13.4　课题学习 最短路径问题 课件 2024-2025学年人教版八年级数学上册

第13章　轴对称 13.4　课题学习 最短路径问题 1. 最短路径问题 （1）两点之间， 最短； （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段 中， 最短. 2. 图形的轴对称及平移的性质 （1）连接任意一对对称点所得的线段被对称轴 ⁠ ⁠； （2）图形的平移过程中，对应线段之间的关系是 ⁠ ⁠. 线段　 垂线段　 垂直 平分　 平 行（或在一条直线上）且相等　 知识导航 3. 模型解读 模型一：两定一动型 类型1：如图1，在定直线 l 上找一个动点 P ，使动点 P 到 异侧两个定点 A 与 B 的距离之和最小，即 PA ＋ PB 最小. 作法：连接 AB ，与定直线 l 的交点 Q 即为所要寻找的 点，即当动点 P 运动到点 Q 处， PA ＋ PB 最小，且最小值等于 AB . 原理：两点之间，线段最短. 图1 知识导航 类型2：如图2，在定直线 l 上找一个动点 P ，使动点 P 到 同侧两个定点 A 与 B 的距离之和最小，即 PA ＋ PB 的和 最小. 作法：作定点 B 关于定直线 l 的对称点 C ， 连接 AC ，与定直线 l 的交点 Q 即为所要 寻找的点，即当动点 P 运动到点 Q 处， PA ＋ PB 最小，且最小值等于 AC . 原理：两点之间，线段最短. 图2 知识导航 模型二：两动一定型 类型3：如图3，在∠ MON 的内部有一点 A ，在 OM 上找一点 B ，在 ON 上找一点 C ，使得△ ABC 的周长最小. 作法：作点 A 关于 OM 的对称点A'，作点 A 关于 ON 的对称点 A ″，连接A'A″，与 OM 交于点 B ，与 ON 交于点 C ，连接 AB ， AC ，△ ABC 即为所求. 图3 知识导航 模型三：两定两动型 类型4：如图4，在∠ MON 的内部有 A ， B 两点，在 OM 上找一点 C ，在 ON 上找一点 D ，使得四边形 ABDC 的 周长最小. 作法：作点 A 关于 OM 的对称点A'，作点 B 关于 ON 的对称点B'，连接A'B'，与 OM 交于点 C ，与 ON 交于点 D ，连接 AC ， BD ， AB ，四边形 ABDC 即为所求. 图4 知识导航 类型5：如图5，已知 A ， B 是两个定点，在定直线 l 上 找两个动点 M 与 N ，且 MN 长度等于定长 d （动点 M 位 于动点 N 左侧），使 AM ＋ MN ＋ NB 的值最小. 提示：存在定长的动点问题一定要考虑平移. 图5 知识导航 作法一：将点 A 向右平移 d 个单位长度得到点 A '，作点 A '关于定直线 l 的对称点 A ″，连接 A ″ B ，交定直线 l 于 点 N ，将点 N 向左平移 d 个单位长度，得到点 M . 作法二：作点 A 关于定直线 l 的对称点 A1，将点 A1向右 平移 d 个单位长度得到点 A2，连接 A2 B ，交定直线 l 于 点 N ，将点 N 向左平移 d 个单位长度，得到点 M . 知识导航 类型6：（造桥选址）如图6，直线 l1∥ l2，点 A ， B 分别 在直线 l1， l2的两侧.在直线 l1上找一点 C ，直线 l2上找一 点 D ，使得 CD ⊥ l2，且 AC ＋ BD ＋ CD 的值最小. 图6 作法：将点 A 沿 CD 方向向下平移 CD 长度至点 A '，连接 A ' B ，交 l2于点 D ，过点 D 作 DC ⊥ l2，交 l1于点 C ，连接 AC ，则桥 CD 即为所求，此时最小值为 A ' B ＋ CD . 知识导航 模型四：垂线段最短型 类型7：如图7，在∠ MON 的内部有一点 A ，在 OM 上找一点 B ，在 ON 上找一点 C ，使得 AB ＋ BC 的值最小. 作法：作点 A 关于 OM 的对称点A'，过点A'作A'C⊥ ON ，交 OM 于点 B ，则点 B ， C 即为所求. 图7 知识导航 类型8：如图8，在定直线 l 上找一个动点 P ，使动点 P 到 两个定点 A 与 B 的距离之差最小，即 最小. 作法：连接 AB ，作 AB 的中垂线，与直线 l 的交点 P 即 为所求点，此时 ＝0. 图8 知识导航 模型五：线段差最大问题 类型9：如图9，在定直线 l 上找一个动点 P ，使动点 P 到同侧两个定点 A 与 B 的距离之差最大，即 最大. 作法：延长 BA 交直线 l 于点 P ，点 P 即为 所求，即 B ， A ， P 三点共线时，最大值 为 AB 的长度. 图9 知识导航 类型10：如图10，在定直线 l 上找一个动点 P ，使动点 P 到异侧两个定点 A 与 B 的距离之差最大，即 最大. 作法：作点 B 关于 l 的对称点B'，连接 AB'，交直线 l 于点 P ，则点 P 即为所求， 最大值为AB'的长度. 图10 知识导航 题型一　将军饮马——两定一动求线段和的最小值 如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AC ＝ BC ， 点 C 在直线 MN 上，∠ BCN ＝30°，点 P 为 MN 上一动 点，连接 AP ， BP . 当 AP ＋ BP 的值最小时，∠ CBP 的 度数为 ⁠. 15°　 典例导思 [分析]如答案图，作点 B 关于 MN 的对称点 D ，连接 AD 交 MN 于点 P ，连接 BP ， CD . 由对称性可知， BC ＝ CD ，∠ CBP ＝∠ CDP ，∠ BCN ＝∠ DCN ，由此可以 判断出△ BCD 的形状，进而求得∠ ACD 的度数，由 AC ＝ BC ＝ CD 可求得∠ CDP 的度数，即∠ CBP 的度数. （答案图） 典例导思 1. 如图，在正方形 ABCD 中， E ， F 分别为 AD ， BC 的 中点， P 为对角线 BD 上的一个动点，则下列线段的长 等于 AP ＋ EP 最小值的是（　D　） A. AB B. DE C. BD D. AF （第1题） D 典例导思 题型二　将军饮马——两动一定求线段和的最小值 如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，∠ ABC ＝ 30°， AC ＝2，以 BC 为边向左作等边△ BCE ，点 D 为 AB 的中点，连接 CD ，点 P ， Q 分别为 CE ， CD 上的 动点. 典例导思 （1）求证：△ ADC 为等边三角形； （1）证明：∵在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝ 90°，∠ ABC ＝30°， AC ＝2，∴∠ BAC ＝ 60°， AB ＝2 AC ＝4. ∵点 D 为 AB 的中点， ∴ AD ＝ BD ＝ AB ＝2， ∴ AD ＝ AC ， ∴△ ADC 是等边三角形. 典例导思 （2）求 PD ＋ PQ ＋ QE 的最小值. （2）解：如答案图，连接 PA ， QB . ∵△ BCE 和△ ADC 都是等边三角形， ∴∠ BCE ＝60°，∠ ACD ＝60°， ∴∠ ACE ＝∠ ACB －∠ BCE ＝30° ＝ ∠ ACD ， ∴ CE 垂直平分 AD ，∴ PA ＝ PD . （答案图） 典例导思 同理可得， CD 垂直平分 BE ，∴ QB ＝ QE ， ∴ PD ＋ PQ ＋ QE ＝ PA ＋ PQ ＋ QB ， 由两点之间线段最短可知，当点 A ， P ， Q ， B 共线 时， PA ＋ PQ ＋ QB 取得最小值为 AB 的长， 故 PD ＋ PQ ＋ QE 的最小值为4. 典例导思 2. 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ＝10，△ ABC 的面积是 40， AD 是∠ BAC 的平分线.若 P ， Q 分别是 AD 和 AC 上 的动点，则 PC ＋ PQ 的最小值是 ⁠. （第2题） 8　 典例导思 3. 已知∠ AOB ＝30°，点 P 在∠ AOB 的内部， OP ＝4， OA 上有一点 M ， OB 上有一点 N ，当△ MNP 的周长取 最小值时，∠ MPN ＝ °，△ MNP 的周长 为 ⁠. （答案图） 120　 4　 提示：如答案图，作点 P 关于直线 OA 的对称点P'，作点 P 关于直线 OB 的对称点 P ″，连接P'P″，交 OA 于点 M ，交 OB 于点 N ，则此时△ MNP 的周长最小. 典例导思 题型三　将军饮马——两动两定求线段和的最小值 如图，点 A 在 y 轴上， G ， B 两点在 x 轴上，且 G （－3，0）， B （－2，0）， HC 与 GB 关于 y 轴对称， ∠ GAH ＝60°， P ， Q 分别是 AG ， AH 上的动点，则 BP ＋ PQ ＋ CQ 的最小值是（　B　） B A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 典例导思 [分析]如答案图，分别作 B ， C 关于 AG 和 AH 对称的点 B'，C'，连接 BP ， CQ ，B'P，C'Q， PQ ，得出 BP ＋ PQ ＋ CQ 的最小值为B'C'的长，再依据等边三角形的性 质和判定以及轴对称的性质分别求得B'P＋ PN 和C'Q＋ QN 的值即可求解. （答案图） 典例导思 4. 如图，角形铁架∠ MON 小于60°， A ， D 分别是 OM ， ON 上的点，为实际应用的需要，需在 ON 和 OM 上各找点 B ， C ，使 AB ＋ BC ＋ CD 最小，则应 如何找？ （第4题） 典例导思 解：如答案图，利用对称性“化折为直”，分别作出点 A ， D 关于 ON ， OM 的对称点A'，D'，连接A'D'分别与 ON ， OM 交于点 B ， C ，则 B ， C 两点即为所求的点. （答案图） 典例导思 题型四　将军饮马——线段差的最大值 如图所示， A ， B 两点在直线 l 的两侧，在 l 上找一 点 C ，使点 C 到点 A ， B 的距离之差最大，并说明理由. 典例导思 解：如答案图所示，以直线 l 为对称轴，作点 A 关于直 线 l 的对称点A'，A'B的连线交直线 l 于点 C ，则点 C 即 为所求.理由如下： 在直线 l 上任找一点C'（异于点 C ）， 连接 CA ， C ' A ， C ' A '， C ' B . ∵点 A ，A'关于直线 l 对称， ∴直线 l 为线段AA'的垂直平分线， 则有C'A＝C'A'， CA ＝CA'. （答案图） 典例导思 在△A'BC'中，C'A'－C'B＜A'B， ∴ C ' A － C ' B ＜ CA － CB . ∴ CA － CB ＝ CA '－ CB ＝ A ' B . 典例导思 5. 如图，在等边△ ABC 中， E 是 AC 边的中点， P 是 △ ABC 的中线 AD 上的动点，且 AB ＝6，则 BP － PE 的最大值是 ⁠. （第5题） 3　 典例导思 6. 如图，在正方形 ABCD 中， AB ＝8， AC 与 BD 交于点 O ， N 是 AO 的中点，点 M 在 BC 边上，且 BM ＝6， P 为 对角线 BD 上一点，则 PM － PN 的最大值为 ⁠. （第6题） 2　 典例导思 $$