13.3　等腰三角形 课件 2024—2025学年人教版数学八年级上册

第13章　轴对称 13.3　等腰三角形 13.3.1　等腰三角形　 第1课时　等腰三角形的性质 1. 等腰三角形的定义 有 相等的三角形叫做等腰三角形. 符号语言： 如图1，∵ AB ＝ AC ， ∴△ ABC 是等腰三角形. 两边　 注意：在等腰三角形中，相等的两边都叫做 ⁠，另 一边叫做 ，两腰的夹角叫做 ⁠，腰和底 边的夹角都叫做 ⁠. 腰　 底边　 顶角　 底角　 知识导航 2. 等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的两个底角相等 （简写成“等边对等角”）； 符号语言： 如图2，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， ∴∠ B ＝∠ C （等边对等角）. 知识导航 （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边 上的高相互重合（简写成“三线合一”）. 符号语言： 如图2，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， BD ＝ DC ， ∴ AD ⊥ BC ，∠ BAD ＝∠ CAD （三线合一）. 或在△ ABC 中， AB ＝ AC ， AD ⊥ BC ， ∴ BD ＝ DC ，∠ BAD ＝∠ CAD （三线合一）. 或在△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ BAD ＝∠ CAD ， ∴ BD ＝ DC ， AD ⊥ BC （三线合一）. 知识导航 （3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角 平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴. 知识导航 题型一　利用等腰三角形的性质进行角度计算或证明 （1）等腰三角形的一个外角为100°，那么它的底 角为（　C　） A. 50° B. 80° C. 50°或80° D. 无法确定 C 典例导思 （2）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人 提出来的，借助如图1所示的“三等分角仪”能三等分 任意角.如图2，这个三等分角仪由两根有槽的棒 OA ， OB 组成，两根棒在点 O 相连并可绕点 O 转动，点 C 固 定， OC ＝ CD ＝ DE ，点 D ， E 可在槽中滑动.若∠ BDE ＝75°，则∠ CDE 的度数是（　D　） D A. 60° B. 65° C. 75° D. 80° 典例导思 证明：∵ AE ＝ BE ，∴∠ EAB ＝∠ EBA . ∵ AB ∥ DC ， ∴∠ DEA ＝∠ EAB ，∠ CEB ＝∠ EBA . ∴∠ DEA ＝∠ CEB . ∵点 E 是 CD 的中点，∴ DE ＝ CE . 在△ ADE 和△ BCE 中，， ∴△ ADE ≌△ BCE （SAS）.∴∠ D ＝∠ C . （3）如图3，在四边形 ABCD 中， AB ∥ DC ，点 E 是 CD 的中点， AE ＝ BE . 求证：∠ D ＝∠ C . 图3 典例导思 [方法点拨] 当角的关系较多时，常设较小角为 x ，其他 角用含 x 的式子表示，然后观察图形，寻找隐含条件， 如三角形内角和为180°等来建立方程，从而得解. 典例导思 1. 如图，在△ ABC 中，点 D 为边 AC 上一点，且 AB ＝ DB ＝ DC ，∠ C ＝40°，则∠ ABD 的度数是（　A　） A. 20° B. 40° （第1题） A C. 60° D. 80° 典例导思 2. 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， D ， E 分别是 AC ， AB 上的点，且 BC ＝ BD ， AD ＝ DE ＝ EB ，则∠ A 的度 数为 ⁠. （第2题） 45°　 典例导思 3. 如图，在△ ABC 中，点 E 在 AB 上，连接 CE ，满足 AC ＝ CE ，线段 CD 交 AB 于点 F ，连接 AD . （1）若∠ DAF ＝∠ BCF ，∠ ACD ＝∠ BCE ，求证： AD ＝ BE ； （第3题） 典例导思 （1）证明：∵∠ D ＋∠ DAF ＝∠ BCF ＋∠ B ， ∠ DAF ＝∠ BCF ，∴∠ D ＝∠ B . 在△ ACD 和△ ECB 中， ​ ∴△ ACD ≌△ ECB （AAS）. ∴ AD ＝ BE . （第3题） 典例导思 （2）若∠ ACD ＝24°， EF ＝ CF ，求∠ BAC 的度数. （2）解：∵ AC ＝ CE ，∴∠ AEC ＝∠ BAC . ∵ EF ＝ CF ，∴∠ AEC ＝∠ ECF . ∴∠ AEC ＝∠ ECF ＝∠ BAC . 在△ ACE 中，∠ AEC ＋∠ BAC ＋∠ ACE ＝180°，即∠ AEC ＋∠ BAC ＋∠ ECF ＋ ∠ ACD ＝180°， ∴3∠ BAC ＋∠ ACD ＝180°，∴∠ BAC ＝52°. （第3题） 典例导思 题型二　利用等腰三角形的性质进行线段计算或证明 （1）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为 3cm，则该等腰三角形的底边长为 ⁠； 3cm　 典例导思 ①当12是腰长与腰长一半时， AC ＋ AC ＝12，解得 AC ＝8， ∴底边长＝9－ ×8＝5， 此时三边为8，8，5，能构成三角形； 解：根据题意， （2）在等腰△ ABC 中， AB ＝ AC ，一边上的中线 BD 将 这个三角形的周长分为12和9两个部分，则该等腰三角 形的底边长为多少？ 典例导思 ②当9是腰长与腰长一半时， AC ＋ AC ＝9，解得 AC ＝6， ∴底边长＝12－ ×6＝9， 此时三边为6，6，9，能构成三角形. ∴该等腰三角形的底边长为5或9. 典例导思 4. 如图，在等腰△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ A ＝36°，将 △ ABC 中的∠ A 沿 DE 向下翻折，使点 A 落在点 C 处.若 AE ＝ ，则 BC 的长是 　 　. （第4题） 　 典例导思 5. 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， D ， E 是 BC 边上的 点，且 BD ＝ CE ，求证： AD ＝ AE . （第5题） 证明：∵ AB ＝ AC ，∴∠ B ＝∠ C . 在△ ABD 和△ ACE 中， ∴△ ABD ≌△ ACE （SAS）， ∴ AD ＝ AE . 典例导思 题型三　利用“三线合一”作辅助线进行计 算或证明 已知：如图，在△ ABC 中， AB ＝2 AC ，∠1＝ ∠2， DA ＝ DB . 求证： DC ⊥ AC . 典例导思 证明：如答案图，过点 D 作 DE ⊥ AB 于点 E . ∵ DA ＝ DB ， DE ⊥ AB ， ∴ AE ＝ EB ＝ AB ，∠ AED ＝90°. （答案图） ∵ AB ＝2 AC ， ∴ AC ＝ AB . ∴ AC ＝ AE . 典例导思 在△ ACD 和△ AED 中， ​ ∴△ ACD ≌△ AED （SAS）. ∴∠ ACD ＝∠ AED ＝90°.∴ DC ⊥ AC . 典例导思 [方法点拨] 遇“等腰三角形”常作辅助线构造全等三角 形，再利用全等三角形的性质解题，这是一种非常重要 的方法，注意掌握. 典例导思 6. 如图，在△ ABC 中， AC ＝ BC ， CE 为△ ABC 的中 线， BD 为 AC 边上的高， BF 平分∠ CBD 交 CE 于点 G ，交 AC 于点 F ，连接 AG 交 BD 于点 M . 若∠ AFG ＝ 63°，则∠ AMB 的度数为 ⁠. （第6题） 117°　 典例导思 7. 如图，在△ ABC 中， AC ＝ BC ，∠ ACB ＝90°，点 E 是 AB 边的中点，点 F ， G 分别在 AC ， BC 上，且 EF ⊥ EG . （1）求证： AF ＝ CG ； （1）证明：如图，连接 CE . ∵ AC ＝ BC ，∠ ACB ＝90°，点 E 是 AB 边 的中点， ∴∠ A ＝∠ B ＝45°， AE ＝ BE ＝ CE ， ∠ AEC ＝∠ BEC ＝90°. （第7题） 典例导思 ∴∠ ECG ＝45°＝∠ A . ∵ EF ⊥ EG ， ∴∠ FEG ＝∠ FEC ＋∠ CEG ＝90°. ∵∠ AEC ＝∠ AEF ＋∠ FEC ＝90°， ∴∠ AEF ＝∠ CEG . 在△ AEF 和△ CEG 中， ∴△ AEF ≌△ CEG （ASA），∴ AF ＝ CG . （第7题） 典例导思 （2）若 AC ＝4，求四边形 CFEG 的面积. （2）解：由（1）知，△ AEF ≌△ CEG ， ∴ S△ AEF ＝ S△ CEG ， ∴ S四边形 CFEG ＝ S△ CEF ＋ S△ CEG ＝ S△ CEF ＋ S△ AEF ＝ S△ ACE ＝ S△ ABC ＝ AC · BC ＝4. （第7题） 典例导思 $$第13章　轴对称 13.3　等腰三角形 13.3.1　等腰三角形　 第2课时　等腰三角形的判定 1. 等腰三角形的判定（一）： 用等腰三角形的定义判定. 符号语言： 如图，∵ AB ＝ AC ， ∴△ ABC 是等腰三角形. 知识导航 2. 等腰三角形的判定（二）： 用垂直平分线的性质判定. 符号语言： 如图，在△ ABC 中，∵ AD ⊥ BC ， BD ＝ CD ， ∴ AB ＝ AC . 知识导航 3. 等腰三角形的判定（三）： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边 也相等（简写成“等角对等边”）. 符号语言： 如图，在△ ABC 中，∵∠ B ＝∠ C ， ∴ AB ＝ AC （等角对等边）. 知识导航 4. 思考：分别找出下图中的等腰三角形： ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ △ ABP 、△ ABC 、△ APC 　 △ ABC 、△ ABE 、△ BCE 知识导航 已知：∠ ABC 和∠ ACB 的平分线交于点 O ，过点 O 作 EF ∥ BC 交 AB 于点 E ，交 AC 于点 F ， 则 为等腰三角形. △ BEO 和△ CFO 　 知识导航 题型一　等腰三角形的判定 如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， CD 是 AB 边上 的高， AE 是∠ BAC 的平分线， AE 与 CD 交于点 F ，求 证：△ CEF 是等腰三角形. 典例导思 证明：∵在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， ∴∠ B ＋∠ BAC ＝90°. ∵ CD 是 AB 边上的高， ∴∠ ACD ＋∠ BAC ＝90°，∴∠ B ＝∠ ACD . ∵ AE 是∠ BAC 的平分线， ∴∠ BAE ＝∠ EAC ， ∴∠ B ＋∠ BAE ＝∠ ACD ＋∠ EAC ， 即∠ CEF ＝∠ CFE ， ∴ CE ＝ CF ，∴△ CEF 是等腰三角形. 典例导思 [方法点拨] “等角对等边”是判定等腰三角形的重要依 据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形 中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立. 典例导思 1. 如图，在△ ABC 中，∠ ABC 和∠ ACB 的平分线交于 点 E ，过点 E 作 MN ∥ BC 交 AB 于点 M ，交 AC 于点 N . 若 BM ＋ CN ＝9，则线段 MN 的长为（　D　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 （第1题） D 典例导思 证明：∵ BA ＝ BC ，∴∠ A ＝∠ C . ∵ DF ⊥ AF ， ∴∠ A ＋∠ AEF ＝90°，∠ C ＋∠ D ＝90°. ∴∠ AEF ＝∠ D . ∵∠ DEB ＝∠ AEF ， ∴∠ D ＝∠ DEB . ∴ BD ＝ BE . ∴△ DBE 是等腰三角形. 2. 如图，已知在△ ABC 中， BA ＝ BC ，点 D 是 CB 延长 线上一点， DF ⊥ AC ，垂足为 F ， DF 和 AB 交于点 E . 求证：△ DBE 是等腰三角形. （第2题） 典例导思 题型二　等腰三角形的性质与判定的综合应用 如图，在△ ABC 中， AD 平分∠ BAC 交 BC 于点 D ，点 E 是 BC 的中点，线段 EF ∥ AD 交线段 AB 于点 G ，交线段 CA 的延长线于点 F . （1）若 CF ＝6， AG ＝2，求 AC 的长； 典例导思 （1）解：∵ AD 平分∠ BAC ， ∴∠ BAD ＝∠ CAD . ∵ EF ∥ AD ， ∴∠ CAD ＝∠ F ，∠ BAD ＝∠ AGF ， ∴∠ F ＝∠ AGF ， ∴ AF ＝ AG ＝2. ∴ AC ＝ CF － AF ＝6－2＝4. 典例导思 （2）求证： BG ＝ CF . （2）证明：如答案图，延长 FE 至点 H ，使 EH ＝ EF ，连接 BH . ∵点 E 是 BC 的中点， ∴ BE ＝ CE . 在△ BEH 和△ CEF 中， ​ 　（答案图） 典例导思 ∴△ BEH ≌△ CEF （SAS）， ∴ FC ＝ HB ，∠ F ＝∠ H . 由（1），知∠ F ＝∠ AGF ＝∠ BGH ， ∴∠ H ＝∠ BGH ，∴ BG ＝ BH ， ∴ BG ＝ CF . 典例导思 3. 如图，在△ ABC 中，∠ B ＝74°，边 AC 的垂直平分线 交 BC 于点 D ，交 AC 于点 E . 若 AB ＋ BD ＝ BC ，则 ∠ BAC 的度数为（　B　） A. 74° B. 69° （第3题） B C. 65° D. 60° 典例导思 4. 如图，点 E 在△ ABC 的 AC 边的延长线上，点 D 在 AB 边上， DE 交 BC 于点 F ， DF ＝ EF ， BD ＝ CE . 求证： △ ABC 是等腰三角形. （第4题） 证明：如图，过点 D 作 DG ∥ AC 交 BC 于点 G . ∵ DG ∥ AC ， ∴∠ GDF ＝∠ E ，∠ DGB ＝∠ ACB . 在△ GDF 和△ CEF 中， 典例导思 ∴△ GDF ≌△ CEF （ASA），∴ GD ＝ CE . ∵ BD ＝ CE ，∴ BD ＝ GD ， ∴∠ B ＝∠ DGB ＝∠ ACB ， ∴ AB ＝ AC ， ∴△ ABC 是等腰三角形. （第4题） 典例导思 $$第13章　轴对称 13.3　等腰三角形 13.3.2　等边三角形　 第1课时　等边三角形的性质与判定 1. 等边三角形的定义 的三角形叫做等边三角形. 2. 等边三角形的性质 （1）等边三角形的三边都 ⁠. （2）等边三角形的三个内角都 ，并且每一个 角都等于 ⁠. （3）等边三角形的三条高线，三条中线，三条角平分 线，分别互相 ⁠. （4）等边三角形是轴对称图形，有 条对称轴. 三边都相等　 相等　 相等　 60°　 重合　 三　 知识导航 3. 等边三角形的判定 （1）根据定义：三边都 ⁠的三角形是等边三 角形. （2）三个角都 的三角形是等边三角形. （3）有一个角是 的等腰三角形是等边三角形. 4. 三角形按边的分类方法 三角形 相等　 相等　 60°　 知识导航 题型一　等边三角形的性质的应用 △ ABC 为等边三角形，点 M 是 BC 边上任意一点， 点 N 是 CA 边上任意一点，且 BM ＝ CN ， BN 与 AM 相交 于点 Q ，求∠ BQM 的度数. 典例导思 解：∵△ ABC 为等边三角形， ∴∠ ABC ＝∠ C ＝∠ BAC ＝60°， AB ＝ BC . 又∵ BM ＝ CN ， ∴△ AMB ≌△ BNC （SAS）， ∴∠ BAM ＝∠ CBN ， ∴∠ BQM ＝∠ ABQ ＋∠ BAM ＝∠ ABQ ＋∠ CBN ＝ ∠ ABC ＝60°. 典例导思 如图，△ ABC 是等边三角形， D 为 BC 边上一个动 点（点 D 与点 B ， C 均不重合）， AD ＝ AE ，∠ DAE ＝ 60°，连接 CE . （1）求证：△ ABD ≌△ ACE ； 典例导思 （1）证明：∵△ ABC 是等边三角形， ∴ AB ＝ AC ，∠ BAC ＝60°. ∵∠ DAE ＝60°， ∴∠ BAD ＋∠ DAC ＝∠ CAE ＋∠ DAC ， 即∠ BAD ＝∠ CAE . 在△ ABD 和△ ACE 中，， ∴△ ABD ≌△ ACE （SAS）. 典例导思 （2）求证： CE 平分∠ ACF ； （2）证明：∵△ ABC 是等边三角形， ∴∠ B ＝∠ BCA ＝60°. ∵△ ABD ≌△ ACE ， ∴∠ ACE ＝∠ B ＝60°. ∴∠ ECF ＝180°－∠ ACE －∠ BCA ＝60°. ∴∠ ACE ＝∠ ECF . ∴ CE 平分∠ ACF . 典例导思 （3）若 AB ＝2，当四边形 ADCE 的周长取最小值时， 求 BD 的长. （3）解：∵△ ABD ≌△ ACE ，∴ BD ＝ CE . ∵ AD ＝ AE ， ∴四边形 ADCE 的周长＝ CE ＋ DC ＋ AD ＋ AE ＝ BD ＋ DC ＋2 AD ＝2＋2 AD . ∴当 AD ⊥ BC 时，即 D 为 BC 的中点时， AD 的值最小，即四边形 ADCE 的周长取最小值. ∵ AB ＝ AC ＝ BC ＝2，∴ BD ＝ BC ＝ ×2＝1. 典例导思 1. 下列关于等边三角形的说法中，不正确的是 （　C　） A. 等边三角形是轴对称图形，三条高所在的直线都是它 的对称轴 B. 等边三角形是特殊的等腰三角形 C. 等边三角形与等腰三角形具有相同的性质 D. 等边三角形的三条角平分线的长度相等 C 典例导思 2. 如图，已知△ ABC 是等边三角形，点 B ， C ， D ， E 在同一直线上，且 CG ＝ CD ， DF ＝ DE ，则∠ E 的度 数为 ⁠. （第2题） 15°　 典例导思 题型二　等边三角形的性质与判定的综合应用 如图，在等边△ ABC 中，点 P 在△ ABC 内，点 Q 在 △ ABC 外，且∠ ABP ＝∠ ACQ ， BP ＝ CQ ，问△ APQ 是什么形状的三角形？试证明你的结论. 典例导思 解：△ APQ 为等边三角形.证明如下： ∵△ ABC 为等边三角形， ∴ AB ＝ AC ，∠ BAC ＝60°. 又∵ BP ＝ CQ ，∠ ABP ＝∠ ACQ ， ∴△ ABP ≌△ ACQ （SAS）， ∴ AP ＝ AQ ，∠ BAP ＝∠ CAQ . ∵∠ BAC ＝∠ BAP ＋∠ PAC ＝60°， ∴∠ PAQ ＝∠ CAQ ＋∠ PAC ＝60°， ∴△ APQ 是等边三角形. 典例导思 在△ ABC 中， AC ＝ BC ， BC 边上的中垂线 DF 分 别交直线 BC ， AC 于点 D ， F . ∠ ACB 的平分线交直线 DF 于点 E ，连接 AE ， BE ， BF . （1）如图1，当∠ ACB ＝30°时， ①求证：△ ABE 是等边三角形； （1）①证明：∵∠ ACB ＝30°且 CE 平分∠ ACB ， ∴∠ ACE ＝∠ BCE ＝ ∠ ACB ＝15°. 在△ ACE 和△ BCE 中， 典例导思 ​ ∴△ ACE ≌△ BCE （SAS）， ∴ AE ＝ BE ，∴△ ABE 是等腰三角形. ∵ DF 是边 BC 的垂直平分线，∴ CE ＝ BE ， ∴∠ CBE ＝∠ BCE ＝15°. ∵在△ ABC 中， AC ＝ BC ，∠ ACB ＝30°， ∴∠ BAC ＝∠ ABC ＝ ×（180°－30°）＝75°， ∴∠ EBA ＝∠ ABC －∠ CBE ＝75°－15°＝60°， ∴△ ABE 是等边三角形. 典例导思 ②探究 AF ， BF ， EF 三条线段之间的数量关系，并 证明； 　（答案图） ②解： AF ＋ EF ＝ BF . 证明如下： 如答案图，在边 FB 上取一点 G ，使 FG ＝ FE ， ∴△ EFG 是等腰三角形. ∵ DF 是边 BC 的垂直平分线， ∴ FC ＝ FB ，∠ FDB ＝90°， ∴∠ FCB ＝∠ FBC ＝30°， 典例导思 ∴△ EFG 是等边三角形， ∴ FE ＝ GE ，∠ FEG ＝60°. ∴∠ BFD ＝180°－90°－30°＝60°， 由①，知△ ABE 是等边三角形， ∴ AE ＝ BE ，∠ AEB ＝60°. ∵∠ AEF ＝∠ GEF －∠ AEG ， ∠ BEG ＝∠ BEA －∠ AEG ， ∴∠ AEF ＝∠ BEG . 典例导思 在△ AEF 和△ BEG 中， ​ ∴△ AEF ≌△ BEG （SAS），∴ AF ＝ BG ， ∴ AF ＋ EF ＝ BG ＋ FG ＝ BF . 典例导思 （2）如图2，当∠ ACB ＝150°时，请直接写出线段 AF ， BF ， EF 三条线段之间的数量关系. （2）解： AF ＋ BF ＝ EF . [方法点拨] 判断一个三角形是等边三角形有三种方法：①证三边相等（定义法）；②证三个内角相等；③先证其为等腰三角形，再证它有一个内角为60°. 典例导思 3. 如图，在△ ABC 中， AB ＝3， BC ＝5，∠ B ＝60°， 将△ ABC 绕点 A 按顺时针旋转一定角度得到△ ADE ，当 点 B 的对应点 D 恰好落在 BC 边上时， CD 的长为 ⁠. （第3题） 2　 典例导思 4. 如图，等边△ ABC 的边长为10，点 P 是边 AB 的中 点， Q 为 BC 延长线上一点， CQ ∶ BC ＝1∶2，过点 P 作 PE ⊥ AC 于点 E ，连接 PQ 交 AC 边于点 D ，则 DE 的 长为 ⁠. （第4题） 5　 典例导思 5. 如图，在等边△ ABC 中， D ， E ， F 分别是各边上的 一点，且 AD ＝ BE ＝ CF . 求证：△ DEF 是等边三角形. （第5题） 证明：∵△ ABC 为等边三角形，且 AD ＝ BE ＝ CF ， ∴ AF ＝ BD ＝ CE ， ∠ A ＝∠ B ＝∠ C ＝60°， ∴△ ADF ≌△ BED ≌△ CFE （SAS）， ∴ DF ＝ ED ＝ EF ， ∴△ DEF 是等边三角形. 典例导思 6. 如图，△ ABC 和△ CDE 都为等边三角形，点 E 在 BC 上， AE 的延长线交 BD 于点 F . （1）求证： AE ＝ BD ； （1）证明：∵△ ABC 和△ CDE 都为等边 三角形， ∴∠ ACE ＝∠ BCD ＝60°， AC ＝ BC ， CE ＝ CD ， ∴△ ACE ≌△ BCD （SAS）， ∴ AE ＝ BD . （第6题） 典例导思 （2）求∠ AFB 的度数； （2）解：∵△ ACE ≌△ BCD ， ∴∠ CAE ＝∠ CBD . 又∵∠ AEC ＝∠ BEF ， ∴∠ AFB ＝∠ ACB ＝60°. （第6题） 典例导思 （3）连接 CF ，求证： CF 平分∠ AFD ； （3）证明：如答案图1，作 CM ⊥ AF 于点 M ， CN ⊥ DF 于点 N . ∵△ ACE ≌△ BCD ， ∴ S△ ACE ＝ S△ BCD ， AE ＝ BD ， ∴ AE · CM ＝ BD · CN ， ∴ CM ＝ CN ， ∴ CF 平分∠ AFD . （第6题） （答案图1） 典例导思 （4）探究 EF ， DF ， CF 之间的数量关系，并证明. （4）解： EF ＋ DF ＝ CF . 证明如下： 如答案图2，连接 CF ，延长 AF 到点 Q ，使 FQ ＝ DF ，连接 DQ . ∵∠ AFB ＝∠ ACB ＝60°， ∴∠ DFQ ＝60°， ∴△ DFQ 是等边三角形， （第6题） （答案图2） 典例导思 ∴ DQ ＝ DF ，∠ FDQ ＝∠ CDE ＝60°， ∴∠ CDF ＝∠ EDQ . 又∵ CD ＝ DE ， DF ＝ DQ ， ∴△ CDF ≌△ EDQ （SAS），∴ CF ＝ EQ . ∴ EF ＋ DF ＝ EF ＋ FQ ＝ EQ ＝ CF . 典例导思 $$第13章　轴对称 13.3　等腰三角形 13.3.2　等边三角形　 第2课时　“30°角所对直角边等于斜边的一半”的运用 含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对 的直角边等于 ⁠. 符号语言： 如图，在Rt△ ABC 中，∵∠ C ＝90°， ∠ A ＝30°，∴ BC ＝ AB . 斜边的一半　 注意：该性质反过来说也成立，在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°. 知识导航 题型一　利用“30°角所对直角边等于斜边的一半”进行 计算 如图， E 是∠ AOB 的平分线上的一点， EC ⊥ OB ， ED ⊥ OA ，垂足分别为 C ， D ，连接 CD 交 OE 于 点 F . 若∠ AOB ＝60°. 典例导思 （1）求证：△ OCD 是等边三角形； （1）证明：∵点 E 是∠ AOB 的平分线 上的一点， EC ⊥ OB ， ED ⊥ OA ， ∴ DE ＝ CE . 在Rt△ ODE 和Rt△ OCE 中， ​ ∴Rt△ ODE ≌Rt△ OCE （HL）.∴ OD ＝ OC . ∵∠ AOB ＝60°，∴△ OCD 是等边三角形. 典例导思 （2）若 EF ＝5，求线段 OE 的长. （2）解：∵△ OCD 是等边三角形， OE 平分∠ AOB ， ∴ OE ⊥ DC ，∠ ODF ＝60°. ∵ ED ⊥ OA ， ∴∠ EDF ＝90°－∠ ODF ＝30°. ∴ DE ＝2 EF ＝10.∵∠ AOB ＝60°， ∴∠ AOE ＝∠ BOE ＝ ∠ AOB ＝30°， ∴ OE ＝2 DE ＝20. 典例导思 1. 如图，在Rt△ ABC 中， CM 平分∠ ACB 交 AB 于点 M ，过点 M 作 MN ∥ BC 交 AC 于点 N ，且 MN 平分 ∠ AMC . 若 AN ＝1，则 BC 的长为（　B　） A. 4 B. 6 （第1题） B C. 8 D. 10 典例导思 2. （1）如图，在△ ABC 中，∠ C ＝90°， DE 垂直平分 AB ，交 BC 于点 E ，垂足为 D ，连接 AE . 若 BE ＝6cm， ∠ B ＝15°，则 AC ＝ cm； [第2（1）题] 3　 典例导思 （2）如图1所示的是某超市入口的双翼闸门，当它的双 翼展开时，如图2，双翼边缘的端点 A 与 B 之间的距离 为12cm，双翼的边缘 AC ＝ BD ＝62cm，且与闸机侧立 面夹角∠ ACP ＝∠ BDQ ＝30°.当双翼收起时，则可以通 过闸机的物体的最大宽度为 ⁠cm. 74　 [第2（2）题] 典例导思 题型二　利用“30°角所对直角边等于斜边的一半”进行 证明 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ C ＝30°， AB ⊥ AD ， DE ⊥ AC . 典例导思 （1）求证： AE ＝ EC ； （1）证明：∵ AB ＝ AC ，∠ C ＝30°， ∴∠ B ＝30°，∠ BAC ＝120°. ∵ AB ⊥ AD ， ∴∠ DAC ＝30°， ∴∠ DAC ＝∠ C ，∴ DA ＝ DC . ∵ DE ⊥ AC ，∴ AE ＝ EC . 典例导思 （2）若 DE ＝2，求 BC 的长. （2）解：∵∠ C ＝30°， DE ⊥ AC ， ∴ DC ＝2 DE ＝4. ∵ AB ⊥ AD ，∠ B ＝30°， ∴ BD ＝2 AD ＝2 DC ＝8， ∴ BC ＝ BD ＋ DC ＝12. 典例导思 3. 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， D 是 BC 边上的点， DE ⊥ AB ， DF ⊥ AC ，垂足分别为 E ， F ，∠ BAC ＝ 120°.求证： DE ＋ DF ＝ BC . （第3题） 典例导思 证明：在△ ABC 中， AB ＝ AC ， ∠ BAC ＝120°， ∴∠ B ＝∠ C ＝30°. ∵ DE ⊥ AB ， DF ⊥ AC ， ∴ DE ＝ BD ， DF ＝ CD . ∴ DE ＋ DF ＝ （ BD ＋ CD ）＝ BC . （第3题） 典例导思 $$