到，使．    (1)求证：． (2)将绕点D顺时针旋转得到，判断四边形是什么特殊四边形，并说明理由． (3)如图2所示，过点G作交于点，交于点N，连接，设的长为x，正方形的边长为a（），的面积为S，试探究S与x的函数关系式，并写出x的取值范围． 8． 手拉手模型（共3小题） 19.（21-22九年级上·浙江台州·期中）如图，是由ABC旋转而成，连接A、B交点为F，若∠ABC=90°，∠BFA=25°，则∠BAC= ． 20.（23-24九年级上·吉林·期中）（1）如图，点为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点．猜想： 与的数量关系是______； ______； （2）将图中的绕点顺时针旋转一定角度到达图的位置时，（）中的两个结论是否还成立？若还成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 21.（20-21九年级上·河南周口·期中）如图，和都是等边三角形，直线，交于点F． (1)如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，的度数为______，线段与的数量关系为______． (2)如图2，当绕点C顺时针旋转时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由：若成立，请就图2给予证明． (3)若，，当绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出长的取值范围． 9． 半角模型（共4小题） 22.（21-22九年级上·山东德州·期中）如图，在边长为6的正方形ABCD内作，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将绕点A顺时针旋转90°得到．若，则BE的长为（    ） A．2 B． C．1 D． 23.（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知点E，F分别在正方形的边，上，，且，则 ． 24.（23-24九年级上·广东肇庆·期中）如图，已知中，是边上的点，将绕点A旋转，得到． (1)当时，求证：； (2)在（1）的条件下，猜想：有怎样的数量关系？请写出，并说明理由． 25.（23-24九年级上·北京昌平·期中）如图，在中，，，点C，D是边上两点，且，求证：． 10． “爪形图”（共3小题） 26.（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，将绕点C按逆时针方向旋转，得到 ，点A的对应点落在AB边上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 27.（22-23九年级上·广东湛江·期中）如图，中，，将绕点A顺时针旋转，得到，且C在边上，则的度数为 ． 28.（23-24九年级上·广东广州·期中）“玩转数学”实践活动，是一种非常有效的学习方式．我们一起来动手、动脑玩转数学吧． (1)折一折：将正方形纸片折叠，使边，都落在对角线上，展开得折痕，，连接，如图1． (2)转一转：将图1中的绕点A旋转，使它的两边分别交边，于点P，Q，连接，如图2．证明：； (3)若正方形的边长为6，且，求的长． 11． “丫形图”（共3小题） 29.（23-24九年级上·福建龙岩·期中）如图，中，，点在上，，连接，把线段绕点逆时针旋转到位置，连结，则的面积为（    ） A．4 B．5 C．6 D．10 30.（23-24九年级上·河北承德·期中）如图，设P是等边三角形内任意一点，是由旋转得到的，则 （选填“”、“=”、“”） 31.（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期中）（1）【探究发现】如图①，在等边三角形内部，有一点，若．求证：．下面是本题的部分解答过程，请补充完整． 证明：如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，则为等边三角形．完成接下来的证明． （2） 【类比延伸】如图③，在等腰三角形中，，内部有一点，若，试判断线段、、之间的数量关系，并证明． 12． 平移作图（共2小题） 32.（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，是由小方格组成的网格纸，每个方格的边长都是1个单位长度，点A、B、C、O均在格点上． (1)在图①中，作出向右平移4个单位长度的三角形； (2)在图②中，作出绕点O沿顺时针方向旋转得到的三角形； (3)在图③中，请在线段上找到一点P，连接和，使的值最小（请保留作图痕迹）． 33．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，方格中，每个小正方形的边长都是单位1，的位置如图． (1)在图①中画出将向右平移2个单位得到的； (2)在图②中画出将绕点O顺时针方向旋转得到的； (3)写出点的坐标______． 13． 旋转作图（共2小题） 34.（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)作出关于点O对称的图形． (2)将绕点O顺时针旋转，作出旋转后的． 35．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，中，． (1)将绕点逆时针旋转，画出旋转后的三角形； (2)若，，点旋转后的对应点为，求的长． 14． 轴对称作图（共3小题） 36.（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有一个和一点O，的顶点和点O均与小正方形的顶点重合． (1)在方格纸中，将向右平移6个单位长度得到，请画出； (2)在方格纸中，与关于x轴对称，请画出； (3)在方格纸中，将绕点O旋转180°得到，请画出． 37．（22-23九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图网格图，等腰直角三角形的三个顶点都在网格线的交点（即格点）处． (1)画出等腰直角三角形沿所在直线作轴对称后的图形； (2)将等腰直角三角形向右平移5个单位后得到三角形，并画出三角形绕点逆时针旋转后的图形． 38.（23-24九年级上·辽宁抚顺·期中）如图，方格中每个小正方形的边长都是单位1，在平面直角坐标系中的位置如图． (1)画出关于y轴对称的； (2)画出绕点O按顺时针方向旋转后的，并写出的坐标； (3)判断和是不是成轴对称?如果是，请在图中作出它们的对称轴． 十五．中心对称作图（共2小题） 39．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，以O为原点建立平面直角坐标系，点A，B的坐标分别是，． (1)将绕点O逆时针旋转后得到，请在图中画出，则点的坐标是________． (2)与关于点O成中心对称，请画出． (3)连接，则的面积是________． 40．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，已知是的中线．    (1)尺规作图：作，使其与关于点D中心对称； (2)证明：四边形为平行四边形． $$专题03 旋转（考题猜想，15种常考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 利用旋转的性质求角度 · 利用旋转的性质求线段长 · 利用旋转证明线段相等 · 利用旋转的性质求图形面积 · 结合旋转的性质求坐标 · 旋转在证明图形全等中的应用 · 旋转在判断特殊图形中的应用 · 手拉手模型 · 半角模型 · “爪形图” · “丫形图” · 平移作图 · 旋转作图 · 轴对称作图 · 中心对称作图 1． 利用旋转的性质求角度（共3小题） 1.（23-24九年级上·吉林松原·期中）如图，把绕点顺时针旋转，得到，交于点，若，则的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查旋转的性质、直角三角形两锐角互余等知识．根据旋转的性质可得，，结合，可求得，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，把绕点顺时针旋转，得到， 由旋转的性质，可得，， ， ， ． 故选：D． 2.（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，，可以由绕点 顺时针旋转得到（点与点是对应点，点与点是对应点），连接，则的度数是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，利用旋转的性质得出，，，利用等边对等角和三角形内角和定理可求出，，即可求解． 【详解】解：∵，可以由绕点 顺时针旋转得到， ∴，，， ∴，， ∴， 故选：D． 3.（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，且于点，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查了旋转的性质，垂直的定义和直角三角形的两锐角互余，由旋转的性质可知：，，由得，则，最后根据角度和差即可求解，解题的关键是熟练掌握旋转的性质及应用． 【详解】解：由旋转的性质可知：，， ∵， ∴， ∴， ∴． 2． 利用旋转的性质求线段长（共3小题） 4.（23-24九年级上·四川南充·期中）如图，菱形的对角线、交于点O，，，将绕着点C旋转得到，连接，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】C 【分析】根据菱形的性质及旋转的性质得出，，根据勾股定理求出即可． 本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，求出，． 【详解】∵四边形是菱形， ，，， ，， ，， 绕着点C旋转得到， ，，， ， ． 故选：C． 5.（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，正方形的边长为，为边上一点，．绕着点逆时针旋转后与重合，连结，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、勾股定理，根据正方形的性质、勾股定理，计算，根据旋转的性质，得出，，推出，根据勾股定理计算即可，熟练掌握旋转的性质、正方形的性质、勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵正方形的边长为，为边上一点，， ∴，， ∴， ∵绕着点逆时针旋转后与重合， ∴，， ∴，即， ∴， 故答案为：． 6.（23-24九年级上·江西赣州·期中）如图，在边长为3的正方形中，E为边上的一点，连接，将绕点D逆时针方向旋转得到． (1)旋转角为_____度； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查旋转的性质，正方形的性质，勾股定理． （1）由正方形的性质得，再由旋转的性质得，即可得出． （2）先由勾股定理求得，再证明是等腰直角三角形，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， ∵将绕点D逆时针方向旋转得到． ∴， ∴， 即旋转角为90度； （2）解：四边形是正方形， ， 在中，， 旋转得到， ， 在中， 3． 利用旋转证明线段相等（共2小题） 7.（22-23九年级上·广东珠海·期中）如图，在中，，，点为垂足，将绕点顺时针旋转，使与重合，点落在点处，延长交的延长线于点，延长交的延长线于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质，先根据三线合一定理得到，再由旋转的性质得到，，证明即可证明，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵由旋转而得， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． 8.（23-24九年级上·北京海淀·期中）如图，在中，，点D在上，过点D作于点E，连接，将线段绕点E顺时针旋转，得到线段，连接． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)交于点G，用等式表示线段和的数量关系，并证明． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明过程见解析 (3)，证明过程见解析 【分析】（1）根据旋转的定义作图即可； （2）根据等腰直角三角形的判定与性质可得，，再由旋转的性质可得，，利用等量代换可得，从而可得，可证，即可得出结论； （3）由（2）可得，，可得，利用勾股定理可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得，再利用勾股定理可得，再由，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意补全图形如下， （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴，， 由旋转的性质可得，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴；    （3）解：如图，由（2）可得，， ∴， 在中，，即， ∴， ∴，即， 在中，，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．    【点睛】本题考查作图−旋转变换、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质证明是解题的关键． 4． 利用旋转的性质求图形面积（共3小题） 9.（23-24九年级上·重庆开州·期中）如图，在等边中，D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，若的周长是17，，则等边的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质，明确旋转前后对应边、对应角相等，再利用等量代换求出等边三角形的边长，利用面积公式求解即可． 【详解】解：将绕点B逆时针旋转， ∴，，， ∴为等边三角形． ∴， ∵的周长是17， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵是等边三角形， ∴， 故选：B． 10.（23-24九年级上·湖北十堰·期中）如图，在中，为的中点，将绕点顺时针旋转得到，当点分别在边和的延长线上，连接，若，则的面积是 ．    【答案】 【分析】连接，，根据等腰三角形的性质得到，，，根据旋转的性质得到，，求得是等边三角形，，得到，，根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接，， ，，为的中点， ，，， 将绕点顺时针旋转得到， ，， 是等边三角形，， ，， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， 垂直平分， ， ，， ， ， 的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质．含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 11.（23-24九年级上·北京东城·期中）如图，已知正方形的边长为，是边上的点，将绕点逆时针旋转得到． (1)画出旋转后的图形，______． (2)若，求的面积． 【答案】(1)画图见解析， (2) 【分析】（1）根据旋转是性质作图即可，同时可得，即可得出； （2）先根据勾股定理求出，从而得出的长，再利用面积公式即可求解． 【详解】（1）作图如下： 由旋转的性质可得出，， 即是等腰直角三角形， ． 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 由旋转的性质可得出， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，正方形的性质以及三角形的面积公式，掌握相关的知识是解题的关键 5． 结合旋转的性质求坐标（共3小题） 12.（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，将线段绕点O顺时针旋转得到线段，那么的对应点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及旋转性质，通过线段绕点O顺时针旋转得到线段，连接，，则，得到，即可证明三角形全等，又因为，所以，，即可作答． 【详解】解：连接，，过点B，分别作轴于点M，轴于点N，    ∵线段绕点O顺时针旋转得到线段， ∴则，， ∵ ∴， ∴ ∵轴于点M，轴于点N， ∴ 又∵， ∴，， ∴点的坐标是， 故选：A 13.（22-23九年级上·福建莆田·期中）如图，在平面直角坐标系中将绕点旋转得到设点的坐标为，则点A的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 设的坐标为，由于、关于点对称，则，，解得即可． 【详解】解：设的坐标为， 和关于点对称， 的坐标为 ，， 解得，． 点的坐标． 故答案为： 14.（23-24九年级上·甘肃庆阳·期中）如图,的顶点在抛物线上,将绕点顺时针旋转,得到,边与该抛物线交于点,求点的坐标． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法解二次函数,旋转的性质．根据题意将点代入关系式,求出抛物线关系式,再根据旋转的性质可知的长,再根据轴可知的纵坐标与点的纵坐标相同,再将其代入关系式即可得出答案． 【详解】解:点在抛物线上, , 解得:, , 将绕点顺时针旋转得到, , ∴当时,,解得:或(舍去), 点的坐标为； 6． 旋转在证明图形全等中的应用（共3小题） 15.（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，点M、N分别在正方形的边上，且，把顺时针旋转一定角度后得到． (1)填空：绕旋转中心______点，按顺时针方向旋转______度得到； (2)求证：； (3)若，，求正方形的边长． 【答案】(1)A，90 (2)证明见解析 (3)正方形的边长为 【分析】（1）根据旋转定义结合正方形性质得出旋转中心和旋转角度即可； （2）先根据旋转的性质可得，再根据正方形的性质、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证； （2）设正方形的边长为x，从而可得，再根据旋转的性质可得，从而可得，然后根据三角形全等的性质可得，最后在中，利用勾股定理即可得． 【详解】（1）解：在正方形中，， 又顺时针旋转一定角度后得到， 绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90度得到, 故答案为：A，90； （2）证明：由旋转的性质得：， 四边形是正方形， ，即， ，即， ， ， 在和中， ， ； （3）解：设正方形的边长为，则， ， ， 由旋转的性质得：， ， 由（2）已证：， ， 又四边形是正方形， ， 则在中，， 即， 解得或（不符题意，舍去） 故正方形的边长为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题关键 16.（23-24九年级上·北京海淀·期中）如图，D是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，，， (1)依题意补全图形 (2)求证：； (3)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质，旋转的性质及全等三角形的判定与性质． （1）依据题意画图即可； （2）由等边三角形的性质知，，由旋转的性质知，，从而得，再证可得答案； （3）由，知为等边三角形，即，继而由，得到，再利用即可得解． 【详解】（1）补全图形如下： （2）证明：是等边三角形， ，． 线段绕点顺时针旋转，得到线段， ，． ． ． 在和中， ， ． （3）解：如图， ，， 为等边三角形． ， ， ． ． 17.（21-22九年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接，交于点F． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据条件证出，即可得证． （2）根据条件求出的度数，然后根据四边形内角和求出的度数，最后用的度数即可． 【详解】（1）解：证明：∵绕点B按逆时针方向旋转， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在与中， ， ∴． （2）解：由旋转可得：， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了图形的旋转、全等三角形的判定、等腰三角形的性质等知识点，充分利用旋转性质是解题关键． 7． 旋转在判断特殊图形中的应用（共1小题） 18.（20-21九年级上·广东广州·期中）如图1所示，在正方形中，是上一点（点G不与点C、点D重合），延长到，使．    (1)求证：． (2)将绕点D顺时针旋转得到，判断四边形是什么特殊四边形，并说明理由． (3)如图2所示，过点G作交于点，交于点N，连接，设的长为x，正方形的边长为a（），的面积为S，试探究S与x的函数关系式，并写出x的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)平行四边形，理由见解析 (3) 【分析】（1）由正方形，得，，又，所以． （2）由（1）得，又由旋转的性质知，所以，从而证得四边形为平行四边形． （3）延长交于点，结合已知条件可以判定四边形为平行四边形，结合平行四边形的性质和已知条件推知，则，所以根据三角形的面积公式进行解答即可． 【详解】（1）解：证明：四边形是正方形， ，． ， ． 在和中， ， ； （2）四边形是平行四边形．理由如下： 绕顺时针旋转得到， ． ， ． 四边形是正方形， ，． ． 即． 四边形是平行四边形． （3）如图，延长交于点， 四边形是正方形，点在的延长线上， ，则， 又， 四边形为平行四边形，． 又由（1）知，，则，， ． ，， ， ，即， ， ．    【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定等知识，解答（3）时，注意辅助线的作法，利用平行线的性质证得是的高线是解题的难点． 8． 手拉手模型（共3小题） 19.（21-22九年级上·浙江台州·期中）如图，是由ABC旋转而成，连接A、B交点为F，若∠ABC=90°，∠BFA=25°，则∠BAC= ． 【答案】75° 【分析】根据旋转不变性可知：CA=CA＇，CB=CB＇，∠ACB=∠A＇CB＇，再由外角的性质得∠BFA=∠ACB，最后根据三角形内角和的性质求出答案． 【详解】解：由旋转不变性可知：CA=CA＇，CB=CB＇，∠ACB=∠A＇CB＇ ∴∠CAA＇=∠CA＇A，∠CBB＇=∠CB＇B ∵∠ACB=∠CAA＇+∠CA＇A，∠A＇CB＇=∠CBB＇+∠CB＇B ∴∠CAA＇=∠CA＇A=∠CBB＇=∠CB＇B ∵∠BFA=∠CBB＇+∠CA＇A=25°， ∴∠ACB=∠CAA＇+∠CA＇A=25°， ∵∠ABC=90°， ∴∠BAC= ∠ABC -∠ACB=90°-25°=75° 故答案为：75° 【点睛】本题考查旋转变换，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 20.（23-24九年级上·吉林·期中）（1）如图，点为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点．猜想： 与的数量关系是______； ______； （2）将图中的绕点顺时针旋转一定角度到达图的位置时，（）中的两个结论是否还成立？若还成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（）；；（）仍然成立，理由见解析． 【分析】（）根据证即可； 由知，则，再根据外角得出结论即可； （）根据证,同理（）得出结论即可； 本题主要考查了旋转，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键 【详解】（）解：，理由， ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （）结论仍然成立，证明如下： ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． 21.（20-21九年级上·河南周口·期中）如图，和都是等边三角形，直线，交于点F． (1)如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，的度数为______，线段与的数量关系为______． (2)如图2，当绕点C顺时针旋转时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由：若成立，请就图2给予证明． (3)若，，当绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出长的取值范围． 【答案】(1)，； (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，以及旋转的性质，解答时证明三角形全等是关键． （1）利用等边三角形的性质证明，结合三角形的外角就可以得出结论； （2）同（1）中方法证明，得出，，再根据三角形的内角和得出； （3）当B、C、D三点共线时得出的最大和最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ，， ，且 （2）（1）中结论仍成立， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ，， ，且， ； （3）是等边三角形， ， 当旋转=时，B、C、D三点共线，此时， 当旋转=时，B、C、D三点共线，此时； ∴． 9． 半角模型（共4小题） 22.（21-22九年级上·山东德州·期中）如图，在边长为6的正方形ABCD内作，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将绕点A顺时针旋转90°得到．若，则BE的长为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质可知，△ADF≌△ABG，然后即可得到DF=BG，∠DAF=∠BAG，然后根据题目中的条件，可以得到△EAG≌△EAF，再根据DF=3，AB=6和勾股定理，可以求出BE的长． 【详解】解：由题意可得， △ADF≌△ABG， ∴DF=BG，∠DAF=∠BAG， ∵∠DAB=90°，∠EAF=45°， ∴∠DAF+∠EAB=45°， ∴∠BAG+∠EAB=45°， ∴∠EAF=∠EAG， 在△EAG和△EAF中， ， ∴△EAG≌△EAF(SAS)， ∴GE=FE， 设BE=x，则GE=BG+BE=3+x，CE=6−x， ∴EF=3+x， ∵CD=6，DF=3， ∴CF=3， ∵∠C=90°， ∴(6−x)2+32=(3+x)2， 解得，x=2， 即BE=2. 故选A.. 【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想 23.（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知点E，F分别在正方形的边，上，，且，则 ． 【答案】 【分析】将绕点A逆时针旋转得，根据旋转的性质，判定，得出，分别求得三角形与正方形的面积，利用，即可解决问题． 【详解】解：将绕点A逆时针旋转得， 则，，， ∴，D，F在同一直线上， ∵正方形中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形 24.（23-24九年级上·广东肇庆·期中）如图，已知中，是边上的点，将绕点A旋转，得到． (1)当时，求证：； (2)在（1）的条件下，猜想：有怎样的数量关系？请写出，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等也考查了等腰直角三角形的性质； （1）利用旋转的性质得，再计算出，则利用“”可判断，所以； （2）由（1）知得到，再根据等腰直角三角形的性质得，则根据旋转的性质得，所以，于是根据勾股定理得，所以． 【详解】（1）证明：由旋转性质得，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2），理由如下： ，且， ， 由（1）得，， ， 是直角三角形， ， 由（1）得，， 25.（23-24九年级上·北京昌平·期中）如图，在中，，，点C，D是边上两点，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 将绕点P顺时针旋转至，使和重合，连接，证明得出，证明，然后在中利用勾股定理即得证． 【详解】解：将绕点P顺时针旋转至，使和重合，连接， 则， ∴，，，， ∵，， ∴，， ∴，， 又，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10． “爪形图”（共3小题） 26.（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，将绕点C按逆时针方向旋转，得到 ，点A的对应点落在AB边上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，等边对等角，旋转的性质，先由三角形内角和定理得到，由旋转的性质得到，则，进一步利用三角形内角和定理求出，则． 【详解】解：∵在中，， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 27.（22-23九年级上·广东湛江·期中）如图，中，，将绕点A顺时针旋转，得到，且C在边上，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是旋转的性质：经过旋转的两个图形，不改变其形状和大小．根据题意干旋转的性质得到，接下来利用等腰三角形得性质可得，即可得到答案． 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 28.（23-24九年级上·广东广州·期中）“玩转数学”实践活动，是一种非常有效的学习方式．我们一起来动手、动脑玩转数学吧． (1)折一折：将正方形纸片折叠，使边，都落在对角线上，展开得折痕，，连接，如图1． (2)转一转：将图1中的绕点A旋转，使它的两边分别交边，于点P，Q，连接，如图2．证明：； (3)若正方形的边长为6，且，求的长． 【答案】(1)45 (2)见解析 (3)3 【分析】（1）由翻折的性质可知：，，根据正方形的性质：，则； （2）如图：将顺时针旋转，通过旋转的性质以及等量代换证明，即可得出结论； （3）正方形的边长为，可得，，由勾股定理可得：，再解方程并检验即可． 【详解】（1）解：由翻折的性质可知：，， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：45； （2）证明：如图2中，延长到T，使得． ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得或， 当时，，（不符合题意，舍去）， 当时，，， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程的解法等知识，能够综合运用这些性质是解题关键． 11． “丫形图”（共3小题） 29.（23-24九年级上·福建龙岩·期中）如图，中，，点在上，，连接，把线段绕点逆时针旋转到位置，连结，则的面积为（    ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质以及平行线间的距离处处相等．将绕点逆时针旋转得到，可根据旋转的旋转得到，即可求解． 【详解】解：由题意得：， 将绕点逆时针旋转得到，如图所示： ∴， ∴ ∴ 故选：B 30.（23-24九年级上·河北承德·期中）如图，设P是等边三角形内任意一点，是由旋转得到的，则 （选填“”、“=”、“”） 【答案】 【分析】连接，根据是由旋转得到的，得到，，，继而得到，得到是等边三角形，得到,根据三角形三边关系定理，解答即可． 本题考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形三边关系定理，熟练掌握的吧等边三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】如图，连接， ∵等边三角形， ∴； ∵是由旋转得到的， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴, ∵， ∴， 故答案为：． 31.（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期中）（1）【探究发现】如图①，在等边三角形内部，有一点，若．求证：．下面是本题的部分解答过程，请补充完整． 证明：如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，则为等边三角形．完成接下来的证明． （2）【类比延伸】如图③，在等腰三角形中，，内部有一点，若，试判断线段、、之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析 【分析】此题主要考查几何变换中的旋转变换，勾股定理； （1）根据旋转的性质和勾股定理直接写出即可； （2）将绕点逆时针旋转，得到，连接，论证，再根据勾股定理代换即可． 【详解】（1）证明：如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，则为等边三角形． ∴，， 又∵， ， 即 （2） 证明：如图③，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，则为等腰三角形． 且， ∴， ∵， ∴， ． 12． 平移作图（共2小题） 32.（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，是由小方格组成的网格纸，每个方格的边长都是1个单位长度，点A、B、C、O均在格点上． (1)在图①中，作出向右平移4个单位长度的三角形； (2)在图②中，作出绕点O沿顺时针方向旋转得到的三角形； (3)在图③中，请在线段上找到一点P，连接和，使的值最小（请保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据平移的性质即可在图①中，作出向右平移4个单位长度的三角形； （2）根据旋转的性质即可在图②中，作出绕点O沿顺时针方向旋转得到的三角形； （3）作点A关于直线的对称点连接，交线段于点P，最小． 【详解】（1）如图①，根据平移规律，画图如下：    则即为所求． （2）如图②， 则即为所求． （3）如图③，    则点P即为所求． 【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换，平移变换，轴对称﹣最短路线问题，解决本题的关键是掌握旋转的性质和平移的性质． 33．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，方格中，每个小正方形的边长都是单位1，的位置如图． (1)在图①中画出将向右平移2个单位得到的； (2)在图②中画出将绕点O顺时针方向旋转得到的； (3)写出点的坐标______． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3) 【分析】本题考查的是画平移图形，画旋转图形，坐标的确定，熟记平移旋转的性质并进行画图是解本题的关键． （1）分别确定A，B，C平移后的对应点，，，再顺次连接即可； （2）分别确定A，B，C旋转后的对应点，，，再顺次连接即可； （3）根据的位置可得其坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形， （2）如图，即为所求； ． （3）由的位置可得：．   13． 旋转作图（共2小题） 34.（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)作出关于点O对称的图形． (2)将绕点O顺时针旋转，作出旋转后的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图：作中心对称图形与旋转对称图形； （1）作出点A、B、C关于点O对称的点，并依次连接这三点即可； （2）作出点A、B、C绕点O顺时针旋转的点，并依次连接这三点即可； 【详解】（1）（1）解：关于点O对称的图形如图所示： （2）解：绕点O顺时针旋转后的如图所示． 35．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，中，． (1)将绕点逆时针旋转，画出旋转后的三角形； (2)若，，点旋转后的对应点为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）本题考查旋转作图，掌握旋转作图的步骤，即可解题． （2）本题考查旋转的性质和勾股定理的运用，根据勾股定理得出，再利用旋转的性质可得，，最后结合勾股定理即可解题． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：由旋转性质可知：，， ，，， ， ， ． 14． 轴对称作图（共3小题） 36.（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有一个和一点O，的顶点和点O均与小正方形的顶点重合． (1)在方格纸中，将向右平移6个单位长度得到，请画出； (2)在方格纸中，与关于x轴对称，请画出； (3)在方格纸中，将绕点O旋转180°得到，请画出． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析 【分析】（1）根据平移变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解； （3）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如（1）图所示，即为所求； （3）解：如（1）图所示，即为所求． 【点睛】本题考查了轴对称变换的性质、旋转变换的性质与平移变换的性质，熟练掌握轴对称变换的性质与旋转变换的性质以及平移变换的性质是解题的关键． 37．（22-23九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图网格图，等腰直角三角形的三个顶点都在网格线的交点（即格点）处． (1)画出等腰直角三角形沿所在直线作轴对称后的图形； (2)将等腰直角三角形向右平移5个单位后得到三角形，并画出三角形绕点逆时针旋转后的图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查画轴对称图形，图形的平移，画旋转图形． （1）作点关于直线的对称点，连接即可得到直角三角形的轴对称图形； （2）分别将点三点向右平移5个单位到达点，依次连接点即可得到三角形，再根据旋转的定义画出旋转后的图形即可． 【详解】（1）解：作点关于直线的对称点，连接即可得到直角三角形的轴对称图形，画图如下： ； （2）解：分别将点三点向右平移5个单位到达点，依次连接点即可得到三角形，再根据旋转的定义画出旋转后的图形如下： ． 38.（23-24九年级上·辽宁抚顺·期中）如图，方格中每个小正方形的边长都是单位1，在平面直角坐标系中的位置如图． (1)画出关于y轴对称的； (2)画出绕点O按顺时针方向旋转后的，并写出的坐标； (3)判断和是不是成轴对称?如果是，请在图中作出它们的对称轴． 【答案】(1)见解析 (2)，图见解析 (3)是，图见解析 【分析】此题主要考查了作图-旋转变换以及作图-轴对称变换，解答本题的关键是正确确定组成图形的关键点的对称点的位置． （1）根据关于y轴对称点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数可得出三顶点的对应点，顺次连接得到答案． （2）先画出三角形各顶点绕着点O顺时针旋转后的位置，再用线段依次连接各顶点，得到旋转后的三角形； （3）根据轴对称的定义可得对称轴． 【详解】（1）解：如下图，即为所求作三角形； （2）如下图，即为所求； ； （3）和是成轴对称．对称轴如下图所示： 十五．中心对称作图（共2小题） 39．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，以O为原点建立平面直角坐标系，点A，B的坐标分别是，． (1)将绕点O逆时针旋转后得到，请在图中画出，则点的坐标是________． (2)与关于点O成中心对称，请画出． (3)连接，则的面积是________． 【答案】(1)图形见解析， (2)见解析 (3)5 【分析】本题考查作图一旋转变换、中心对称，利用网格求三角形面积，写出直角坐标系中点的坐标． （1）根据旋转的性质作图，即可得出答案； （2）根据中心对称的性质作图即可； （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求， 点的坐标为； （2）如图：即为所求； （3）如图，连接， ， 故答案为：5． 40．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，已知是的中线．    (1)尺规作图：作，使其与关于点D中心对称； (2)证明：四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质作出平行四边形即可； （2）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可得出结论． 本题考查了尺规作图，平行四边形的性质，熟记平行四边形是中心对称图形是解题的关键． 【详解】（1）（1）解：如图，延长，以点D为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点，连接，，则即为所求；    （2）证明：由作图可知，， 又是的中线， ， 四边形为平行四边形． $$