空间向量的综合应用课时练习题-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

课时精练13　空间向量的综合应用 一、基础巩固 选择题每小题5分，共25分 1.已知两平面的法向量分别为m＝(1，－1，0)，n＝(0，1，－1)，则两平面的夹角为(　　) 60° 120° 60°或120° 90° 2.已知平面α的法向量为n＝(－2，－2，1)，点A(x，3，0)在平面α内，且点P(－2，1，4)到平面α的距离为，则实数x的值为(　　) －1 －11 －1或－11 －21 3.在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，则点C1到直线CE的距离为(　　) 4.如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点M为棱CC1的中点，则直线B1M与平面A1D1M所成角的正弦值是(　　) 5.如图①，将两个全等的等腰直角三角形拼成一个平行四边形ABCD，将平行四边形ABCD沿对角线BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如图②，则直线AC与BD所成角的余弦值为(　　) 6.正三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长都相等，则AC1与平面BB1C1C所成的角的余弦值为________. 7.已知在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E是AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成的角的余弦值是________. 8.设A(2，3，1)，B(4，1，2)，C(6，3，7)，D(－5，－4，8)，则点D到平面ABC的距离为________. 9.(10分)如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是DD1的中点. (1)求证：CF∥平面A1DE； (2)求平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值. 10.(10分)如图，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，BD＝AE＝2，O，M分别为CE，AB的中点. (1)求异面直线AB与CE所成角的大小； (2)求直线CD与平面ODM所成角的正弦值. 二、综合运用 选择题每小题5分，共10分 11.如图所示，M，N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于点E，现将△ADE沿DE折起，使二面角A­DE­B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M，N的连线与AE所成角的大小为(　　) 45° 90° 135° 180° 12.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E为线段AB的中点，点F在线段AD上移动，当异面直线B1C与EF所成角最小时，其余弦值为(　　) 0 13.(15分)直三棱柱ABC­A1B1C1中，底面是等腰三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，CA＝2，D是CC1 的中点.试问：线段A1B(不包括端点)上是否存在一点E，使得点A1到平面AED的距离为？ 三、创新拓展 14.(15分)如图，已知在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动. (1)求证：D1E⊥A1D； (2)在棱AB上是否存在点E使得AD1与平面D1EC所成的角为？若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由. 参考答案 1.A　[|cos〈m，n〉|＝＝＝， ∵两平面的夹角范围为[0°，90°]， ∴两平面的夹角为60°.] 2.C　[由题意得＝(x＋2，2，－4)， 而点P到平面α的距离d＝＝， 即＝， 解得x＝－1或x＝－11.故选C.] 3.C　[建立空间直角坐标系，如图. 则C(1，1，0)，C1(1，1，1)，E， 所以＝，＝(0，0，1)， 所以点C1到直线EC的距离 d＝ ＝＝.故选C.] 4.B　[建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，M，B1(1，1，1)，＝(－1，0，0)， ＝，＝， 设平面A1D1M的法向量为m＝(x，y，z)， 则⇒ 令y＝1可得z＝2，所以m＝(0，1，2)， 设直线B1M与平面A1D1M所成的角为θ， sin θ＝＝＝.] 5.C　[由平面ABD⊥平面BCD，AB⊥BD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD，所以AB⊥平面BCD.又DC⊂平面BCD，所以AB⊥DC，又DB⊥DC， 过点D作z轴∥AB，建立空间直角坐标系，如图所示. 设AB＝1，所以BD＝1，DC＝1，BC＝， 则A(0，1，1)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，D(0，0，0)， 所以＝(1，－1，－1)，BD＝(0，－1，0)， 所以|cos〈，〉|＝＝＝.] 6.　[设正三棱柱的棱长为1，以B为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图， 则C1(0，1，1)，A， ∴＝. 平面BB1C1C的一个法向量为n＝(1，0，0)， 设AC1与平面BB1C1C所成的角为θ， 则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝， 又∵θ∈，∴cos θ＝＝.] 7.　[以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略). 设AB＝a，则AD＝a，AA1＝2a， ∴B(a，a，0)，C(0，a，0)，D1(0，0，2a)，E(a，0，a)， ∴＝(0，－a，a)，＝(0，－a，2a)， ∴cos〈，〉＝＝＝.] 8.　[设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z). ∴n·＝0，n·＝0， ∴ 即∴ 令z＝－2，则n＝(3，2，－2). 又∵＝(－7，－7，7)， ∴点D到平面ABC的距离为d＝ ＝ ＝＝.] 9.(1)证明　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1(2，0，2)，E(1，2，0)，D(0，0，0)，C(0，2，0)， F(0，0，1)，则＝(2，0，2)，＝(1，2，0)，＝(0，－2，1)， 设平面A1DE的法向量n＝(a，b，c)， 则 取n＝(－2，1，2)， ∴·n＝(0，－2，1)·(－2，1，2)＝0， 又CF⊄平面A1DE，∴CF∥平面A1DE. (2)解　＝(0，2，0)是平面A1DA的法向量， ∴|cos〈n，〉|＝＝，即平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值为. 10.解　(1)∵DB⊥BA，平面ABDE⊥平面ABC，平面ABDE∩平面ABC＝AB，DB⊂平面ABDE，∴DB⊥平面ABC，∵BD∥AE，∴EA⊥平面ABC. 如图所示，以C为坐标原点，分别以CA，CB所在直线为x轴、y轴，以过点C且与EA平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系， ∵AC＝BC＝4， ∴C(0，0，0)，A(4，0，0)，B(0，4，0)，E(4，0，4)， ∴＝(－4，4，0)，＝(4，0，4). ∴|cos〈，〉|＝＝， ∴异面直线AB与CE所成角的大小为. (2)由(1)知O(2，0，2)，D(0，4，2)，M(2，2，0)， ∴＝(0，4，2)，＝(－2，4，0)， ＝(－2，2，2). 设平面ODM的法向量为n＝(x，y，z)， 则由可得 令x＝2，则y＝1，z＝1， ∴n＝(2，1，1). 设直线CD与平面ODM所成的角为θ， 则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝， ∴直线CD与平面ODM所成角的正弦值为. 11.B　[建立空间直角坐标系，如图所示. 由题意知△ABE为等腰直角三角形. 设CD＝1，则BE＝1，AB＝1，AE＝. 设BC＝DE＝2a， 则E(0，0，0)，A(1，0，1)， N(1，a，0)，D(0，2a，0)，M， 所以＝，＝(－1，0，－1)， 所以·＝·(－1，0，－1)＝0，故⊥，从而MN与AE所成角的大小为90°.] 12.C　[以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E为线段AB的中点，设正方体的棱长为2， 则D(0，0，0)，E(2，1，0)，B1(2，2，2)，C(0，2，0)， ＝(－2，0，－2)，设F(m，0，0)(0≤m≤2)，＝(m－2，－1，0)， 设异面直线B1C与EF所成的角为θ， 则cos θ＝ ＝＝， 当异面直线B1C与EF所成角最小时，cos θ最大，即当m＝0时，cos θ＝＝＝.] 13.解　如图所示，以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 则A(2，0，0)，A1(2，0，2)，D(0，0，1)， 所以＝(0，0，2)，＝(－2，0，1). 假设线段A1B(不包括端点)上存在一点E，使得点A1到平面AED的距离为. 设点E到AB的距离为a(0<a<2)， 则E(a，2－a，a)，＝(a－2，2－a，a). 设向量n＝(x，y，z)为平面AED的法向量， 则有 即 取x＝1，可得平面AED的一个法向量为n＝. 由题意可知点A1到平面AED的距离 d＝＝＝， 解得a＝1或a＝0(舍去)，所以E(1，1，1). 所以存在一点E，使得点A1到平面AED的距离为，此时E为线段A1B的中点. 14.(1)证明　∵AE⊥平面AA1D1D，A1D⊂平面AA1D1D，∴AE⊥A1D.∵在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1， ∴A1D⊥AD1. ∵AE∩AD1＝A，AE，AD1⊂平面AED1， ∴A1D⊥平面AED1. ∵D1E⊂平面AED1，∴D1E⊥A1D. (2)解　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 设棱AB上存在点E(1，t，0)(0≤t≤2)， 使得AD1与平面D1EC所成的角为， A(1，0，0)，D1(0，0，1)，C(0，2，0)， ＝(－1，0，1)，＝(0，－2，1)，＝(1，t－2，0)， 设平面D1EC的法向量为n＝(x，y，z)， 则 取y＝1，得n＝(2－t，1，2)， ∴sin＝＝， 整理得t2＋4t－9＝0， 解得t＝－2或t＝－2－(舍去)， ∴在棱AB上存在点E使得AD1与平面D1EC所成的角为，此时AE＝－2. 学科网（北京）股份有限公司 $$