2.2 平方根 第2课时 课件 2024—2025学年北师大版数学八年级上册

2.2 平方根 第二章 实数 第2课时 平方根 优翼数学教学课件（BS）八上 1.了解平方根的概念、开平方的概念，进一步明确平方与开方互为逆运算.（重点） 2.会求一个数的平方根，明确算术平方根与平方根的区别与联系.（难点） 3.经历求一个数的平方根与平方互为逆运算的过程，培养求同和求异的思维方法. 学习目标 优翼数学教学课件（BS）八上 1.一般地，如果一个正数 x 的平方等于a，即 x2＝a，那么这个正数 x 就叫做 a 的 ，记作“ ”，读作“根号 a ”． 2.0的算术平方根是 ，即． 3. 有算数平方根， 没有算术平方根. 4.说出下列各数的算术平方根：①121；②（-2）2；③④. 算术平方根 0 非负数 负数 ①11; ②2; ③2 ; ④ . 复习导入 优翼数学教学课件（BS）八上 问题：9的算术平方根是3，也就是说，3 的平方是9.还有其他的数，它的平方也是9吗? 3 的平方是 9，-3的平方也是9. 即32=9，(-3)2=9 正数3叫9的算数平方根，那-3是9的什么呢？ 任务一：平方根的概念及性质（指向目标1） 优翼数学教学课件（BS）八上 （2）平方等于正数的数都有几个，它们有什么关系？ 平方等于正数的数有2个，它们互为相反数. 想一想：（1）平方等于的数有几个? 平方等于 0.64 的数呢? 平方等于的数有2个，即和； 平方等于 0.64 的数也有2个，即±0.8. 任务一：平方根的概念及性质（指向目标1） 优翼数学教学课件（BS）八上 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2= a，那么这个数x叫做a的平方根（也叫二次方根）. 例如:(±4)2=16，则4和-4都是16的平方根； 即16的平方根是4和-4；其中，4还是16的算术平方根. 平方根的概念 概念学习 优翼数学教学课件（BS）八上 1. 144 的平方根是什么？ 2. 0 的平方根是什么？ 3. 的平方根是什么？ 4. -4 有没有平方根？为什么？ 0 没有，因为一个数的平方不可能是负数 练一练 通过这些题目的解答，你能发现什么? 问题：（1）正数有几个平方根？ （2）0 有几个平方根？ （3）负数呢？ 有没有一个实数的平方是负数？ 想一想 因为任何实数的平方都为非负数，所以负数没有平方根，也没有算术平方根. 平方根的性质： 1. 正数有两个平方根，且两个平方根互为相反数； 2. 0 的平方根还是 0； 3. 负数没有平方根. 要点归纳 平方根如何表示呢？ 正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根（一般省略+），另一个是 .它们互为相反数.这两个平方根合起来记作 ，读作“正、负根号a”. (a是非负数) 根号 a叫被开方数 读作：正、负根号a 意义：a的平方根（a≥0） 和为0 知识归纳 平方根的表示方法 导入新课 即时评价1 求下列各数的平方根： (1) 64 ； (2) (4) (5) 11. (3) 0.0004； 解: （1）∵ ，∴ 64 的平方根为±8. （2）∵ ，∴ 的平方根为 . （3）∵ ，∴ 0.0004 的平方根为±0.02. （4）∵ ，∴ 的平方根为 ±25. （5）11 的平方根是 . 方法总结 运用平方运算求一个非负数的平方根是常用的方法，如被开方数是小数，要注意小数点的位置，也可先将小数化为分数，再求它的平方根，如被开方数是带分数，先要把它化为假分数. 注意：要弄清 ， ， 的意义， 不能用来表示 a 的平方根，如：64 的平方根不要写成 . 求下列各数的平方根： （1）81； （2） ； （3）0.49; 解：(1)因为  (±9)2=81， (3)因为(±0.7)2=0.49， 所以0.49的平方根为±0.7． 所以81的平方根为±9． 即 . （2）因为 , 所以 的平方根是 ， 即 . 即 . 变式训练 当堂练习 平方根 算术平方根 联 系 区 别 一个正数有两个平方根，其中正的平方根就是算术平方根 包含关系 相同点 只有非负数才有平方根和算术平方根 0的平方根和算术平方根都是0. 表示方法不同 个数不同 正数有两个平方根 正数只有一个算术平方根 平方根与算术平方根的联系与区别： 导入新课 这是什么运算？ 平方运算 +1 -1 +2 -2 +3 -3 1 4 9 x x2 1 4 9 +1 -1 +2 -2 +3 -3 x2 x 观察下面两种运算有什么不同？ 任务二：开平方及相关运算（指向目标2） 15 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数. 想一想：开平方与平方运算有什么关系呢？ a的平方根 底数 幂 被开方数 互为 逆运算 指数 根号 已知底数和指数求幂 已知幂和指数求底数 开平方运算 平方运算 （a≥0） （a≥0） 任务二：开平方及相关运算（指向目标2） 导入新课 开平方运算 ±3的平方是9，即 例如： 9的平方根是±3，即 平方运算 互为 逆运算 导入新课 64 7.2 0 你能把所得的规律用字母表示出来吗？ ? 思考1：根据前面得出的性质填一填，并说明理由． 任务三： 与 的性质（指向目标3） 18 归纳总结 的性质： 一般地， ＝ a (a≥0). 2 3 0.5 2 3 0.5 思考2：根据前面得出的性质填一填，并说明理由． 当堂练习 a 0 -a (a>0) (a=0) (a<0) 不一定相等，只有当a≥0时，它们才相等. 当 a< 0 时， 没有意义. 之间有什么关系？一定相等吗？ 与 归纳总结 当堂练习 64 5 ， a 即时评价3 (1) = ， = = ， （2） =　　　，当a≥0时， =　　. 导入新课 请同学们快速分辨下列各题的对错． （ ） （ ） （ ） （ ） × × √ √ 变式 议一议：如何区别 与 ？ 从运算顺序看 从取值范围看 从运算结果看 先开方，后平方 先平方，后开方 a≥0 a 取任何数 a | a | 例1求下列各数的平方根：1.44 ，0 ，8 ，，441，196 ，10-4. 解：1.44的平方根是±1.2 ；0的平方根是0 ； 8的平方根是±；的平方根是± ； 441的平方根是±21；196的平方根是±14 ； 10-4的平方根是±10-2. 典例精析 导入新课 例2：若一个正数x的两个平方根分别为3a-5和1-2a,求2x+2的平方根. 解：由题意得（3a-5）+（1-2a）=0, 解得a=4. ∴3a-5=12-5=7 ∴x=72=49 ∴ 2x+2=2×49+2=100. ∴2x+2的平方根为±10. 典例精析 导入新课 2．下列说法正确的是(　　) A．任何数都有平方根 B．一个正数的平方根有两个，它们互为倒数 C．只有非负数才有平方根 D．不是正数就没有平方根 C 1．下列说法错误的是(　　) A．4是16的平方根 B．16的平方根是±4 C．－5是25的平方根 D．25的平方根是5 D 当堂检测 导入新课 3. 42 的平方根是 ，算术平方根是 ； （-5）2的平方根是 ，算术平方根是 ； ±5 5 4. 的平方根是 ，算术平方根是 . ±2 2 ±4 4 5.若一个数的平方根分别是m和m-2，则m的值为 . 1 导入新课 7.若一个正数的两个平方根为2a-6、3a+1，则a= ，这个正数为 ； 1 16 8.若x2=3，则 x= ， 若=3，则x= . ±3 ± 6.平方根等于本身的数是 ； 算术平方根等于它本身的数是 ； 算术平方根和平方根相等的数是 . 0 0和1 0 导入新课 9. 已知一个自然数的算术平方根是a，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（ ） A. a + 1 B. C. a2 + 1 D. D 10. x 为何值时， 有意义？ 解：因为 ，所以 . 11. 实数 a 在数轴上的位置如图所示，则化简 |a - 2| + 的结果是 . 1 12.利用 a ＝ (a≥0)，把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式： (1) 9； (2) 5； (3) 2.5； (4) 0.25； (5) ； (6) 0. -1 0 1 2 a 13. 已知 ，求 x 的值． 解：∵ ∴ ∴ x = 12 或 x = －10. 14. 若=2，正数b的两个平方根分别是2c-1和-c+2，求a+b+c的平方根. 解：∵正数b的两个平方根分别是2c-1和-c+2， ∴2c-1-c+2=0.解得c=-1. ∴b=（-2-1）2=9. ∵ =2， ∴a=5. ∴a+b+c=5+9-1=13. ∴13的平方根是± . 导入新课 平方根2 平方根的概念及表示 平方根的性质 平方与开平方的关系 平方根与算术平方根的区别 一个正数有两个平方根（互为相反数）； 0只有一个平方根，它是0本身； 负数没有平方根. (a≥0) a 0 -a (a>0) (a=0) (a<0) 一个正数有两个平方根，其中正的平方根就是算术平方根; 0的平方根和算术平方根都是0本身. 互为逆运算 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的平方根（也叫二次方根）.正数a的平方根记作.读作“正、负根号a”. 课堂小结 导入新课 $$