1.2空间向量基本定理学案-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.2 空间向量基本定理 【学习目标】 课程标准 学科素养 1.理解空间向量的正交分解,空间向量的基本定理, 2.能用空间一个基底表示空间的任意向量.(重点) 1、数学运算 2、数学抽象 【自主学习】 1. 空间向量基本定理 定理:如果三个向量a,b,c不共面 ,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc. 其中{a,b,c}叫做空间的一个 基底 ,a,b,c都叫做基向量. 2.单位正交基底 空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用{i,j,k},a可以分解成三个向量,a=xi+yj+zk,像这样叫做把空间向量进行正交分解。 【小试牛刀】 1.判断正错 (1)空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示.( ) (2)若{a,b,c}为空间的一个基底,则a,b,c全不是零向量.( ) (3)如果向量a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底,则一定有a与b共线.( ) (4)任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底.( ) 2.在下列两个命题中,真命题是( ) ①若三个非零向量a,b,c不能构成空间的一个基底,则a,b,c共面; ②若a,b是两个不共线向量,而c= a+ b( , ∈R且 ≠0),则{a,b,c}构成空间的一个基底. A.仅① B.仅② C.①② D.都不是 【经典例题】 题型一 基底的判断 判断标准:判断三个空间向量是否共面,若共面,则不能构成基底;若不共面,则能构成基底. 方法:①如果向量中存在零向量,则不能作为基底;如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示,则不能构成基底. ②假设a= b+ c,运用空间向量基本定理,建立 , 的方程组,若有解,则共面,不能作为基底;若无解,则不共面,能作为基底. 题型一:基底的判断 【例1】已知向量是空间的一个基底,从,,中选哪一个向量,一定可以与向量,构成空间的另一个基底? 【变式1】已知向量{a,b,c}是空间的一个基底,则可以和向量p=a+b,q=a-b构成基底的向量是( ) A.a B.b C.a+2b D.a+2c 题型二 用基底表示向量 注意:用基底表示向量时,若基底确定,要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则,以及向量数乘的运算律;若没给定基底,首先选择基底,选择时,要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量,再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求. 【例2】如图,M是四面体的棱的中点,点N在线段上,点P在线段上,且,,用向量,,表示. 【变式2】已知四面体OABC,M,N分别是棱OA,BC的中点,且,,,用,,表示向量. 题型三:用空间向量基本定理解决相关的几何问题 【例3】如图,在平行六面体中,,,,,,,M,N分别为,的中点.求证:. 【变式3】已知四面体OABC,,.求证:. 【例4】如图,正方体的棱长为1,分别为的中点. (1)求证:; (2)求与所成角的余弦值 【变式4】如图,在平行六面体中,,,,.求与所成角的余弦值. 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 $$