专题02 二次函数（考点串讲，5个常考点+17种重难点题型+5个易错+押题预测）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（人教版）

九年级人教版数学上册期中考点大串讲 专题02 二次函数 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 四大常考点：知识梳理 十七大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 五大易错易混经典例题 精选5道期中真题对应考点练 考点透视 考点一：二次函数的图象和性质 例1已知二次函数 y ＝－3( x －2)2－3，下列说法正确的是(　C　) A. 图象的对称轴为直线 x ＝－2 B. 图象的顶点坐标为(2，3) C. 函数的最大值是－3 D. 函数的最小值是－3 C 考点透视 【变式1-1】[2023徐州]在平面直角坐标系中，将二次函数 y ＝( x ＋1)2 ＋3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式为(　B　) A. y ＝( x ＋3)2＋2 B. y ＝( x －1)2＋2 C. y ＝( x －1)2＋4 D. y ＝( x ＋3)2＋4 B 【变式1-2】[2023威海期中]如图，抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋ c ( a ≠0)的对 称轴是直线 x ＝ ，且经过点 A (3，0)，则4 a －2 b ＋ c 的值为 (　A　) A A. 0 B. －1 C. －2 D. －3 【变式1-3】已知二次函数 y ＝3( x －1)2＋ k 的图象上有三点 A (2， y1)， B (3， y2)， C (－4， y3)，则 y1， y2， y3的大小关系 是 ⁠. y1＜ y2＜ y3　 【变式1-4】如图，抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋ c ( a ≠0)与 x 轴交于点 A (－ 3，0)和点 B (1，0)，与 y 轴交于点 C . 下列说法：① abc ＜0；②抛物线的对称轴为直线 x ＝－1；③当－3＜ x ＜0时， ax2＋ bx ＋ c ＞0；④当 x ＞1时， y 随x 的增大而增大；⑤ am2＋ bm ≤ a － b ( m 为任意实数)，其中正确的是 ⁠. ②③⑤　 考点二：求二次函数解析式 例2[2024娄底月考]对称轴为直线 x ＝－2，顶点在 x 轴上，并 与 y 轴交于点(0，3)的抛物线的解析式为 ⁠. y ＝ ( x ＋ 2)2 变式2-1】如图，二次函数的图象与 x 轴的一个交点的坐标为(－1， 0)，与 y 轴的交点坐标为(0，3)，对称轴为直线 x ＝1，则 其解析式为 ⁠. y ＝－ x2＋2 x ＋3　 考点三：二次函数与方程、不等式的关系 例3已知关于 x 的一元二次方程 x2＋ px ＋ q ＝0的根为 x1＝－2， x2＝4.则关于 x 的不等式 x2＋ px ＋ q ＞0的解集为(　A　) A. x ＜－2或 x ＞4 B. －2＜ x ＜4 C. x ＜－2 D. x ＞4 A 【变式3-1】如图，抛物线 y ＝ ax2与直线 y ＝ bx ＋ c 的两个交点坐标分 别为 A (－2，4)， B (1，1)，则关于 x 的方程 ax2－ bx － c ＝0的解为 ⁠. x1＝－2， x2＝1　 考点四：二次函数的应用 例4某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(足够长)，中 间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m宽的门.已 知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m，则能建 成的饲养室面积最大为 m2. 75　 【变式4-1】商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程 中发现，月销量 y (台)与销售单价 x (元)之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应数据如下表所示： 销售单价x/元 … 50 60 70 … 月销量y/台 … 90 80 70 … (1)求 y 与 x 之间的函数解析式； 解：(1)设月销量 y (台)与销售单价 x (元)之间的函数解析式为 y ＝ kx ＋ b ，把 x ＝50， y ＝90和 x ＝60， y ＝80代入，得解得∴ y ＝－ x ＋140； (2)当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润为多少元？ 【变式4-2】商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程 中发现，月销量 y (台)与销售单价 x (元)之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应数据如下表所示： 销售单价x/元 … 50 60 70 … 月销量y/台 … 90 80 70 … 解：(2)设每月出售这种护眼灯所获的利润为 w 元，根 据题意，得 w ＝( x －40) y ＝( x －40)(－ x ＋140)＝－ x2 ＋180 x －5 600＝－( x －90)2＋2 500， ∵规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍， ∴40≤ x ≤80， ∴当 x ＝80时， w 取得最大值，最大值为2 400. 答：当护眼灯销售单价定为80元时，商店每月出售这 种护眼灯所获的利润最大，最大月利润为2 400元. 题型一：二次函数的图象在解题中的应用 例5如图，已知抛物线 y ＝－ x2＋ bx ＋ c 与 x 轴交于 A (－1， 0)， B (3，0)两点，与 y 轴交于点 C ，顶点为 D . (1)求该抛物线的解析式； 题型剖析 解：(1)∵抛物线 y ＝－ x2＋ bx ＋ c 与 x 轴交于 A (－1， 0)， B (3，0)两点， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为 y ＝－ x2＋2 x ＋3. (2)连接 BC ， CD ， BD ， P 为 BD 的中点，连接 CP ，则线段 CP 的长是 ⁠. 点拨：∵ y ＝－ x2＋2 x ＋3＝－( x －1)2＋4， ∴ D (1，4). 把 x ＝0代入 y ＝－ x2＋2 x ＋3，得 y ＝3，∴ C (0，3). ∵ P 为 BD 的中点， B (3，0)，∴ P (2，2). ∴ CP ＝ ＝ . 　 【变式5-1】如图，已知抛物线 y ＝－ x2＋ bx ＋ c 与 x 轴交于 A (－1， 0)， B (3，0)两点，与 y 轴交于点 C ，顶点为 D . 题型二：二次函数图象的平移在解题中的应用 例6[2023厦门期中]抛物线 y ＝ x2＋ x ＋1经平移后，不可能得 到的抛物线是(　D　) A. y ＝ x2 B. y ＝ x2－4 C. y ＝ x2＋ x －3 D. y ＝7 x2＋ x ＋1 点技巧：无论怎样平移，二次项的系数不变. D 题型三：二次函数的性质在解题中的应用 例7点 A (－1，0)， B (2，－3)都在二次函数 y ＝ ax2＋ bx －3的图象上. (1)求 a ， b 的值. 解：(1)∵点 A (－1，0)， B (2，－3)都在二次函数 y ＝ ax2＋ bx －3的图象上， ∴解得 (2)若二次函数的图象经过点(－2， y1)，(0， y2)， ，比较 y1， y2， y3的大小. 点 A (－1，0)， B (2，－3)都在二次函数 y ＝ ax2＋ bx －3的图象上. 解：(2)∵ a ＝1， b ＝－2，∴ y ＝ x2－2 x －3＝( x －1)2－4， ∴图象的对称轴为直线 x ＝1， ∵ a ＝1＞0，∴在对称轴的左侧 y 随 x 的增大而减小. ∵ 关于图象的对称轴对称的点为 ， －2＜－ ＜0，∴ y2＜ y3＜ y1. 题型四：二次函数图象上的三角形在解题中的应用 例8如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y ＝ x2＋ bx ＋ c 的 图象与 x 轴交于点 A (－1，0)、 B (3，0)，与 y 轴交于点 C . (1) b ＝ ， c ＝ ⁠； (2)若点 D 在该二次函数的图象上，且 S△ ABD ＝2 S△ ABC ，求点 D 的坐标； －2　 －3　 解：(2)由(1)可知 y ＝ x2－2 x －3，∴ C (0，－3). ∴ S△ ABC ＝ ×｜3－(－1)｜×｜－3｜＝6. 设点 D 的坐标为( m ， m2－2 m －3). ∵ S△ ABD ＝2 S△ ABC ， ∴ × AB ×｜ yD ｜＝2×6， 即 ×4×｜ m2－2 m －3｜＝2×6. 解得 m ＝1＋ 或1－ . 当 m ＝1＋ 时， m2－2 m －3＝6； 当 m ＝1－ 时， m2－2 m －3 ＝6. ∴点 D 的坐标为(1＋ ，6)或(1－ ，6). (3)若点 P 是该二次函数图象上位于 x 轴上方的一点，且 S△ APC ＝ S△ APB ，直接写出点 P 的坐标. 解：(3)点 P 的坐标为(4，5). 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y ＝ x2＋ bx ＋ c 的图象与 x 轴交于点 A (－1，0)、 B (3，0)，与 y 轴交于点 C . 题型五：二次函数图象上的四边形在解题中的应用 例9[2024合肥月考]如图，二次函数 y ＝－ x2＋ bx ＋ c 的图象与 x 轴相交于点 A 和点 C (1，0)，交 y 轴于点 B (0，3). (1)求此二次函数的解析式； 解：(1)根据题意，得 ∴ ∴ y ＝－ x2－2 x ＋3. [2024合肥月考]如图，二次函数 y ＝－ x2＋ bx ＋ c 的图象与 x 轴相交于点 A 和点 C (1，0)，交 y 轴于点 B (0，3). (2)设二次函数图象的顶点为 P ，对称轴与 x 轴交于点 Q ，求四边形 AOBP 的面积. 解：(2)如图，连接 OP ， ∵ y ＝－ x2－2 x ＋3＝－( x ＋1)2＋4， ∴ P (－1，4)，∴ PQ ＝4， OQ ＝1. ∵ C (1，0)，∴ OC ＝1，∴ QC ＝ AQ ＝2， ∴ OA ＝3. ∴ S四边形 AOBP ＝ S△ AOP ＋ S△ BOP ＝ OA · PQ ＋ OB · OQ ＝ ×3×4＋ ×3×1＝ . 题型六：二次函数图象上的平行线在解题中的应用 例10如图，已知抛物线 y ＝－ x2＋4与 x 轴交于点 A ， B (点 A 位 于点 B 的左侧)， C 为顶点，直线 y ＝－ x ＋ m 经过点 A ， 与 y 轴交于点 D . (1)求线段 AD 的长； 解：(1)在 y ＝－ x2＋4中，令 y ＝0，则－ x2＋4＝0，解得 x ＝±2，∴ A (－2，0)， 将 A (－2，0)的坐标代入 y ＝－ x ＋ m ， 得0＝2＋ m ，解得 m ＝－2， ∴直线 AD 的解析式为 y ＝－ x －2，∴ D (0，－2)，∴ OA ＝ OD ＝2，∵ OA ⊥ OD ， ∴由勾股定理，得 AD ＝ ＝2 . 如图，已知抛物线 y ＝－ x2＋4与 x 轴交于点 A ， B (点 A 位于点 B 的左侧)， C 为顶点，直线 y ＝－ x ＋ m 经过点 A ，与 y 轴交于点 D . (2)平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为C'.若新抛物线经过点 D ，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC'平行于直线 AD ，求新抛物线对应的函数解析式. 解：(2)由(1)可知直线 AD 的解析式为 y ＝－ x －2， ∵直线CC'平行于直线 AD ， ∴设直线CC'的解析式为 y ＝－ x ＋ n ， 由抛物线解析式知 C (0，4)， 将 C (0，4)的坐标代入 y ＝－ x ＋ n ，得 n ＝4， ∴直线CC'的解析式为 y ＝－ x ＋4， ∵C'在直线CC'上，∴设C'的坐标为( a ，－ a ＋4)， ∴平移后抛物线的解析式为 y ＝－( x － a )2－ a ＋4， ∵平移后抛物线经过点 D ， ∴将 D (0，－2)的坐标代入 y ＝－( x － a )2－ a ＋4， 得－ a2－ a ＋4＝－2，解得 a ＝－3或 a ＝2， ∴新抛物线的解析式为 y ＝－( x ＋3)2＋7或 y ＝－( x －2)2＋2. 题型七：利用待定系数法求二次函数解析式 例11【新考法 表格信息法】已知 y 与 x 满足二次函数关系，对 应值如下表，求此二次函数的解析式. x … －3 －2 －1 0 1 2 … y … 0 －3 －4 －3 0 5 … 解：由表格可知此二次函数图象的顶点为(－1，－4)， ∴设此二次函数的解析式为y ＝ a ( x ＋1)2－4. 将 x ＝0， y ＝－3代入得－3＝ a (0＋1)2－4，解得 a ＝1， ∴此二次函数的解析式为 y ＝( x ＋1)2－4. 【变式11-1】一个二次函数的图象经过点 A (－1，1)和 B (3，1)，最小值为－2.求这个二次函数的解析式. 解：由点 A (－1，1)和 B (3，1)的坐标可知， 图象的对称轴为直线 x ＝ ＝1， ∴顶点为(1，－2)， ∴设所求解析式为 y ＝ a ( x －1)2－2， 将 A (－1，1)的坐标代入，得1＝ a (－1－1)2－2， 解得 a ＝ ，∴这个二次函数的解析式为 y ＝ ( x －1)2－2. 【变式11-2】已知二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的图象经过 A (1，0)， B (3，0)， C (0，3)三点.求二次函数的解析式. 解：根据题意可知二次函数的解析式为 y ＝ a ( x －1)( x －3)， 把 C (0，3)的坐标代入，得3＝ a ×(0－1)(0－3)，解得 a ＝1. 故二次函数的解析式为 y ＝( x －1)( x －3)＝ x2－4 x ＋3. 题型八：利用平移求二次函数解析式 例12已知抛物线 y ＝ ax2－4 x ＋ a 经过点(－3，2). (1)求 a 的值，并将抛物线的解析式写成 y ＝ a ( x ＋ m )2＋ k 的形式； 解：(1)∵抛物线 y ＝ ax2－4 x ＋ a 经过点(－3，2)， ∴2＝(－3)2× a －4×(－3)＋ a ，解得 a ＝－1. ∴抛物线的解析式为 y ＝－ x2－4 x －1. 写成 y ＝ a ( x ＋ m )2＋ k 的形式为 y ＝－( x ＋2)2＋3. 已知抛物线 y ＝ ax2－4 x ＋ a 经过点(－3，2). (2)将(1)中的抛物线先向右平移 n 个单位长度，再向下平移 n 个单位长度. ①平移后新的抛物线的解析式为 ⁠ ；(用含字母 n 的式子表示) ②如果新的抛物线的顶点在第四象限，求 n 的取值范围. y ＝－( x ＋2－ n )2＋ 3－ n 　 解：(2)① y ＝－( x ＋2－ n )2＋3－ n ②由①得，新抛物线的顶点坐标为( n －2，3－ n ). ∵顶点在第四象限，∴ ∴ n 的取值范围为 n ＞3. 题型九：利用对称求二次函数解析式 例13已知抛物线与 x 轴交点的横坐标为－2和1，且过点(0，3). 求此抛物线关于 x 轴对称的抛物线的解析式. 解：点(0，3)关于 x 轴的对称点为(0，－3)， 根据题意可设新抛物线的解析式为 y ＝ a ( x ＋2)( x －1)， ∵该抛物线经过点(0，－3)， ∴－3＝ a (0＋2)(0－1)，解得 a ＝ .即新抛物线的解析式 为 y ＝ ( x ＋2)( x －1)＝ x2＋ x －3. 题型十：线段最值问题 例14如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y ＝ ax2＋2 x ＋ c 与 x 轴分别交于点 A (1，0)和点 B ，与 y 轴交于点 C (0，－3)，连接 BC . (1)求抛物线的解析式及点 B 的坐标. 解：(1)把点 A (1，0)和点 C (0，－3)的 坐标代入 y ＝ ax2＋2 x ＋ c ，得 解得 ∴ y ＝ x2＋2 x －3. 当 y ＝0时， x2＋2 x －3＝0， 解得 x1＝1， x2＝－3，∴ B (－3，0). 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y ＝ ax2＋2 x ＋ c 与 x 轴分别交于点 A (1，0)和点 B ，与 y 轴交于点 C (0，－3)，连接 BC . (2)点 P 为线段 BC 上的一个动点(点 P 不与点 B ， C 重合)，过点 P 作 y 轴的平行线交抛 物线于点 Q ，求线段 PQ 长度的最大值. 解：(2)设直线 BC 的解析式为 y ＝ kx ＋ b ， ∴解得∴ y ＝－ x －3， 设点 P ( m ，－ m －3)，则 Q ( m ， m2＋2 m －3)， ∴ PQ ＝(－ m －3)－( m2＋2 m －3)＝－ m2－3 m ＝－ ＋ ， ∴当 m ＝－ 时， PQ 的长度取最大 值，最大值为 . 【变式14-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y ＝－ x2＋ bx ＋ c 与 x 轴的交点分别为 A 和 B (1，0)(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C (0，3)，点 P 是直线 AC 上方抛物线上一动点. (1)求抛物线的解析式； 解：(1)把 B (1，0)， C (0，3)的坐标代 入 y ＝－ x2＋ bx ＋ c ，得 解得 ∴抛物线的解析式为 y ＝－ x2－2 x ＋3. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y ＝－ x2＋ bx ＋ c 与 x 轴的交点分别为 A 和 B (1，0)(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C (0，3)，点 P 是直线 AC 上方抛物线上一动点. (2)过点 P 作 x 轴的平行线交 AC 于点 E ， 过点 P 作 y 轴的平行线交 x 轴于点 D ， 求 PE ＋ PD 的最大值及点 P 的坐标. 解：(2)在 y ＝－ x2－2 x ＋3中，令 y ＝0 得0＝－ x2－2 x ＋3，解得 x ＝－3或 x ＝1，∴ A (－3，0).由 A (－3，0)， C (0，3)得直线 AC 的解析式为 y ＝ x ＋3. 设 P ( t ，－ t2－2 t ＋3)，则 D ( t ，0)， E (－ t2－2 t ，－ t2－2 t ＋3)， ∴ PD ＋ PE ＝－ t2－2 t ＋3＋(－ t2－2 t )－ t ＝－2 t2－5 t ＋3＝－2 ＋ ， ∵－2＜0，∴当 t ＝－ 时， PD ＋ PE 取最大值 ，此时 P . 题型十一：面积最值问题 例15如图①，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋ c ( a ＜0)与 x 轴分别交于点 A 和点 B (1，0)，与 y 轴正半 轴交于点 C ，对称轴为直线 x ＝－1，且 OA ＝ OC ， P 为 抛物线上一动点. (1)直接写出抛物线的解析式； 解：(1)抛物线的解析式为 y ＝－ x2－2 x ＋3. 如图①，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋ c ( a ＜0)与 x 轴分别交于点 A 和点 B (1，0)，与 y 轴正半轴交于点 C ，对称轴为直线 x ＝－1，且 OA ＝ OC ， P 为抛物线上一动点. (2)如图②，连接 AC ，当点 P 在直线 AC 上方时，求 四边形 PABC 面积的最大值，并求出此时 P 点的坐标. 解：(2)如图②，连接 OP . 设 P ( m ，－ m2－2 m ＋3)，易知 OA ＝ OC ＝3， OB ＝1.∴四边形 PABC 的面积 S ＝ S△ PAO ＋ S△ POC ＋ S△ OBC ＝ ×3×(－ m2－2 m ＋3)＋ ×3×(－ m )＋ ×1×3＝ (－ m2－3 m ＋4)＝－ ( m ＋ )2＋ . ∵－ ＜0，∴当 m ＝－ 时， S 的值最大，最大值为 ，此时 P . 题型十二：全等三角形问题 例16[2023宝鸡模拟]如图，抛物线 y ＝ x2＋ bx ＋ c 经过点(－2，5)和(2，－3)，与两坐标轴的交点分别为 A ， B ， C ，它的对称轴为直线 l . (1)求该抛物线的解析式； 解：(1)将点(－2，5)和(2，－3)的坐标 代入 y ＝ x2＋ bx ＋ c ， 得解得 ∴该抛物线的解析式为 y ＝ x2－2 x －3. [2023宝鸡模拟]如图，抛物线 y ＝ x2＋ bx ＋ c 经过点(－2，5)和(2，－3)，与两坐标轴的交点分别为 A ， B ， C ，它的对称轴为直线 l . (2) P 是该抛物线上的点，过点 P 作 l 的垂线， 垂足为 D ， E 是 l 上的点.要使以 P ， D ， E 为顶点的三角形与△ BOC 全等，求满足 条件的点 P 、点 E 的坐标. 解：(2)在 y ＝ x2－2 x －3中，令 y ＝0，则 x ＝3或 x ＝－1，令 x ＝0，则 y ＝－3， 故点 A ， B 的坐标分别为(－1，0)， (3，0)，点 C 的坐标为(0，－3). 由点 A ， B 的坐标易求得抛物线的对称轴 为直线 x ＝1，且 OB ＝ OC ＝3， 根据题意，可知∠ PDE ＝∠ BOC ＝90°， 则当 PD ＝ DE ＝3时，以 P ， D ， E 为顶点的三角形与△ BOC 全等. 设点 P ( m ， n )，当点 P 在抛物线对称轴右侧时， m －1＝3，解得 m ＝4， ∴ n ＝42－2×4－3＝5，∴点 P (4，5)，故点 E (1，2)或(1，8)； 当点 P 在抛物线对称轴的左侧时，由抛物 线的对称性可得，点 P (－2，5)，此时点 E 坐标同上. 综上所述，点 P 的坐标为(4，5)或(－2，5)， 点 E 的坐标为(1，2)或(1，8). 题型十三：特殊三角形存在性问题 例17[2023长沙期末]如图，抛物线 y ＝－ x2＋ bx ＋ c 与 x 轴交于 A ， B 两点，与 y 轴交于点 C ，顶点为 D ，已知直线 BC 的 解析式为 y ＝－ x ＋3. (1)求抛物线的解析式； 解：(1)在 y ＝－ x ＋3中，令 x ＝0，则 y ＝3， ∴ C (0，3)， 令 y ＝0，则 x ＝3，∴ B (3，0). 将 B (3，0)， C (0，3)的坐标代入 y ＝－ x2＋ bx ＋ c ， 得解得 ∴抛物线的解析式为 y ＝－ x2＋2 x ＋3. [2023长沙期末]如图，抛物线 y ＝－ x2＋ bx ＋ c 与 x 轴交于 A ， B 两点，与 y 轴交于点 C ，顶点为 D ，已知直线 BC 的 解析式为 y ＝－ x ＋3. (2)求点 D 到直线 BC 的距离； 解：(2)∵ y ＝－ x2＋2 x ＋3＝－( x －1)2＋4， ∴ D (1，4).连接 CD ， BD . ∵ B (3，0)， C (0，3)，∴ BC ＝3 ， BD ＝2 ， CD ＝ . ∴ BD2＝ BC2＋ CD2， ∴△ BCD 是直角三角形，且∠ DCB ＝90°. ∴点 D 到直线 BC 的距离为 CD 的长，即为 . [2023长沙期末]如图，抛物线 y ＝－ x2＋ bx ＋ c 与 x 轴交于 A ， B 两点，与 y 轴交于点 C ，顶点为 D ，已知直线 BC 的解析式为 y ＝－ x ＋3. (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点 P ，使得△ PCD 是等腰三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由. 解：(3)存在点 P ，使得△ PCD 是等腰三角形. ∵ y ＝－ x2＋2 x ＋3＝－( x －1)2＋4， ∴抛物线的对称轴为直线 x ＝1，设 P (1， t )， ∵ D (1，4)， C (0，3)， ∴ PC ＝ ， PD ＝｜ t －4｜，由(2)知 CD ＝ ， 当 PC ＝ PD 时， ＝｜ t －4｜，解得 t ＝3，∴ P (1，3)； 当 PC ＝ CD 时， ＝ ，解得 t ＝2或 t ＝4(舍去)， ∴ P (1，2)； 当 PD ＝ CD 时，｜ t －4｜＝ ，解得 t ＝4＋ 或 t ＝4－ ， ∴ P (1，4＋ )或(1，4－ ). 综上所述， P 点的坐标为(1，2)或(1，3) 或(1，4＋ )或(1，4－ ). 题型十四：平行四边形存在性问题 例18如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y ＝－ x2－4 x ＋ c 与 x 轴交于点 A ， B (点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C ， 且点 A 的坐标为(－5，0). (1)求点 C 的坐标； 解：(1)∵点 A (－5，0)在抛物线 y ＝－ x2－4 x ＋ c 上， ∴0＝－(－5)2－4×(－5)＋ c ， 解得 c ＝5，∴点 C 的坐标为(0，5). 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y ＝－ x2－4 x ＋ c 与 x 轴交于点 A ， B (点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C ， 且点 A 的坐标为(－5，0). (2)若点 M 是抛物线上一点，点 N 是抛物线 对称轴上一点，是否存在点 M 使以 A ， C ， M ， N 为顶点的四边形是平行四边 形？若存在，请直接写出点 M 的坐标； 若不存在，请说明理由. 解：(2)存在. 点 M 的坐标为(－3，8)或(3，－16)或(－7，－16). 题型十五：角度问题 例19【新视角 存在性探究题】在平面直角坐标系中，抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋ c ( a ≠0)的顶点坐标为 C (3，6)，并与 y 轴交 于点 B (0，3)，点 A 是对称轴与 x 轴的交点. (1)求抛物线的解析式； 解：(1)∵抛物线的顶点坐标为 C (3，6)，∴抛物线的解析式为 y ＝ a ( x －3)2＋6，将 B (0，3)的坐标代入可得 a ＝－ ， ∴ y ＝－ ( x －3)2＋6，即 y ＝－ x2＋2 x ＋3. 【新视角 存在性探究题】在平面直角坐标系中，抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋ c ( a ≠0)的顶点坐标为 C (3，6)，并与 y 轴交 于点 B (0，3)，点 A 是对称轴与 x 轴的交点. (2)如图①， P 是抛物线上的一个动点，且 位于第一象限，连接 BP ， AP ，求△ ABP 的面积的最大值； 易知 BO ＝3， AO ＝3， 设 P ，则 S△ BPO ＝ n ， S△ APO ＝－ n2＋3 n ＋ ， S△ ABO ＝ ， ∴ S△ ABP ＝ S△ BOP ＋ S△ AOP － S△ ABO ＝－ n2＋ n ＝－ (　 n － )2＋ ， ∵－ ＜0，∴当 n ＝ 时， S△ ABP 取最大值，最大值为 . 解：(2)如图①，连接 PO ， 【新视角 存在性探究题】在平面直角坐标系中，抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋ c ( a ≠0)的顶点坐标为 C (3，6)，并与 y 轴交于点 B (0，3)，点 A 是对称轴与 x 轴的交点. (3)如图②，在对称轴 AC 右侧的抛物线上是否 存在一点 D ，使∠ BCD ＝75°，如果存在， 求出 D 点的坐标；如果不存在，请说明理由. 解：(3)存在，设 D 点的坐标为 ， 过 B 作对称轴的垂线，垂足为 E ， ∵ B (0，3)， C (3，6)，∴ BE ＝ CE ＝3，∴∠ BCE ＝45°. 若∠ BCD ＝75°，则∠ ACD ＝30°. 过 D 作对称轴的垂线，垂足为 G ，则 DG ＝ t －3， CG ＝6－ ＝ t2－2 t ＋3， ∵∠ ACD ＝30°，∴2 DG ＝ DC . 在Rt△ CGD 中，由勾股定理，可得 CG ＝ DG ， ∴ ( t －3)＝ t2－2 t ＋3，∴ t ＝3＋3 或 t ＝3(舍去)， ∴ D (3＋3 ，－3). 题型十六：数形结合思想 例20函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的图象如图所示，关于 x 的一元二 次方程 ax2＋ bx ＝4－ c 的根的情况是(　A　) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 以上都不对 A 题型十七：建模思想 例21[2023宿迁]某商场销售 A ， B 两种商品，每件进价均为20 元.调查发现，如果售出 A 种20件， B 种10件，销售总额 为840元；如果售出 A 种10件， B 种15件，销售总额为 660元. (1)求 A ， B 两种商品的销售单价； 解：(1)设 A 种商品的销售单价为 a 元， B 种商品的销售单价为 b 元.根据题意， 得解得 答： A 种商品的销售单价为30元， B 种商品的销售单价为24元. [2023宿迁]某商场销售 A ， B 两种商品，每件进价均为20元.调查发现，如果售出 A 种20件， B 种10件，销售总额为840元；如果售出 A 种10件， B 种15件，销售总额为660元. (2)经市场调研， A 种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件； B 种商品的售价不变， A 种商品售价不低于 B 种商品售价.设 A 种商品降价 m 元，如果 A ， B 两种商品销售量相同，求 m 取何值时，商场销售 A ， B 两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？ 解：(2)设总利润为 w 元，由题意可得： w ＝(30－ m －20)(40＋10 m )＋(24－20)(40＋10 m ) ＝－10( m －5)2＋810， ∵ A 种商品售价不低于 B 种商品售价， ∴30－ m ≥24，解得 m ≤6， ∴当 m ＝5时， w 取得最大值，此时 w ＝810， 答： m 取5时，商场销售 A ， B 两种商品可获得总利润 最大，最大利润是810元. 易错易混 易错点一：忽略题目中的隐含条件 1.如果函数是二次函数,那么的值是 。 正解: ， =0，（）=0，=0或 又-3≠0，所以≠3.所以=0.故答案为 0. 易错点二:混淆二次函数的增减性与一次函数的增减性 易错点三：考虑不全,导致出错 正解:因为二次函数有最小值,所以>0,所以=4.故选 C. 易错点四：求最值时忽略自变量的取值范围 正解:因为当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，所以当x=0时，y最小值=1;当x=2时，y最大值=7.故选 C. 易错点五： 忽略二次函数图象中二次项系数为负数导致出错 0(填“>”“<”或“=”)。 正解:因为抛物线的对称轴在点(-1,0)的右边，所以 因为 a<0,所以b>2a，所以 2a-b<0.故答案为<. 押题预测 1. （2023秋•新泰市期中）已知二次函数y=ax2+bx(a≠0)的图象如图所示，则一次函数y=ax+b(a≠0)的图象大致为( ____ ) A.___ B.___ C.___ D.___ 【解析】解：由二次函数y=ax2+bx(a≠0)的图象，可知：a＜0，b＞0， 则一次函数y=ax+b(a≠0)的图象经过第一、二、四象限， 故选：C． C 2. （2023秋•内蒙古期中）已知抛物线y=x2-2x-1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为( ____ ) A.-2 B.-1 C.0 D.2 【解析】解：∵y=x2-2x-1=(x-1)2-2， ∴对称轴为直线x=1， ∵a=1＞0，∴抛物线的开口向上， ∴当0≤x＜1时，y随x的增大而减小， D ∴当x=0时，y=-1， 当1≤x≤3时，y随x的增大而增大， ∴当x=3时，y=9-6-1=2， ∴当0≤x≤3时，函数的最大值为2， 故选：D． 74 3. （2023秋•安阳期中）新定义：[a,b,c]为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0，a,b,c为实数)的“图象数”，如：y=x2-2x+3的“图象数”为[1，-2，3]，若“图象数”是[m,2m+4，2m+4]的二次函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为 _______ ． 【解析】解：由题意得：二次函数的解析式为y=mx2+(2m+4)x+2m+4， Δ=(2m+4)2-4m(2m+4)=0， 解得：m1=-2，m2=2， 故答案为：-2或2． -2或2 75 4. （2023秋•浔阳区校级期中）为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是1.68米，当铅球运行的水平距离为2米时，达到最大高度2米的B处，则小丁此次投掷的成绩是 ____ 米． 【解析】解：建立坐标系，如图所示： 由题意得：A(0，1.68)，B(2，2)， 点B为抛物线的顶点， 设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+2， 把A(0，1.68)代入得：4a+2=1.68，解得a=-0.08， ∴y=-0.08(x-2)2+2， 令y=0，得-0.08(x-2)2+2=0，解得x1=7，x2=-3(舍)， ∴小丁此次投掷的成绩是7米． 故答案为：7． 7 76 5. （2023秋•武穴市校级期中）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度OH为1.5m.可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE=3m,竖直高度EF=0.5m.下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m,高出喷水口0.5m,灌溉车到绿化带的距离OD为d(单位：m)． _______ (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC； (2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围． 77 【解析】解：(1)由题意得A(2，2)是上边缘抛物线的顶点， 设y=a(x-2)2+2，又∵抛物线过点(0，1.5)， ∴1.5=4a+2，∴a=- ，∴上边缘抛物线的函数解析式为y=- (x-2)2+2， 当y=0时，0=- (x-2)2+2，解得x1=6，x2=-2(舍去)， ∴喷出水的最大射程OC为6m； (2)∵对称轴为直线x=2， ∴点(0，1.5)的对称点为(4，1.5)， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的， ∴点B的坐标为(2，0)； 78 (3)∵EF=0.5，∴点F的纵坐标为0.5，∴0.5=- (x-2)2+2， 解得x=2±2 ，∵x＞0，∴x=2+2 ， 当x＞2时，y随x的增大而减小， ∴当2≤x≤6时，要使y≥0.5，则x≤2+2 ， ∵当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，且x=0时，y=1.5＞0.5， ∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则0≤x≤2+2 ， ∵DE=3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， ∴d的最大值为2+2 -3=2 -1， 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是d≥OB， ∴d的最小值为2，综上所述，d的取值范围是2≤d≤2 -1． $$