13.1　轴对称 课件 2024-2025学年 人教版数学八年级上册

第13章　轴对称 13.1　轴对称 13.1.1　轴对称 1. 轴对称图形的概念 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能 够 ，这个图形就叫做轴对称图形，这条直 线就是它的 .这时，我们也说这个图形关于 这条直线（成轴）对称. 注意：①对称轴是一条直线（不能是线段或射线）；② 一个轴对称图形的对称轴可以有一条，也可以有多条甚 至无数条. 互相重合　 对称轴　 知识导航 2. 轴对称的概念 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个 图形 ，那么就说这两个图形关于这条直线（成 轴）对称，这条直线叫做 ，折叠后重合的点 是对应点，叫做 ⁠. 轴对称图形和轴对称的区别和联系总结如下表： 轴对称图形 两个图形成轴对称 区别 一个图形 两个图形 重合　 对称轴　 对称点　 知识导航 轴对称图形 两个图形成轴对称 联 系 ①沿着某条直线对折后，直线两旁的部分都能够 互相重合（即直线两旁的两部分全等）； ②都有对称轴（至少一条）； ③如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图 形，那么这两个图形关于这条直线（即对称轴） 对称；如果把两个成轴对称的图形看成一个图 形，那么这个图形是轴对称图形 知识导航 3. 线段的垂直平分线的定义 经过线段 并且 于这条线段的直线，叫 做这条线段的垂直平分线. 中点　 垂直　 知识导航 4. 轴对称图形和轴对称的性质 （1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是 任何一对 所连线段的 ⁠. （2）轴对称图形的对称轴，是任何一对 ⁠所 连线段的 ⁠. 注意：关于某条直线成轴对称的两个图形是全等图形 （对应边相等，对应角相等），而全等的两个图形不一 定成轴对称. 对应点　 垂直平分线　 对应点　 垂直平分线　 知识导航 题型一　生活中的轴对称图形及对称轴的认识 （1）下列图片中，是轴对称图形的是（　D　） D 典例导思 （2）下列图形中， 是轴对称图形，其中只 有1条对称轴的是 ，有2条对称轴的是 ，有 3条对称轴的是 .（填序号） 　① ② ③ ④ ⑤ ①②③　 ①　 ③　 ②　 典例导思 1. （2023·湖南）下列图形中，是轴对称图形的是 （　D　） A B C D D 典例导思 2. 下列四个图形中，是轴对称图形且对称轴的条数为2 的图形的个数是（　C　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 （第2题） C 典例导思 3. 如图是4×4的正方形网格，其中已有3个小方格涂成 了灰色.现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂 成灰色，与原来3个灰色方格组成的图形成为轴对称图 形，则符合要求的白色小正方形有 个. （第3题） 4　 典例导思 题型二　轴对称图形和轴对称的联系和区别 请在下列这一组图形符号中找出它们所蕴含的内在 规律，然后在横线的空白处设计一个恰当的图形. 典例导思 4. 图中与标号“1”的三角形成轴对称的三角形的个数 为 ⁠. （第4题） 2　 典例导思 5. 如图，有一个英语单词，四个字母都关于直线 l 对 称，请在图中补全该字母，并写出这个英语单词 为 ⁠. （第5题） BOOK　 典例导思 题型三　轴对称和轴对称图形的性质 如图，已知四边形 ABCD 与四边形 EFGH 关于直线 MN 对称，∠ D ＝130°，∠ A ＋∠ B ＝155°， AD ＝ 4 cm， EF ＝5 cm. （1）求出 AB ， EH 的长度以及∠ G 的度数； 典例导思 解：（1）∵∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＋∠ D ＝360°， ∴∠ C ＝360°－155°－130°＝75°. ∵四边形 ABCD 与四边形 EFGH 关于直线 MN 对称， ∴ AB ＝ EF ＝5 cm， EH ＝ AD ＝4 cm， ∠ G ＝∠ C ＝75°. 典例导思 （2）连接 AE ， DH ， AE 与 DH 平行吗？为什么？ 解：（2） AE ∥ DH . 理由如下： ∵ A ， E 关于 MN 对称， D ， H 关 于 MN 对称， ∴ MN ⊥ AE ， MN ⊥ DH ， ∴ AE ∥ DH . 典例导思 6. 如图，直线 MN 是四边形 AMBN 的对称轴，点 P 是直 线 MN 上的点，下列判断错误的是（　B　） A. AM ＝ BM C. ∠ MAP ＝∠ MBP （第6题） B B. AP ＝ BN D. ∠ ANM ＝∠ BNM 典例导思 7. 如图，直线 m 是多边形 ABCDE 的对称轴，若∠ A ＝ 130°，∠ B ＝110°，则∠ D 的度数为 ；若 AE ＝ 2， AB ＝1， BC ＝3，则多边形 ABCDE 的周长 为 ⁠. （第7题） 110°　 10　 典例导思 $$第13章　轴对称 13.1　轴对称 13.1.2　线段的垂直平分线的性质　 第1课时　线段的垂直平分线的性质与判定 1. 线段的垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离 ⁠ ⁠. 图1 符号语言： 相 等　 如图1，已知线段 AB ，∵直线 l ⊥ AB ，垂足为 C ，且 AC ＝ CB ，点 P 在直线 l 上，∴ PA ＝ PB . 知识导航 2. 线段的垂直平分线的性质定理的逆定理 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 ⁠ 上. 符号语言： 如图2，∵ PA ＝ PB ， ∴点 P 在 AB 的垂直平分线 l 上. 注意：线段的垂直平分线可以看成是与 A ， B 两点的距离相等的点的集合. 垂 直平分线　 图2 知识导航 3. 尺规作图 （1）作已知线段的垂直平分线： 知识导航 （2）过一点作已知直线的垂线： 已知点 P 在直线上时，如图1所示； 已知点 P 在直线外时，如图2所示. 知识导航 题型一　线段的垂直平分线的性质的应用 （1）如图1，在△ ABC 中， DE 是线段 AC 的垂直 平分线，且分别交 BC ， AC 于点 D ， E ，∠ B ＝55°， ∠ C ＝40°，则∠ BAD 等于（　B　） A. 40° B. 45° 图1 B C. 50° D. 55° 典例导思 （2）如图2，在△ ABC 中， AB 的垂直平分线分别交 AB ， BC 于点 D ， E ， AC 的垂直平分线分别交 AC ， BC 于点 F ， G . 若 BG ＝8， CE ＝10，且△ AEG 的周长 为15，则 EG 的长为 ⁠. 图2 3　 典例导思 如图，在△ ABC 中， AC 的垂直平分线 DE 交 AC 于 点 E ，交∠ ABC 的平分线于点 D ， DF ⊥ BC 于点 F . 求 证： BC － AB ＝2 CF . 证明：如图，连接 DA ， DC ，过点 D 作 AB 的垂线交 BA 的延长线于点 G . ∵ BD 平分∠ ABC ， DF ⊥ BC ， ∴∠ ABD ＝∠ CBD ，∠ BGD ＝∠ BFD ＝90°， DG ＝ DF . 典例导思 ∴△ BDG ≌△ BDF （AAS）.∴ BG ＝ BF . ∵ DE 垂直平分 AC ，∴ DC ＝ DA . 在Rt△ DAG 与Rt△ DCF 中， ∴Rt△ DAG ≌Rt△ DCF （HL）.∴ AG ＝ CF . ∴ BC － AB ＝ BF ＋ CF －（ BG － AG ）＝ CF ＋ AG ＝ 2 CF . 典例导思 1. 如图，在△ ABC 中， BC 的垂直平分线分别交 AC ， BC 于点 D ， E . 若△ ABD 的周长为13， BE ＝5，则 △ ABC 的周长为（　C　） A. 14 B. 18 C. 23 D. 28 （第1题） C 典例导思 2. 如图，在四边形 ABCD 中， M ， N 分别是 CD ， BC 的 中点，且 AM ⊥ CD ， AN ⊥ BC . （1）求证：∠ BAD ＝2∠ MAN ； （1）证明：如图，连接 AC ， ∵ M 是 CD 的中点， AM ⊥ CD ， ∴ AM 是线段 CD 的垂直平分线，∴ AC ＝ AD . 又∵ AM ⊥ CD ， AM ＝ AM ，∴Rt△ ACM ≌Rt△ ADM （HL），∴∠3＝∠4.同理可得∠1＝∠2， ∴∠2＋∠3＝ ∠ BAD ，即∠ BAD ＝2∠ MAN . （第2题） 典例导思 （2）连接 BD ，若∠ MAN ＝70°，∠ DBC ＝40°，求 ∠ ADC . （2）解：∵ AM ⊥ CD ， AN ⊥ BC ，∠ MAN ＝70°， ∴∠ BCD ＝360°－90°－90°－70°＝110°， ∠ BAD ＝2∠ MAN ＝140°， ∴∠ BDC ＝180°－∠ DBC －∠ BCD ＝30°. 由（1）易得 AB ＝ AD ， （第2题） ∴∠ ADB ＝∠ ABD ＝ （180°－∠ BAD ）＝20°， ∴∠ ADC ＝∠ ADB ＋∠ BDC ＝50°. 典例导思 题型二　线段的垂直平分线的判定的应用 如图，Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， D 是 AB 上一 点， BD ＝ BC ，过点 D 作 AB 的垂线交 AC 于点 E ，求 证： BE 垂直平分 CD . 典例导思 证明：∵∠ ACB ＝90°， DE ⊥ AB ， ∴∠ ACB ＝∠ BDE ＝90°. 在Rt△ BDE 和Rt△ BCE 中， ∴Rt△ BDE ≌Rt△ BCE （HL），∴ ED ＝ EC . ∵ ED ＝ EC ， BD ＝ BC ，∴ BE 垂直平分 CD . [方法点拨] 要证明一条直线是线段的垂直平分线，只需 证明直线上有两个点到该线段两端点的距离相等即可. 典例导思 3. 如图，点 E ， F ， G ， Q ， H 在一条直线上，且 EF ＝ GH ，我们知道按如图所作的直线 l 为线段 FG 的垂直平 分线.下列说法正确的是（　A　） A. l 是线段 EH 的垂直平分线 B. l 是线段 EQ 的垂直平分线 C. l 是线段 FH 的垂直平分线 D. EH 是 l 的垂直平分线 （第3题） A 典例导思 4. 如图，在△ ABC 中， EF 是 AB 的垂直平分线， MN 是 BC 的垂直平分线， EF 与 MN 相交于点 O . 求证：点 O 必 在 AC 的垂直平分线上. （第4题） 证明：连接 AO ， BO ， CO . ∵ EF 垂直平分 AB ，点 O 在 EF 上， ∴ OA ＝ OB . 又∵ MN 垂直平分 BC ，点 O 在 MN 上， ∴ OB ＝ OC . ∴ OA ＝ OC . ∴点 O 必在 AC 的垂直平分线上. 典例导思 题型三　尺规作图及在实际中的应用 （2023·陕西）如图，已知锐角△ ABC ，∠ B ＝ 48°，请用尺规作图法，在△ ABC 内部求作一点 P ，使 PB ＝ PC ，且∠ PBC ＝24°.（保留作图痕迹，不写作 法） 解：如答案图，点 P 即为所求. （答案图） 典例导思 5. 如图，在△ ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点 B 和点 C 为圆心，以大于 BC 的长为半径作弧，两弧相交 于点 M ， N ；②作直线 MN 交 AC 于点 D ，连接 BD . 若 AC ＝6， AD ＝2，则 BD 的长为（　C　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 （第5题） C 典例导思 6. 如图，点 C 在线段 AB 上， AD ∥ BE ， AC ＝ BE ， AD ＝ BC ， DE 交 AB 于点 G . （第6题） （1）尺规作图：过点 A 作线段 DE 的垂线交 DE 于点 F ；（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） 如答案图所示. （答案图） 典例导思 （2）求证： DF ＝ FG . 请将证明过程补充完整. 证明：∵ AD ∥ BE ， ∴① ⁠. 在△ ACD 和△ BEC 中， ∴△ ACD ≌△ BEC （SAS）， ∴∠ ADC ＝② ， CD ＝ CE ， ∴③ ＝∠ CED ， ∠ DAB ＝∠ B 　 ∠ BCE 　 ∠ CDE 　 （第6题） 典例导思 ∴∠ ADC ＋∠ CDE ＝∠ BCE ＋∠ CED ， ∴∠ ADG ＝∠ AGD ， ∴④ ⁠. ∵ AF ⊥ DG ， ∴ DF ＝ FG . AD ＝ AG 　 （第6题） 典例导思 $$第13章　轴对称 13.1　轴对称 13.1.2　线段的垂直平分线的性质　 第2课时　作对称轴 1. 轴对称图形的性质 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一 对对称点所连线段的 ；或者说，轴对称 图形的对称轴，是任何一对对称点所连 ⁠的垂直 平分线. 注意：这个性质实际上体现了线段垂直平分线的尺规作 图，我们也可以用此法确定线段中点. 垂直平分线　 线段　 知识导航 2. 用尺规法作轴对称图形的对称轴的基本步骤 （1）找出（任意）一对对称点； （2）作对称点的连线段； （3）作出连线段的垂直平分线. 知识导航 题型一　作简单几何图形的对称轴 画出下面各图形所有的对称轴. 解：答案如图所示. [规律点拨] 当一个图形的对称轴的条数超过1条时，各 对称轴往往交于一点. 典例导思 1. 下列图形中，是轴对称图形且有两条对称轴的是 （　A　） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ （第1题） A 典例导思 2. 画出下面各图形所有的对称轴. ①　　 ②　　　③　　 　④ （第2题） 解：画图略. 典例导思 题型二　折叠中的轴对称 （1）将一张四条边都相等的四边形纸片按下图中 ①②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁 剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应是 （　A　） A 典例导思 （2）如图，将△ ABC 三个角分别沿 DE ， HG ， EF 翻 折，三个顶点均落在点 O 处，则∠1＋∠2的度数 为 ⁠. 180°　 典例导思 3. 动手折一折：将一张正方形纸片按下列图示对折3次 得到图③，再如图④，在 AC 边上取一点 D ，使 AD ＝ AB ，沿虚线 BD 剪开，展开△ ABD 所在部分得到一个正 多边形，则这个正多边形的一个内角的度数是 ⁠. （第3题） 135°　 典例导思 4. 如图，把一张长方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠后，点 A 落在 CD 边上的点 G 处，点 B 落在点 H 处.若∠ FIH ＝ 40°，则图中∠ BFE 的度数为 ⁠. （第4题） 115°　 典例导思 $$