2024-2025学年人教A版2019高一数学必修1第一学期第二章2.2基本不等式

人教A版高一数学必修1第一学期第二章2.2基本不等式 第二章　一元二次函数、方程和不等式 2.2基本不等式 核心素养目标 1.数学抽象：理解基本不等式的内容及证明． 2.直观想象：能应用基本不等式解决比较大小、证明不等式等问题． 3.逻辑推理：熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题． 4.数学运算：会用基本不等式求解实际应用题． 教学目标 教学重点：熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题 教学难点：会用基本不等式求解实际应用题． 如图，这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标．颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。 古代数学家 赵爽 勾股弦图 情境导入 情境导入 思考：这会标中含有怎样的几何图形？ 思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？ 5 问1：在正方形ABCD中,设AF=a,BF=b, 则AB=　　　则正方形的面积为S=　　　。 问2：Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三角形，它们的面积总和是 =——— 问3：观察图形S与 有什么样的大小关系？ 易得，s > ,即 A D C B H G F E 问4：那么它们有相等的情况吗？ 何时相等？ 知识讲解 A D B C E F G H b a A B C D E(FGH) a b 当 时 知识讲解 知识讲解 问5：当a,b为任意实数时， 还成立吗？ 结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有 当且仅当a=b时，等号成立 此不等式称为重要不等式 形的角度 数的角度 重要不等式： 基本不等式： （当且仅当a=b时，取“=”号） （作差法） 你能给出不等式 的证明吗？ 证明：（作差法） 知识讲解 问题1:如果当 用 去替换 中的 ,能得到什么结论? 替换后得到： (a>0,b>0) 知识讲解 2.代数意义：两个正数的几何平均数小于等于算术平均数 （当且仅当a=b时，等号成立） 1.思考:如果用 去替换 中的 , 能得到什么结论? 算术平均数 几何平均数 基本不等式 3. 代数方法如何证明？ 4.从几何上如何解释？ 知识讲解 证明:要证 只要证 ( ) ① ② 要证②，只要证 ( ) ③ 要证③，只要证（ － ) ④ 显然: 是成立的,当且仅当 时 ④ ④ 中的等号成立. 证明:当 时, . 分析法 代数方法： 知识讲解 o a b A B P Q 如图,AB是圆o的直径，Q是AB上任一点，AQ=a,BQ=b,过点Q作垂直于AB的弦PQ，连AP,BP, 则半弦PQ=____,半径AO=_____ 几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长 你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? 几何方法： 知识讲解 重要不等式： 基本不等式 基本不等式： 我们把 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数； 文字叙述：两个正数的算术平均数不小于它们 的几何平均数. 知识讲解 15 利用基本不等式求最值 积为定，和最小 和为定，积最大 ①各项皆为正数； ②和或积为定值； ③注意等号成立的条件. 利用基本不等式求最值 注意以下三点 一“正” 二“定” 三“相等” 整体消元 知识讲解 三、应用 当两正数积为定值时，求其和的最小值 练习2:若 求 的最小值. 例1、（1）若 求 的最小值. ( 2 ) 若 求 的最大值. 练习1:若 求 的最小值. 知识讲解 C 1．(教材改编)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　) A．80 B．77 C．81 D．82 解析　　∵x>0，y>0， 当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81. 解析答案 1 2 3 4 5 知识点运用 知识讲解 D a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥8，选项D成立． 知识讲解 C 解析　　当x>2时，x－2>0， 当且仅当x－2＝(x>2)， 即x＝3时取等号 即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3，选C. 知识讲解 4．(教材改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________． 25 m2 知识讲解 5．(教材改编)已知x，y∈R＋，且x＋4y＝1，则xy的最大值为___． 知识讲解 小结 1、两个不等式 重要不等式 基本不等式 形式 适用范围 等号成立的条件 2、利用基本不等式求最值需要满足三个条件： 一正二定三相等 3.求最值： （1）若积ab等于定值P,则当a=b时和a+b有最小值 （2）若和a+b等于定值S，则当a=b时积ab有最大值 . 小结 思考：已知正数x、y； (1) 若xy=100，则x+y的最小值为 (2) 若x+y=18，则xy的最大值 即xy≤()2＝81， ∴≥， eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(a＋b,ab)＝eq \f(4,ab)≥1，选项B不成立； 2．若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　) A.eq \f(1,ab)≤eq \f(1,4) B.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≤1 C.eq \r(ab)≥2 D．a2＋b2≥8 解析　　4＝a＋b≥2eq \r(ab)(当且仅当a＝b时，等号成立)，即eq \r(ab)≤2，ab≤4，eq \f(1,ab)≥eq \f(1,4)，选项A，C不成立； 3．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　) A．1＋ B．1＋ C．3 D．4 f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4， 当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25. 解析　　设矩形的一边为x m，则另一边为eq \f(1,2)×(20－2x)＝(10－x)m， ∴y＝x(10－x)≤[eq \f(x＋10－x,2)]2＝25， 当且仅当x＝4y＝eq \f(1,2)，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2),y＝\f(1,8)))时， (xy)max＝eq \f(1,16). eq \f(1,16) 解析　　1＝x＋4y≥2eq \r(4xy)＝4eq \r(xy)， ∴xy≤(eq \f(1,4))2＝eq \f(1,16)， $$