12.3角的平分线的性质 课件2024-2025学年人教版数学八年级上册

第12章　全等三角形 12.3　角的平分线的性质 第1课时　角的平分线的性质 1. 作已知角的平分线 作已知角的平分线的方法有很多，主要有折叠法和尺规 作图法， 其中尺规作图法的依据是“SSS”和全等三角形对应角 相等的性质. 用尺规作已知角的平分线如图所示. 知识导航 2. 角的平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的 相等. 符号语言： 如图，∵ OC 平分∠ AOB ，点 P 在 OC 上， PD ⊥ OA ， PE ⊥ OB ， ∴ PD ＝ PE . 注意：（1）不能直接得到 OE ＝ OD ； 距离　 （2）角是一个轴对称图形，对称轴是角平分线所在的 直线. 知识导航 3. 证明几何命题的一般步骤 （1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求 证； （3）根据题意，写出证明的 ⁠. 过程　 知识导航 4. 角平分线基本图形及结论 已知：如图， AD 平分∠ BAC . 结论： ＝ . 提示：利用角平分的性质及等积法即可得到结论. 知识导航 题型一　角平分线的作法及性质 如图， OP 平分∠ AOB ， PA ⊥ OA ， PB ⊥ OB ，垂 足分别为 A ， B . 下列结论中不一定成立的有（　A　） ① PA ＝ PB ；② PO 平分∠ APB ； ③ OA ＝ OB ；④ AB ＝ OP . A. 1个 B. 2个 A C. 3个 D. 4个 典例导思 如图，∠ EAC 是△ABC 的外角， AB ＝ AC . （1）请你用尺规作图的方法作∠ EAC 的平分线 AD ； （不写作法，保留作图痕迹） 解：（1）如答案图， AD 即 为所求作. （答案图） 典例导思 解：（2） AD ∥ BC . 理由如下： ∵ AD 平分∠ EAC ， ∴∠ EAD ＝∠ CAD . ∵ AB ＝ AC ， ∴∠ B ＝∠ C . 又∵∠ EAC ＝∠ B ＋∠ C ， ∴∠ DAC ＝∠ C ， ∴ AD ∥ BC . （2）判断 AD 与 BC 的位置关系，并说明理由. 典例导思 1. 如图， AD 是△ABC 的角平分线，从点 D 向 AB ， AC 两边作垂线段，垂足分别为 E ， F ，那么下列结论中错 误的是（　C　） A. DE ＝ DF B. AE ＝ AF C. BD ＝ CD D. ∠ ADE ＝∠ ADF （第1题） C 典例导思 2. 如图，用直尺和圆规作一个已知角的角平分线，要说 明∠ AOC ＝∠ BOC ，需要证明△CON 和△COM 全等， 则这两个三角形全等的依据是 ⁠. （第2题） SSS　 典例导思 3. 如图， CD ⊥ AB ， BE ⊥ AC ，垂足分别为 D ， E ， BE ， CD 相交于点 O ，∠1＝∠2.求证： OB ＝ OC . （第3题） 证明：∵∠1＝∠2，∴ AO 平分∠ CAB . 又∵ OE ⊥ AC ， OD ⊥ AB ，∴ OE ＝ OD . 在△ COE 和△ BOD 中， ​ ∴△ COE ≌△ BOD （ASA），∴ OC ＝ OB . 典例导思 题型二　利用角平分线的性质构造辅助线进行推理 （1）如图， AB ⊥ BC ， DC ⊥ BC ， AE 平分 ∠ BAD ， DE 平分∠ ADC ，以下结论：① DE ＝ BE ； ②点 E 是 BC 的中点；③∠ AED ＝90°；④ AD ＝ AB ＋ CD . 正确的是（　D　） D A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 典例导思 （2）如图，在△ABE 中， D ， C 分别在 AE ， BE 上， 且 CD ＝ CB ， AC 平分∠ EAB ， CH ⊥ AB 于点 H . ①求证：∠ ADC ＋∠ B ＝180°； （2）①证明：如答案图，过点 C 作 CM ⊥ DE ，垂足为 M . ∵ AC 平分∠ EAB ， CH ⊥ AB ， CM ⊥ DE ， （答案图） 典例导思 ∴Rt△ DMC ≌Rt△ BHC （HL）， ∴ DM ＝ BH ，∠ CDM ＝∠ B . ∵∠ CDM ＋∠ ADC ＝180°，∴∠ ADC ＋∠ B ＝180°. ∴ CM ＝ CH ，∠ CMA ＝∠ CHB ＝90°. 在Rt△ DMC 和Rt△ BHC 中， 典例导思 ②若 AD ＝3， AB ＝8，求 AH 的长. ②解：在Rt△ AMC 和Rt△ AHC 中， ∴Rt△ AMC ≌Rt△ AHC （HL），∴ AM ＝ AH ， 设 BH ＝ DM ＝ x ，则 AH ＝8－ x ， AM ＝3＋ x ， ∴8－ x ＝3＋ x ，解得 x ＝2.5， ∴ AH ＝8－2.5＝5.5. 典例导思 [方法点拨] 若题目中存在角平分线，可添加角平分线上 的点到角两边的垂线段，根据角平分线的性质定理可直 接获得等量条件. 典例导思 4. （1）如图，在△ABC 中， CD 是边 AB 上的高， BE 平 分∠ ABC ，交 CD 于点 E ， BC ＝10， DE ＝3，则△ BCE 的面积为（　B　） A. 16 B. 15 [第4（1）题] B C. 14 D. 13 典例导思 （2）如图，在△ABC 中， BD 是∠ ABC 的平分线， DE ⊥ AB 于点 E . 若 S△ ABC ＝42， AB ＝13， BC ＝8，则 DE 的长为 ⁠. [第4（2）题] 4　 典例导思 5. 如图，在△ABC 中，∠ B ＝60°，∠ BAC ，∠ ACB 的 平分线 AE ， CF 相交于点 O . 求证： OE ＝ OF . （第5题） 证明：如图，过点 O 作 OH ⊥ AC 于点 H ， OM ⊥ BC 于点 M ， ON ⊥ AB 于点 N ，连接 OB . ∵ AE 平分∠ BAC ， CF 平分∠ ACB ， ∴ OH ＝ ON ， OH ＝ OM ，∴ OM ＝ ON . 在Rt△ BON 和Rt△ BOM 中， 典例导思 ∴Rt△ BON ≌Rt△ BOM （HL）， ∴∠ NBO ＝∠ MBO . 又∵∠ OEM ＝∠ ABC ＋ ∠ BAC ＝60°＋ ∠ BAC ， ∠ OFN ＝∠ BAC ＋ ∠ ACB ＝ （∠ BAC ＋∠ ACB ） ＋ ∠ BAC ＝ ×（180°－∠ ABC ）＋ ∠ BAC ＝60°＋ ∠ BAC ， 典例导思 ∴∠ OEM ＝∠ OFN . 在△ ONF 和△ OME 中， ​ ∴△ ONF ≌△ OME （AAS），∴ OE ＝ OF . 典例导思 $$第12章　全等三角形 12.3　角的平分线的性质 第2课时　角的平分线的判定 1. 角的平分线的判定 角的 到角的两边的距离 ⁠的点在角的平 分线上. 符号语言： 如图，在∠ AOB 中， ∵ PC ⊥ OA ， PD ⊥ OB ， PC ＝ PD ， ∴点 P 在∠ AOB 的平分线 OE 上，即 OP 平分∠ AOB . 内部　 相等　 知识导航 2. 三角形的角平分线的特点 三角形的三条角平分线相交于一点，这一点到三角形的 三边的距离相等. 知识导航 题型一　角的平分线的判定 （1）如图1，在△ABC 中， P 为 BC 上一点， PM ⊥ AB ，垂足为 M ， PN ⊥ AC ，垂足为 N ，∠ CAP ＝ ∠ APQ ， PM ＝ PN ，下面的结论：① AN ＝ AM ；② QP ∥ AM ；③△BMP ≌△ CNP . 其中正确的是（　A　） A A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 图1 典例导思 （2）如图2， BD ＝ CD ， BF ⊥ AC 于点 F ， CE ⊥ AB 于 点 E . 求证：点 D 在∠ BAC 的平分线上. 图2 证明：∵ BF ⊥ AC ， CE ⊥ AB ， ∴∠ BED ＝∠ CFD ＝90°. 在△ BDE 和△ CDF 中， ∴△ BDE ≌△ CDF （AAS），∴ DE ＝ DF ， ∴点 D 在∠ BAC 的平分线上. 典例导思 如图， AB ＝ AC ， AD ＝ AE ，∠ BAC ＝∠ DAE ， 连接 BD ， CE 交于点 O ，连接 OA . 求证： OA 平分 ∠ BOE . 证明：如答案图，过点 A 作 AM ⊥ BD ， AN ⊥ CE ，垂足分别为 M ， N . （答案图） ∵∠ BAC ＝∠ DAE ， ∴∠ BAC ＋∠ CAD ＝ ∠ DAE ＋∠ CAD ， 典例导思 即∠ BAD ＝∠ CAE . 在△ BAD 和△ CAE 中， ∴△ BAD ≌△ CAE （SAS），∴∠ B ＝∠ C . ∵ AM ⊥ BD ， AN ⊥ CE ，∴∠ BMA ＝∠ CNA ＝90°. 在△ ABM 和△ ACN 中， 典例导思 ∴△ ABM ≌△ ACN （AAS），∴ AM ＝ AN . 又∵ AM ⊥ BD ， AN ⊥ CE ，∴ OA 平分∠ BOE . [方法点拨] 角平分线的判定方法有两种思路：①由定义 证角相等；②由判定定理证垂线段相等. 典例导思 1. 如图，已知 DB ⊥ AE 于点 B ， DC ⊥ AF 于点 C ，且 DB ＝ DC ，∠ BAC ＝40°，∠ ADG ＝130°，则∠ CDG 的 度数为（　D　） A. 30° B. 40° （第1题） D C. 50° D. 60° 典例导思 2. 如图， O 是△ABC 内一点，且点 O 到 AB ， BC ， CA 三边的距离 OF ， OD ， OE 相等.若∠ BAC ＝70°，则 ∠ BOC 的度数为 ⁠. （第2题） 125°　 典例导思 3. 如图， CA ＝ CB ，点 E 在 BC 上，且 CE ＝ CD ， ∠ ACB ＝∠ DCB ＝90°， AE 的延长线交 BD 于点 F ， 连接 CF . 求证： （1） AE ＝ BD ； 证明：（1）在△ ACE 与△ BCD 中， ​ ∴△ ACE ≌△ BCD （SAS），∴ AE ＝ BD . （第3题） 典例导思 （2） FC 平分∠ AFD . 证明：（2）如图，过点 C 作 CG ⊥ AF ， CH ⊥ BD ，垂足分别为 G ， H . 由（1）知，△ ACE ≌△ BCD ， ∴ AE ＝ BD ， S△ ACE ＝ S△ BCD ， 即 AE · CG ＝ BD · CH ，∴ CG ＝ CH . 又∵ CG ⊥ AF ， CH ⊥ DF ，∴ FC 平 分∠ AFD . （第3题） 典例导思 题型二　三角形的角平分线及其实际应用 如图，三条公路两两相交于 A ， B ， C 三点，现计 划修建一个超市，要求这个超市到三条公路的距离相 等，可供选择的地方有多少处？你能在图中画出来吗？ 典例导思 ②分别作出△ ABC 两外角的平分线，其交点分别为 O2， O3， O4. 综上所述，满足条件的修建点有四处，即点 O1， O2， O3， O4所在的地方. 解：如答案图. ①作出△ ABC 两内角的平分线，其交点为 O1； （答案图） 典例导思 [知识总结] 三角形两个外角平分线的交点到三角形三边 所在直线的距离也是相等的. 典例导思 4. 如图， AD ， CE 为△ABC 的角平分线且交于点 O ， ∠ DAC ＝30°，∠ ECA ＝35°，则∠ ABO 等于（　A　） A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° （第4题） A 典例导思 5. 如图，有一块空闲的三角形土地，其三边长分别为 30 m，40 m，50 m，现在要把它分成面积比为3∶4∶5的三部分，分别种植不同的花，请你设计一种方案，并简要说明理由. （第5题） 典例导思 解：如答案图，将△ ABC 分为△ ABP ，△ ACP ，△ BCP 三个小三角形，即可符合面积比为3∶4∶5. （答案图） 典例导思 $$