1.3.1空间直角坐标系导学案-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.3.1《空间直角坐标系》教学设计 1、 课时内容与学情分析 （一）课程标准要求 1.利用类比的思想，认识与理解空间直角坐标系的概念及作法。 2.利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应。 3.在空间直角坐标系Oxyz中，对空间中任意一点A，或任意一个向量，借助几何直观确它们的坐标（x,y,z）。 4.通过空间直角坐标系的学习，让学生感受数学的抽象美和实用性，激发学生对数学的兴趣和热爱。 （二）本节课在本单元的位置 本节课是高中数学人教版教材选择性必修第一册第一章第三节的第一课时，与前面所学习《平面向量及其应用》、《立体几何初步》两大章节前后呼应，是对平面直角坐标系的进一步推广，是学生思维从二维到三维的过渡，更是后面运用空间向量解决立体几何问题的基础。本单元第一节和第二节主要学习了空间向量及其运算，和空间向量基本定理，是空间向量的几何运算，本节课的学习实现了几何问题代数化的有效转变， 是后面利用空间向量解决求点、线、面位置关系的基础。 （3） 学情分析 由于学生在高一阶段对《平面向量及其应用》、《立体几何初步》的学习，已经对平面直角坐标系的有了深刻的认识，也形成了初步的空间想象思维。因此，借助类比和数形结合的思想方法，启发引导学生思维的转变，进而加强学生对空间直角坐标的理解和认识，是本节课的重点和难点。同时，步入高二阶段后学习了空间向量基本定理，建立了“空间基底”的概念，可以利用基底表示任意一个空间向量，进而把空间向量的运算转化为基向量的运算，所以基底概念的引入为几何问题代数化奠定了基础。 2、 课时目标与评价任务 （1） 课时目标 1.通过对空间直角坐标系概念的理解，培养学生的数学抽象和直观想象的学科核心素养。 2.掌握空间中点的坐标和向量的坐标概念，并能在空间直角坐标系中表示空间中点的坐标和向量的坐标，发展学生的数学运算和直观想象的学科核心素养. （2） 教学重点、难点 重点：空间直角坐标系下点的坐标和向量的坐标确定。 难点：空间向量的坐标表示。 （三）任务评价 1.了解学生对空间直角坐标系的理解和掌握程度，是否能够清晰地阐述坐标系的概念、原理和方法。 2.检查在给定坐标系下，点和向量的坐标表示是否正确，是否能够准确地描述他们的位置和特征。 3.考察学生是否能够将空间直角坐标系的知识应用到实际情景中，是否能够灵活应用所学知识解决问题。 3、 教学过程 任务1：认识与理解空间直角坐标系的概念及作法 导入：在平面向量中，我们以平面直角坐标系中与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，建立了向量的坐标与点的坐标的一一对应关系，从而把平面向量的运算化归为数的运算.类似地，为了把空间向量的运算化归为数的运算，能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢? 学生活动：学生自主阅读课本第16页，了解如何建立空间直角坐标系. 在空间选定一点O和一个单位正交基底,以点O为原点,分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做原点,都叫做坐标向量,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面. 教师追问：画空间直角坐标系时需要注意什么问题？什么是右手坐标系？ 师生互动：学生看书后回答，教师补充完善 （1）画空间直角坐标系Oxyz时,一般使∠xOy=135°(或45°),∠yOz=90°.三个坐标平面把空间分成八个部分. （2）在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系. 注：本书建立的都是右手直角坐标系. 设计意图：学生通过自主学习，初步认识空间直角坐标系。经过师生互动，强调画空间直角坐标系的注意事项，加强对空间直角坐标系和右手直角坐标系的认识。 任务2：探究在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也有类似的表示呢？ 问题引入：空间中点的坐标如何表示？空间中向量的坐标如何表示？ 学生活动：学生自主阅读教材第17页 空间中点的坐标表示：在空间直角坐标系Oxyz中,为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量,且点A的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使=.在单位正交基底下与向量对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标. 空间中向量的坐标表示：在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量,作由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使.有序实数组(x,y,z)叫做向量在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作=(x,y,z). 教师活动：教师完善，总结强调 师生活动：学生分组讨论探讨并画图说明，并说明符号(x,y,z)的双重意义，既可以表示点，又可以表示向量. 设计意图：让学生带着问题去阅读课本，感受平面直角坐标系与空间直角坐标系的联系，类比平面向量及其坐标表示，结合数形结合的数学思维，从而掌握空间向量及其坐标表示。 练一练： 练1.已知是空间直角坐标系Oxyz中x轴，y轴，z轴正方向上的单位向量，且＝，则B点的坐标为(　A　) A．(－1,1，－1) B．(－i，j，－k) C．(1，－1，－1) D．不确定 练2.已知点A在基底下的坐标为(8,6,4)，其中，则点A在基底下的坐标是(　A　) A．(12,14,10) B．(10,12,14) C．(14,12,10) D．(4,3,2) 任务3：探究在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任意一点A，或任意一个向量，你能借助几何直观确定它们的坐标（x,y,z）吗？ 师生活动：空间中点的坐标确定——垂面法。教师引导学生借助于图形去探究，如图，过点A分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴、y轴和z轴于点B，C和D.可以证明向量在x轴、y轴、z轴上的投影向量分别，且.设点B，C和D在x 轴、y轴和z轴上的坐标分别是x，y和z，那么点A (向量)的坐标为(x，y，z).所以将各个点在坐标轴上的射影求出，即可写出空间各点（或向量）的坐标． 设计意图：利用数形结合的思想和方法，让学生深刻掌握空间直角坐标系与作法、空间点的坐标、空间向量的坐标以及空间点的坐标的确定，同时培养学生数学抽象的核心素养。 任务4：学以致用，当堂检测 例1.如图，在长方体，，以为单位正交基底，建立如图的空间直角坐标系 (1)写出四点的坐标； (2)写出向量的坐标. 师生活动：①教师PPT上面出现问题，学生分小组讨论作答； ②展示小组成果，指出错误的地方； ③教师强调易错点，并在PPT上展示规范答案。 检测1．在长方体中，，，，与相交于点，建立如图所示的空间直角坐标系． （1）写出点，，的坐标； （2）写出向量，的坐标． 师生活动：①找部分学生上台演板，台下学生自主训练。 ②带学生完成后，共同指出台上学生的的错误之处。 ③教师强调学生的易错点，展示规范的解题过程。 设计意图：例1有针对性的考察了空间点的坐标与空间向量的坐标.让学生以小组为单位进行思考，讨论，练习展示，体现以学生为主体的教育理念，并能及时发现学生理解的误区。练习3是检验学生对本节课的掌握情况的有效手段，是发现问题，解决问题，总结知识的有效补充。 4、 板书设计 空间直角坐标系 1.空间直角坐标系的概念及作法。 注意： 2.空间中点的坐标表示。 3.空间中向量的坐标表示. 例1. 检测1. 学科网（北京）股份有限公司 $$