贵州省贵阳市第一中学2024-2025学年高三上学期第一次联考（9月月考）数学试卷

8.已知国C:x+y-2-2y=0,设其与x轴、y轴正半轴分别交于M,N两点.已知另 数学试卷 一国C的半径为22，且与图G,相外切，则IGM·|CN的最大值为 A.20 B.202 C.10 tD102 注意事项： 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小®给出的四个选项中，有 1答通背，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场专、座位普在答 多个选项是符合题日要求的，全部选对的博6分，部分法对的得部分分，有选错的得和分) 凝卡上填写清楚. 9.离敬最植机变量X的分布列如下表所示，m,n是非零实数，则下列说法正确的是 2,最小题选出答案后，用2B船笔把答题卡上对鹿题日的答米标号涂黑，如常放动， 2024 2025 用檬皮整干净后，再选涂其他答常标号。在议题卷上作答无效， 3.考议结来后，清将本试卷和答超卡一并交四.满分150分，考接用时120分钟 丽 n A.m+u=1 露.X服从两点分布 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共4和分，在每小题给出的四个选项 C.2024<E(x)<2025 D.D(X)=mn 中，只有一项是符合题目要求的) 10已知函数x)=1ga应2-2r+1),下列说法于确的是 L.已知集合A=|xx2-2x-3>01,B=1,2,3,41,则AnB= Ax)的定义城为R,当且仅当0<a<1 A,11,2 B11.2,31C.13,4 D141 B仪x)的值蚊为R,当且仅当a21 2下列函数在其定文坡内单涕增的是 ■ A=、 B.yelnd 二爪)的最大值为2，当且仅当a= x D,具x)有极值，当且仅当a<1 C.ym D.y=se' 11,设定义在R上的可导函数f八)和g(x)的导函数分别为()和g'(x),演足g(x)- 3已知等差数列4，}满足4+4，=32，。a=6,则a1= (1-x)1,f(x)=(x+3),且g(x+1)为奇函数，则下列说法正确的是 A.2 B.4 C.6 D.8 A.f八0)=0 B.g(+》的图象关干直线x=2对称 4.已知点A是抛物线C:y=2(>0)上一点，若A到抛物线焦点的距离为5，且A到x 轴的距离为4，则户■ C.f八x)的一个周期是4 n.器-0 A.1或2 B.2或4 C2或8 D.4成8 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 5.已知函数代2x~3)的定义或为[2,3].记f八x)的定义城为集合A,f八2-1)的定文域为 12过点(0,0)作由线y=a(a>0且a*1)的切线，则切点的纵坐标为 集合且则“x石A”是“x∈B”的 13今年警刺旅游旺季，贵州以凉爽的气候豪件和丰富的旅游资源为依托，吸引了各地 A充分不必要条件 B.必要不充分条件 游客前来游玩。由安瀾黄果树瀑布、蒸被小七孔、西江干户百寨、赤水丹霞、兴文 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 万峰林、铜仁梵净山6个景点着膏组成了贵州文浓的幸头产品“黄小西吃陵饭”.小 6.已知函数凡)的定文填为R设函数g(》=儿x)+,函数h(x)-八x)-5和.若g(》 明和家人计划游览以上6个景点，若捌仁凳净山不安排在首末位置，且蒸被小七孔 是偶函数，()是奇函数，则八x)的最小值为 和西江千户雷嘉安排在相邻位置，则一共有种不同的游览顺序方案，（用数 A.e B.22 C.26 D.2e 字作答) 7.从+ 的二项展开式中菌机取出不同的两项，则这两项的乘积为有理项的概率为 雀+2x+3,x60, 14.已知属数八x)= 若存在实数，，名且<，使得八)= nx。>0, c n号 八)=)，则)+x代)+)的最大值为 数学第1究（莽4页） 戴学，第2瓦（共4页） 四、解苦题《（共了分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骚） 1&(本小题满分17分】 15.《本小题满分13分) 为了检测某种抗病毒度苗的免疫效黑。需要进行动物 图1中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形图(1)局一个面积为1的实心 与人体试验.研究人员将疫首柱射到00只小自鼠体 正三角形，分别连接这个正三角形三边的中点，将原三角形分成4个小正三角形， 内，一股时间稻测量小白鼠的某项指标值，按 并去掉中间的小正三角形得到图(2)，再对图(2)中的每个实心小正三角形重复 [0,20),[20.40),[40,60).[60,80),[80,100] 0 0002 以上操作得到图(3)，再对图(3)中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图 分组，绘制频率分布直方图如图3所示试验发既小 000位5 (4),…,依此类指得到n个图形.记第n个图形中实心三角形的个数为，第 白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标傻不 T亦高布10菊标慎 个图形中实心区域的面积为多， 小于60的有110只.假设小白佩注射疫苗后是否产生 司3 杭体相互独立， (1)填写下面的2x2列联表，并根据列联表及a=0.01的独立性检验，判断能否认 为注到疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关： 单位：只 指标值 (2 (3) 4 抗体 合计 小于60 不小于60 (1)写出数列川4，|和b|的通项公式： 有抗休 (2)设=a6nb+e*,i,证明a,c,<兮0 没有抗体 合计 1((本小盟演分15分) (2)为检险度苗二次接种的免度抗休性，对第一次注射校苗后没有产生抗体的40只 如图2，在三棱台A,B,C,-ABC中，△AB,C,和△ABC都为等腰直角三角形，CC,= 小白鼠进行第二次在射较苗，结果又有0只小白鼠产生抗体 C4,=2,CM=4,∠ACC,=∠BGC,=∠CBA=90°，G为线段AC的中点，H为线段BG ()用规率估计概率，求一只小白限注射2次变苗后产生抗休的概率P: ()以()中确定的概率P作为人体射2次度荷后产生抗体的概率，进行人体 上的点， (1)若点H为线段BC的中点，求证：A,B∥平面C,GH; 接种试验，记100个人注射2次度苗后产生抗体的数量为随机变量X.求E(X)及 P(X=)取量大值时的k值. (2)若平面CGH分三棱台A,B,C-ABC所成两部分几何体 n(ad-be)2 的体积比为2：5，求二面角C,-GH-B,的正弦值 参考公式：术(a+6)(c+d(a)(6+d其中nat6ctd为群本容量) 参考数阳： 0.100 0.050 0.010 0.005 17.(本小题满分15分) 和 2.706 3.841 6.635 7.879 已知双曲线M：三-=1(a>0,>0》与覆h线M: 后“而1的离心常相同。且 19(本小题满分17分) M经过点(2,2)，N的焦距为25. 三角函数是解决数学问题的重要工具三倍角公式是三角学中的重要公式之一，某 (1)分别求M和N的方程： 数学学习小组研究得到了以下的三格角公式： (2)已知直线1与M的左、右两支相交于点A,B。与N的左、右两支相交于点C, ①sin30=3sin0-4sin0:②c0%30=4c0w0-3o08e 根据以上研究结论，回答： 0.C可学，判断直线1与圆0：y=0的位置关系 1ABI6 (1)在①和2中任选一个进行证明： (2)已知函数f八x)=x-3r*a2有三个零点新，为，利且<红4 ()求4的取值范围： ()若=-1，证明：号-=粥 数学+第3氧（共4页） ■三■口■ 数学·第4到（共4沉）口■口■口口■ 贵阳第一中学2025届高考适应性月考卷（一)》 数学参考答案 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 题号 1 2 3 5 6 7 8 答案 D c 分 C A A 【解析】 1.由题，A={xx<-1或x>3},B=礼，2,3,4，则A∩B=4},故选D 2.对于A选项，y=-1的定义域为（←，0U(0,+o),该函数在(-0,0）和(0，+四)上单调 递增，在定义域内不单调：对于B选项，y=nx2的定义域为(-o,0)U(0,+0),该函数 在(-，0)上单调递减，在(0，+)上单调递增，在定义域内不单调：对于C选项， 3 y=x2=F的定义域为0，+四)，该函数在定义域上单调递增：对于D选项，y=心的 定义域为R,y'=(x+1)e,当xe(-0,-)时，y'<0：当x∈(-l,+o)时，y'>0, y=x在(-o,-1)上单调递减，在(-1，+)上单调递增，因此该函数在定义域内不单调， 故选C 3.2a5=a3+a=32,a5=16,2d=a6-a4=6,d=3,a1=a5-4d=4,故选B. o=2pxo 4.设点A(0%),则 +号=5，整理得p5-号-8，解得p=2或p=8,故选C. 2 %卡4， 5,,f(2x-3)的定义域为[2,3].当2≤x≤3时，1≤2x-3≤3，∴f(x)的定义域为[l,3], 即A=1,3].令1≤2-1≤3，解得1≤x≤2，∴f(2-1)的定义域为[1,2]，即B=1,2]: ,BSA,“x∈A”是“xeB”的必要不充分条件，故选B 6.由题， g(x)=g(-x). [f(x)+e*=f(-x)+e". 解得f(x)=3e+2ex,所以 hx)=-h(-x) f(x)-5e=-f(-x)+5e, f)=3e+2e≥23e·2e≥2W6,当且仅当30=2e%,即r=n2时，等号成立. 2 3 ·f(x)m=2W6,故选C 数学参考答案·第1页（共9页） 1.设+的二项展开式的道项公式为=C=兰，k=0:,2, 5-3 3,4,5,所以二项展开式共6项.当k=0,2,4时的项为无理项：当k=1,3,5时的项 为有理项.两项乘积为有理数当且仅当此两项同时为无理项或同时为有理项，故其概率为 C3+C. ,故选A. 5 8.由题，C:(x-1)2+(y-1)2=2,即圆心为C1,),半径为2，且M(2,0),N(0,2), MN为C的直径.：G与C2相外切，CC2=V2+2√2=3W2.由中线关系，有 1CMP+C2NP=20CC2P+|CM)=2×(I8+2)=40,∴.CM|lC2N≤ 1CM+IGNP=20,当且仅当1C,MHC,N1时，等号成立，所以C,MC,N1的最大 2 值为20，故选A. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分) 题号 9 10 11 答案 ACD BC BCD 【解析】 9,对于A选项，由分布列性质可知正确：对于B选项，由两点分布定义可知错误：对于C选项， E(X)=2024m+2025n=20240-n)+2025n=2024+n.,0<n<1,'.2024<E(X)<2025, 正确：对于D选项，令Y=X-2024,则Y服从两点分布，D()=1-)=mn, .D(X)=D(Y+2024)=D(Y=mn,正确，故选ACD 10.令g(x)=ar2-2ax+1,△=4a2-4a,对于A选项，f(x)的定义域为R台a=0或 a>0, 一0≤a<1,故A错误：对于B选项，f(x)的值域为R一g(x)在定义域内的 △<0 值域为(0，+∞)一 [a>0, 一a≥1，故B正确：对于C选项，f(x)的最大值为2一g(x) A≥0 a>0, 在定义域内的最小值为 故C正确：对于D选项，f(x)有极值 6 g(1) a=15 16 16 a≠0， 台g(x)在定义域内有极值÷ 台a<I且a≠0，故D选项错误，故选BC g(1)>0 数学参考答案·第2页（共9页） 口■口■口口■ 11.对于A选项，因为g(x+I)为奇函数，所以g()=0,又由g(x)-f0-x)=1,可得 g()-fO)=1,f(0)=-1,故A错误：对于B选项，由(x)=g'(x+3)可得 f(x)=g(x+3)+C,C为常数，又由g(x)-f1-x)=1,可得g(1-x)-f(x)=1,则 g1-x)-g(x+3)-C=1,令x=-1,得g(2)-g(2)-C=1,所以C=-1,所以 g(1-x)=g(x+3),g(x)的图象关于直线x=2对称，故B正确：对于C选项，因为g(x+) 为奇函数，所以g(x+3)=g1-x)=-g(x+1),所以g(x+2)=-g(x),g(x+4)=-g(x+2) =g(x),所以g(x)是一个周期为4的周期函数，f(x)=g(x+3)-1,f(x+4)=g(x+7) -1=g(x+3)-1-f(x),所以f(x)也是一个周期为4的周期函数，故C正确：对于D选 项，因为g(x+)为奇函数，所以g()=0,g(2)=-g(0)=-g(4),又g(3)=g)=0,又g(x) 是周期为4的周期函数，所以g(k)=g)=0,故D正确，故选BCD. =l 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 144 3e3-6 【解析】 12.设切点坐标为(，a),y'=ana,.切线方程为y=ana·x.将（亿，d)代入得 dna1=d,可得1==loge,切点纵坐标为d=de0=e. Ina 13.先对小七孔和千户苗寨两个相邻元素捆绑共有A?种方法，再安排梵净山的位置共有C,种 方法，再排其余元素共有A4种排法，故共有A·C·A=144种不同的方案 14.设f(x)=f(x2)=f(:)=1,由f(x)的函数图象知，2<1≤3，又x+x2=-2,lnx=1, =e'，∴xf()+2f(x2)+x3f()=-2t+e',令p)=-2t+e,2<t≤3，p'(t)= +1)e'-2>0，∴.p0在(2,3)上单调递增，则p0)x=p(3)=3e3-6, f(:)+2fx2)+x3f(x)的最大值为3e3-6. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) (1)解：数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，因此a。=1×3-=3-: …(3分) 数学参考答案·第3页（共9页） 数列么是省项为1。公比为的等比数到，因此，么=目)厂-目)门。 ………(6分) 2)证明：由D可得6=ah+ah++04+aA=.厂+3目 g相rr 4- …(10分) 因为 3 所以1长号行·所以a …(13分) 16.(本小题满分15分) (1)证明：如图1，连接AC,设AC∩CG=O,连接HO,AG, 三棱台AB,C-ABC,则AC∥AC,又CG=三AC=2, ∴.四边形ACCG为平行四边形， 则C0=OA: …(2分) :点H是BC的中点， ∴BA∥OH *444444444544444444444444*4444*444*4+44…(4分） 又OHc平面CHG,AB4平面CHG, ∴.AB∥平面CHG 4444401*n*4*1**1*0*44*4*44441…(6分) (2)解：因为平面CGH分三棱台AB,C-ABC所成两部分几何体的体积比为2：5， 所以VG-Gmc=7 时S…0G-5w+araG+5eaG 数学参考答案·第4页（共9页） 口■口■□■■ 此时点H与点B重合。 …(8分) .∠CCA=∠BCC=90, ∴.CC⊥BC,CC⊥AC,BC∩AC=C且都在平面ABC,则CC⊥平面ABC, 又△ABC为等腰直角三角形，则BG⊥AC 又由(1)知AG∥CC,则AG⊥平面ABC, 建立如图2所示的坐标系G-z, 则H(2,0,0),A(0,2,0),G0,0,0)C(0,-2,0), C(0,-2,2)B(1,-1,2) 设平面CHG的法向量i=(x,z)GC=(0,-2,2)G=(2,0,0), -2y+2z=0令y=.解得元=0.)， 02x=0 设平面B,GH的法向量m=(a,b,c,GB=(I,-1,2), a-b+2c=0, 则 2a=0, 令b=2,解得m=(0.2,）.…(12分) 设二面角C-GH-B的平面角为0， cosB-cos(mm上m,n 1+2 3V10 …(14分) 1mnV02+12+1P.V02+22+12 10· 所以sin0=V-eos'6=i0 10 所以二面角C-GH-R的正弦值为 …(15分) 10 17.(本小题满分15分) 解：(1)由题意可知双曲线N的焦距为2vm+2m2=2√5|m=2√5， 解得m2=1,即双曲线N:- =1…(3分) 2 因为双曲线M与双曲线N的离心率相同， 不妨设双曲线M的方程为r-号=元， 2 因为双曲线M经过点(2,2)，所以4-2=1，解得2=2， 则双曲线M的方程为_ -=1. (6分) 24 数学参考答案·第5页（共9页） 口■口■□■■ (2)易知直线1的斜率存在，不妨设直线1的方程为 y=kx+t,A(xy),B(x2,y),C(x y3),D(x y=kx+1, 联立 消去y并整理得(2-k2)x2-2kx-2-21=0, △=4k22+42-k2)t+2)>0 此时 -2-22<0, 可得k2<2,…(8分) 2-k2 2kt 当无=2时，由韦达定理得x+x2= -12-4 2-F’6=2-F: 2kt 当元=1时，由韦达定理得x+x= -12-2 2-F,5=2- …(10分) 则4B 1+k2V任+x-4x五 4k22-4k2-2)2+4) 2-2k2+4 .6 ICDI +k+x)-4xx 4k212-4k2-2)2+2) V12-k2+2 2 化简可得+k2=2,…(13分) 由(1)可知圆0：x2+y2=2, 则圆心O到直线1的距离d= 2-k2 V1+k2 V1+k V1+k2 所以直线！与圆O相切或相交 …(15分) 18.(本小题满分17分) 解：(1)由频率分布直方图知，200只小白鼠按指标值分布为： 在[0,20)内有0.0025×20×200=10（只)： 在[20,40)内有0.00625×20×200=25（只）月 在[40,60)内有0.00875×20×200=35（只）： 在[60.80)内有0.025×20×200=100（只）： 在[80,100]内有0.0075×20×200=30（只），… …(1分) 由题意，有抗体且指标值小于60的有50只：而指标值小于60的小白鼠共有 10+25+35=70(只)，所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值 不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下： 数学参考答案·第6页（共9页） 口■口■口口■ 单位：只 指标值 抗体 合计 小于60 不小于60 有抗体 50 110 160 没有抗体 20 20 40 合计 70 130 200 …(3分） 零假设为H。：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联 …(4分) 根据列联表中数据，得x=200x50x2020x1104.945<6635=a 160×40×70×130 …(6分) 根据α=0.01的独立性检验，没有充分证据认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小 于60有关…(7分) (2)()令事件A=“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件B=“小白鼠第二次注射疫 苗产生抗体”，事件C=“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”， 记事件A,B,C发生的概率分别为P(A),P(B),P(C), 则P(A)= 60=0.8,PB8=20 0.5, 20 0 …(9分) PC)=1-P(A)P(B)=1-0.2×0.5=0.9, 所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率P=0.9.…(11分) (ii)由题意，知随机变量X~B100,0.9), 所以E(X)=p=100×0.9=90. …(13分) 又P(X=k)=C×0.9×0.1-(k=0,1,2,,),设k=k。时，P(X=)最大， 所以 Chm×0.9×0.10-≥C×0.9×0.1m-4, C×0.9×0.10-≥Cx0.9-1×0.11-, 44…(15分) 解得89.9≤k。≤90.9，因为k。是整数，所以k。=90.……(17分) 数学参考答案·第7页（共9页） 口■口■口口■ 19.(本小题满分17分) (1)若选①，证明如下： sin 30=sin(20+0)=sin 20cos0+cos 20sin0=2sin0cos2+(1-2sin20)sin0 =2sine(1-sin2)+(1-2sin2e)sine=3sine-4sin...........................(4) 若选②，证明如下： cos30 cos(20+0)=cos 20cos0-sin 20sin 0=(2cos20-1)cos0-2sin2 0cos0 =2c0s30-c0s0-21-c0s20c0s0=4c0s30-3c0s0.…(4分) (2)(①解：'(x)=3x2-3a,… …(5分) 当a≤0时，f"(x)≥0恒成立，所以f(x)在(-0，+o)上单调递增，至多有一个零点： ……(6分) 当a>0时，令f"(x)=0,得x=±√a:令f"(x)<0,得-√a<x<√a, 令f"(x)>0,得x<-√a或x>√a 所以f(x)在(-√a,√a)上单调递减，在(-o,-√a),(√a,+o)上单调递增 …(7分) f(-√a)>0, a2+2aNa>0, f(x)有三个零点，则 解得0<a<4, fa)<0, a2-2ava<0. …(8分) 当0<a<4时，a+4>√a, 且f(a+4)=(a+4)3-3a(a+4)+a2=(a+4)(a2+5a+16)+a2>0, 所以f(x)在(Na,a+4)上有唯一一个零点， -2a<-Va,g(-2Va)=-2ava+a=ava(Va-2)<0, 所以f(x)在(-2√a,-√a)上有唯一一个零点 又f(x)在(-√a,√a)上有唯一一个零点，所以f(x)有三个零点， 综上可知a的取值范围为(0,4). …(10分) (ii)证明：设f(x)=x3-3ar+a2=(x-x)x-2(x-x), 则f0)=a2=-xx3=1. 又0<a<4,所以a=1. …(11分) 此时f(-2)=-1<0,f(-1)=3>0f①)=-1<0，f(2)=3>0, 方程X2-3x+1=0的三个根均在(-2,2)内，…(12分) 数学参考答案·第8页（共9页） 口■口■□■■ 方程-3+10变形为分34周 <0< 2 则由三倍角公式sin30=3sin0-4sin'0= 21 因为30∈ 3π 3π 2 所以30=-7及，弧，0=-7西，，弧 6'66 18'18'18 4440400444…(4分） 因为<名<，所以无=-2sin7瓜， 07g考=2sin =2sin元， π 18 18 …(15分) 所以店-=4sm得46mg-2-m引-2-写 =2cos 7-2cos=-2sim-2si 7π 9 =x-x3- ……(17分) 9 18 18 数学参考答案·第9页（共9页）