2.3.1 乘方（第1课时 有理数乘方的意义及运算）（教学设计）-【上好课】七年级数学上册同步高效课堂（人教版2024）

2.3.1 乘方（第1课时） 教学设计 一、内容和内容解析 1.内容 本节课是人教版（2024）《义务教育教科书•数学》七年级上册（以下统称“教材”）第二章“有理数的运算”2.3有理数的乘方第1课时，内容包括有理数乘方的意义、符号法则及运算. 2.内容解析 有理数乘方的意义，教材是先给出计算正方形面积、正方体体积等实际问题，利用求几个相同乘数的乘法运算，再结合相同乘数是负数等情况给出的，体现了从具体到抽象、从特殊到一般的思想.之后给出了有理数乘方的写法、读法，及底数、指数、幂等相关概念.接着根据有理数乘法法则，探究讨论了有理数乘方运算的符号法则与相关性质.最后给出了利用计算器进行有理数乘方运算的案例. 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：有理数乘方的意义及其运算． 二、目标和目标解析 1.目标 （1）理解有理数乘方的意义，了解幂、底数、指数等相关概念. （2）掌握有理数乘方的符号法则及相关性质，能够正确地进行有理数的乘方运算. 2.目标解析 （1）有理数的乘方是利用有理数的乘法来定义的. 将写成an的表达式，前者是n个有理数a相乘，是乘法运算，后者是有理数乘方的形式，是乘方运算.在an中，a叫作底数，n叫作指数，an的结果，即n个有理数a相乘的结果叫作幂.所以，有理数乘方及其相关概念是有理数乘法运算及其相关概念的自然拓展. （2）有理数的乘方像有理数加、减、乘、除法一样，也是一种运算，其运算的符号法则及相关性质完全依据相同乘数的有理数乘法法则获得.初学时，应强调二者之间的关系，用有理数乘法法则探究学习有理数乘方运算.待学生熟悉有理数乘方运算法则及其相关性质后，应该逐步丢掉这根拐杖. 三、教学问题诊断分析 有理数的乘方是在学生学习有理数的加、减、乘、除法运算的基础上来学习的，它既是有理数乘法的推广与延续，又是后面继续学习有理数混合运算、科学记数法和开方的基础．在小学里，学生掌握的数的平方与立方只是在正数的范围内，现在则扩充到了有理数的范围．应当注意，乘方也是一种运算，是继加、减、乘、除法运算之后学习的第五种运算，因此掌握好本节课的内容能够进一步加深学生对有理数的运算的认识，并且将为学生今后学习数的开方打下坚实的基础． 有理数的乘方是利用乘法来定义的，因此，可以参照乘法运算的方法进行乘方运算，但学生在探究过程中容易忽视由有理数乘法的符号法则得出有理数乘方的符号法则，有理数的乘方运算与加、减、乘、除法运算步骤一样，都是先确定符号，再计算绝对值． 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：有理数乘方符号法则及相关性质的理解与应用. 四、教学过程设计 （一）新知探究 师生活动：在数学和实际问题中，经常会遇到一种特殊形式的乘法运算，其中的各个数都相同.下面就来学习这种乘法运算. 问题1：做一做： 1. 边长为a的正方形的面积为 ； 2. 棱长为a的正方体的体积为 ； 师生活动：2×2，2×2×2都是相同乘数的乘法. 为了简便，我们将它们分别记作22，23. 22读作“2的平方”（或2的2次方），23读作“2的立方”（或2的3次方）. 同样地，(－2)×(－2)×(－2)×(－2)记作(－2)4，读作“－2的4次方”. 追问：(－2)4与－24相等吗？为什么？ 归纳总结：一般地，n个相同的乘数a相乘，即，记作an，读作“a的n次方”. 师：对于an中a的，不仅可以取正数，还可以取0和负数，也就是说a可以取任意有理数，板书课题. 这种求n个相同乘数的积的运算叫作乘方，乘方的结果叫作幂. a叫作底数，n叫作指数，an读作a的n次幂（或a的n次方）. 教师引导学生注意：一个数可以看作这个数本身的一次方，例如5就是51，指数1通常省略不写.同时比较已经学习过的几种运算方法结果的不同称呼： 【设计意图】通过对乘方的概念及意义的探索，使学生理解乘方的意义，能和前面已经学习过的几种运算作比较. （二）针对训练 1. 把下列乘法式子写成乘方的形式： （1）1×1×1×1×1×1×1=_______； （2）3×3×3×3×3=_______； （3）(－3)×(－3)×(－3)×(－3)=______； （4） 答案：（1）17；（2）35；（3）(－3)4；（4）. 2. 把下列乘方写成乘法的形式： （1）(－9)3= __________________； （2）=___________； （3）(a－b)2= ___________ ； 答案：（1）(－0.9)×(－0.9)×(－0.9)；（2）；（3）(a－b) (a－b). 3. 填空： （1）(－5)2的底数是_____，指数是_____，(－5)2表示2个_____相乘，读作_____的2次方，也读作－5的_____. （2）表示 个相乘，读作的 次方，也读作的 次幂，其中叫作 ，6叫作 . 答案：（1）－5；2；－5；－5；平方；（2）6；6；6；底数；指数. 4. 判断下列各题是否正确： （1）23=2×3 ( ) （2）2+2+2=23 ( ) （3）23=2×2×2 ( ) （4）－24=(－2)×(－2)×(－2)×(－2) ( ) 答案：（1）×；（2）×；（3）√；（4）×. 【设计意图】学生理解乘方的意义，并在理解的基础上进行乘方运算. （三）典例分析 例1：计算： （1）(－4)3； （2）(－2)4； （3）． 解：（1）(－4)3 =(－4)×(－4)×(－4)=－64； （2）(－2)4 =(－2)×(－2)×(－2)×(－2)=16； （3） 师生活动：学生进行交流讨论，尝试解决，请学生板演，然后师生共同纠错，同时引导学生每一步计算的依据. 【设计意图】通过例题的学习，对有理数乘方的幂、底数、指数的概念及其表示有更进一步的理解，及时巩固所学知识，并且通过学生板演让学生自己发现问题，尝试解决问题，同时也让学生知道乘方运算的依据. （四）新知探究 问题2：（1）－32与(－3)2结果相等吗？ 追问：与结果相等吗？ 师生提示：①负数的乘方，在书写时一定要把整个负数（连同符号），用小括号括起来，这样便于辨认底数；②分数的乘方，在书写时一定要把整个分数用小括号括起来. 问题3：不计算下列各式，你能确定其结果的符号吗？从计算结果中，你能得到什么规律？ （1）(－2)51； （2）(－2)50； （3）250； （4）251； （5）(－1)2024； （6）(－1)2023； （7）02024； （8）12024． 师生活动：教师引导学生共同归纳： （1）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数； （2）正数的任何次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）1的任何次幂等于1； （5）－1的偶次幂等于1；－1的奇次幂是－1． 【针对训练】 1. 回答下列问题： （1）23中底数是 ，指数是 ，幂是 . （2）中底数是 ，指数是 ，幂是 . （3）(－5)4中底数是 ，指数是 ，幂是 . （4）－54中底数是 ，指数是 ，结果是 . 2. 填空： 310的意义是 ，310 = . 3. 判断正误：（对的画“√”，错的画“×”） （1）32 =3×2=6 ( ) （2）(－2)3＝(－3)2 ( ) （3）－32=(－3)2 ( ) （4）－24=(－2)×(－2)×(－2)×(－2) 　 ( ) （5）= ( ) 答案：1.（1）2；3；8；（2）；2；；（3）－5；4；625；（4）5；4；－625. 2. 10个3相乘；59049. 3.（1）×；（2）×；（3）×；（4）×；（5）×. （五）典例分析 例2：用计算器计算(－8)5和(－3)6. 师生活动：要求同桌之间互相交流，不会的同学要向会使用计算器的同学请教. 【新知应用】 问题4：珠穆朗玛峰是世界最高峰，它的海拔是8848.86米. 把一张足够大的厚度为0.1毫米的纸，连续对折30次的厚度是多少？ 0.1×230= （mm）= （m）. 计算器计算：230=1073741824 0.1×230 =107374182.4（mm）=107374（m）. 追问：这张纸对折30次后，厚度超过珠穆朗玛峰，是真的吗？ （六）当堂巩固 1. 填空： （1）－(－3)2= ； （2）－32= ； （3）(－5)3= ； （4）0.13= ； （5）(－1)9= ； （6）(－1)12= ； （7）(－1)2n= ； （8）(－1)2n+1= ； （9）(－1)n= . 1.（1）－9；（2）－9；（3）－125；（4）0.001；（5）－1；（6）1；（7）1；（8）－1；（9）. 2. 在－|－2|3，－(－2)3，(－2)3，－23 中，最大的数是（ B ） A. －|－2|3 B. －(－2)3 C. (－2)3 D. －23 3. 对任意实数a，下列各式不一定成立的是（ B ） A. a2=(－a)2 B. a3=(－a)3 C. |a|=|－a| D. a2≥0 【设计意图】通过巩固练习，使学生加深对乘方意义的理解与掌握. （七）能力提升 1. 若24＋24＝2a，35＋35＋35＝3b，则a＋b＝ ． 解：∵24＋24＝2a，35＋35＋35＝3b， ∴2a＝2×24＝25，3b＝3×35＝36． ∴a＝5，b＝6． ∴a＋b＝5＋6＝11． 故答案为：11． 2. 已知实数a，b满足(a－2)2＋|b＋1|＝0，则ba＝ ． 解：∵(a－2)2＋|b＋1|＝0，(a－2)2≥0，|b＋1|≥0， ∴a－2＝0，b＋1＝0， ∴a＝2，b＝－1， 则ba＝(－1)2＝1， 故答案为：1． 【设计意图】使学生加深对有理数乘方的深层次理解与掌握，同时感受乘方的非负性的应用. （八）感受中考 1．（2024•江西）计算： ． 【解答】解：(－1)2＝(－1)×(－1)＝1， 故答案为：1． 2．（2024•河南）计算()3的结果是（ ） A．a5 B．a6 C．aa＋3 D．a3a 【解答】解：原式＝(aa)3＝a3a， 故选：D． 3．（2024•资阳）若(a－1)2＋|b－2|＝0，则ab＝ ． 【解答】解：， ，， ，， ， 故答案为：2． 【设计意图】通过对最近几年的中考试题的训练，使学生提前感受到中考考什么，进一步了解考点. （九）课堂小结 1. 本节课学习的主要内容有哪些？这些内容体现了哪些数学思想方法？ 2. 有理数的乘方运算需要注意哪些事项？其运算步骤是什么？ 1. 求几个相同乘数的积的运算，叫作乘方. 2. 乘方的符号法则： （1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （2）正数的任何次幂都是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0. 【设计意图】通过小结，使学生对有理数的乘方的意义及初步应用有一个系统的认识． （十）布置作业 1. P56：习题2.3：第1、2、7题； 2. P57：习题2.3：第12题； 3. 课外思考： （1）平方等于它本身的数是 ， 立方等于它本身的数是 . （2）(+1)2024－(－1)2025 = . 五、教学反思 对于有理数乘方的意义是这样突破的：求n个相同乘数a的积的运算叫作乘方，记作an，乘方运算的结果叫作幂，a叫作底数，n叫作指数，对此应从以下几个方面加深理解.①(－2)3与－23意义不同，(－2)3表示3个(－2)相乘，底数是－2，指数是3；而－23表示23的相反数，底数是2，指数是3.②与意义不同，表示3个相乘，底数是，指数是3；而表示23除以3的商的相反数.③负数或分数的乘方，在书写时一定要把整个负数或分数（连同符号）用小括号括起来，防止因负号处理不慎出现错误，或对乘方运算中底数的区分和辨认产生困难. 对于有理数乘方运算法则是这样突破的：①有理数乘方运算法则是利用有理数乘法运算法则探究得到的. 有理数乘方的符号法则和相关性质是：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.正数的任何次幂都是正数.0的任何正整数次幂都是0.任何数的偶次幂都是非负数.1的任何次幂都是1. －1的偶次幂是1，－1的奇次幂是－1.这些法则与性质，需要在理解的基础上逐步掌握，并能熟练地应用.②与有理数的加、减、乘、除法运算步骤一样，有理数的乘方运算也是先确定幂（运算结果）的符号，再计算幂（运算结果）的绝对值. 教学时，应重视类比方法的使用.需要特别注意，有理数乘方运算中，所有的指数都是正整数（正偶数、正奇数），指数暂时还没有涉及负整数与零.③一个数可以看作这个数本身的一次方，这是一种规定.这种规定可以这样理解：指数就是指相乘的乘数的个数，指数是1，就是指只有一个乘数.此外需要注意，当底数为带分数时，应先化带分数为假分数，再按乘方的意义进行计算.例如，，而应为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$