第五章三角函数单元复习讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第 五 单元《 三角函数 》作业设计 学科： 数学 单元课时数： 22课时 1、 单元内容及教材分析： 1.单元内容：任意角和弧度制；三角函数的概念；诱导公式；三角函数的图象与性质；三角恒等变换；函数；三角函数的应用. 2.教材分析： 三角函数是继函数学习之后的一类特殊函数，它沟通了代数与几何，是学生第一个学习的多对一的函数，但同时与其他幂指对初等函数一样，是刻画现实世界中运动变化现象的典型模型，也在高等数学中有较为广泛的应用，例如它是欧拉公式的基础，是高中数学教学中的重要内容. 二、单元学习目标 （1）了解三角函数的实际背景，感受三角函数在刻画现实世界中周期现象的应用，能体会到在“周而复始”的变化现象中匀速圆周运动的代表性. （2）预了解三角函数单元下的任意角和弧度制，能实现弧度制与任意角的相互转化；感受到引入弧度制的必要性. （3）经历三角函数概念的抽象过程，借助单位圆理解三角函数的定义，发展数学抽象核心素养；借助单位圆能画出正弦函数的图像和推导出诱导公式；借助单位圆与三角函数图像理解函数性质（周期性、奇偶性和最值)；理解同角三角函数的基本关系式、 （4）掌握（正弦、余弦及正切）两角和与差的公式和二倍角公式，知道公式间的内在逻辑联系；能应用公式开展简单的恒等变换（包括和积互化公式以及半角公式），体会变换思想，发展数学运算和逻辑推理素养； （5）结合具体实例了解在实际中的意义，知道参数变化对函数图象产生的影响；能用复合三角函数处理简单的实际问题，感受三角函绘周期变化的典型数学模型，进一步体会建模思想. 三、单元作业整体设计思路 本次单元作业设计以高一数学人教A版第五单元《三角函数》为核心，旨在通过多样化的题型（包括选择题、填空题和解答题）全面检测学生对三角函数基本概念、性质及公式的掌握情况。作业设计遵循由易到难、逐步深入的原则，注重基础知识的巩固与综合应用能力的提升。通过情境化的题目设置，增强学生的解题兴趣与实际应用能力。同时，作业设计中融入了创新元素，如“五点法”画函数图像等，帮助学生直观理解三角函数的周期性，培养数形结合的思想。 四、单元作业目标 知识目标： 确保学生能够准确理解三角函数的定义、性质及公式，包括三角函数的象限性质、同角三角函数关系、诱导公式、二倍角公式等。 能力目标： 1.提升学生的解题能力，使学生能够独立分析问题，选择合适的三角函数公式或方法解决问题，并保持清晰的解题步骤。 2.培养学生的逻辑思维能力和代数运算能力，通过解决复杂问题，加深学生对三角函数在不同情境下的转化与应用的理解。 3.增强学生的创新思维能力，鼓励学生在解题过程中灵活运用所学知识，提出新颖见解或解题思路。 1. 情感态度目标： 1.激发学生的学习兴趣，通过贴近生活的题目设计，增强学习的趣味性和实用性。 2.培养学生的严谨数学态度和良好学习习惯，鼓励学生认真完成作业，主动思考，积极与同学讨论交流，对不理解的问题能主动提问。 3.强化学生的团队协作能力，在小组讨论或合作完成作业过程中，引导学生积极参与，与他人有效沟通协作。 五、课时作业（在本单元中任选1个课时，包含作业内容、时间要求、使用方式、评价设计、作业分析、设计意图、创新之处、素材来源等。其中评价设计需要明确评价实施主体以及评价标准。） 课时作业：5.2三角函数的概念 一、选择题 1.单选题 题目：若角α的终边过点P(4,-3)，则sinα的值为( ) A. B. C. D. 解析:根据三角函数的定义，若角α的终边过点P(x,y)，且原点到P的距离为r(即r为OP的长度)，则sina =y/r。在本题中，x=4,y=-3, =5，所以sina =-3/5。 时间要求 5分钟 使用方式 此作业设计针对高一数学人教A版第五单元《三角函数》课时，通过一道单选题来考察学生对三角函数定义及基本计算的理解。学生需根据题目中给出的角α的终边过点P(4,-3)的条件，利用三角函数的定义（sina = y/r）来计算sina的值。 作业分析 该作业紧扣三角函数的核心概念，即三角函数值是通过角在单位圆上的终边与坐标轴的交点来定义的。通过具体的数值计算，旨在加深学生对三角函数定义及其计算方法的理解和掌握。 设计意图 · 巩固知识点：通过具体题目巩固学生对三角函数基本概念的理解。 · 培养计算能力：要求学生进行数值计算，锻炼其数学运算能力。 · 强化逻辑思维：题目需要学生从已知条件出发，逻辑推理出未知结果，提升逻辑思维能力。 创新之处 · 题目设计简洁明了，直接切入三角函数计算的核心，避免了冗长的文字叙述，提高了学生的解题效率。 · 强调实践操作，通过具体数值的计算，使抽象的三角函数概念具体化，有助于学生更好地理解和记忆。 素材来源 原创 评价设计 评价实施主体 评价标准 评价标准描述 教师 知识掌握情况 正确理解三角函数的定义，并能准确计算出sinα的值。 解题过程 解题步骤清晰，逻辑严密，无跳步或错误。 学生自评/互评 解题准确性 自我检查或同伴检查解题过程及结果，确认无误。 解题思路分享 能否清晰阐述自己的解题思路，并与同学进行有效交流。 2.多选题 题目：若角α的终边上有一点P(m,-1)，且tana=2，则实数m的值可能为( ) A.1 B.-1 C. -1/2 D.-2 解析:根据三角函数的定义，tana=y/x。在本题中，y=-1，tana=2，所以x=m=-1/2。但题目问的是m的可能值，考虑到正切函数的周期性，当m=-2时，tana也等于2(因为tan(a+π)=tana)。所以m的可能值为-1/2和-2。 时间要求 5分钟 使用方式 此次作业设计围绕高一数学人教A版第五单元《三角函数》的内容，通过一道多选题，深化学生对三角函数定义及性质的理解。学生需根据角α的终边上有一点P(m,-1)且tan a =2的条件，运用三角函数的定义和性质进行推理计算。 作业分析 · 知识点覆盖：本题覆盖了三角函数中的正切函数定义及其周期性，以及如何通过给定的点求解三角函数的值。 · 思维能力培养：题目要求学生不仅掌握基本定义，还需理解正切函数的周期性，从而推断出m的多个可能值，培养了学生的逻辑推理和问题解决能力。 · 难度适中：题目难度适中，既考察了基础知识，又设置了需要一定思考深度的环节，适合作为课堂巩固或课后练习。 设计意图 通过此题，旨在加深学生对三角函数基本概念的理解，同时培养其运用所学知识解决实际问题的能力。此外，通过多选题的形式，引导学生全面考虑问题，避免思维定式。 创新之处 · 情境设定：题目通过设定具体的点M(m,-1)在角a的终边上，使抽象的三角函数概念具体化，增强了问题的现实感和趣味性。 · 多维考察：题目不仅考察了学生对三角函数定义的理解，还融入了正切函数的周期性知识，实现了对知识点的多维度考察。 · 能力培养：通过引导学生思考m的多个可能值，培养了学生的逻辑推理和批判性思维能力。 素材来源 原创 评价设计 评价实施主体 评价标准 评价指标 教师 知识点掌握 能否准确理解三角函数定义及正切函数的周期性 解题过程 解题步骤是否清晰，逻辑是否合理 结果正确性 能否正确求解出m的所有可能值 学生自评/互评 参与度 是否积极参与解题过程，与同学交流讨论 反思能力 是否能对自己的解题过程进行反思，总结经验教训 二、填空题 3.若cos=，且为第二象限角，则sin= 。 解析:在第二象限，正弦值为正，余弦值为负。已知cos=，利用同角三角函数的基本关系式sin2+cos2=1，可求得sin=。 时间要求 5分钟 使用方式 此作业设计为填空题，结合高一数学人教A版第五单元《三角函数》的知识点，要求学生在给定cos值及角度位于第二象限的条件下，求解sin值，以此加深学生对三角函数关系的理解和应用。 作业分析 此题考查学生对三角函数基础知识的理解，特别是同角三角函数的基本关系式sin²θ + cos²θ = 1的灵活应用，同时强化了对三角函数在各象限性质的认识。 设计意图 · 巩固学生对三角函数基本关系式的掌握。 · 加深学生对三角函数在各象限取值特性的理解。 · 培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。 创新之处 通过填空题形式，直接引导学生运用三角函数的基础知识和性质进行求解，相较于传统的计算题，更能激发学生的探索兴趣和问题解决能力。 素材来源 原创 评价设计 评价实施主体 评价标准 教师 1.答案准确性：是否正确计算出sin值。 2.解题步骤：是否使用了sin²θ + cos²θ = 1的关系式，并正确判断了第二象限的特性。 3. 解题思路：是否体现了对三角函数性质的清晰理解和应用。 同学互评 1.解题规范性：步骤是否清晰，书写是否整洁。 2. 解题思路分享：能否清晰解释自己的解题思路和用到的知识点。3. 相互学习：是否从同学的解答中学到了新的方法或思路。 自我评价 1.自我反思：解题过程中遇到的困难及解决方法。 2.知识点掌握：评估自己对三角函数性质及基本关系式的掌握程度。 3.学习态度：评价自己在解题过程中的认真程度和主动性。 三、解笞题 4.解笞题 题目：已知tana=3，求的值。 解析:利用同角三角函数的基本关系式，将分子分母同时除以cosa(注意a即a不能是直角或终边在y轴上的角，以保证分母不为0)：。 时间要求 10分钟 使用方式 此作业为解笞题，针对高一数学人教A版第五单元《三角函数》的内容设计。题目要求学生利用已知的tan a值求解特定表达式的值，通过实际操作，巩固学生对同角三角函数基本关系式的应用和理解。 作业分析 该题考察学生对三角函数基本概念和同角三角函数基本关系式的掌握情况。通过设定tan a的值为3，引导学生利用三角函数的性质进行化简和求解，从而培养学生的逻辑思维和代数运算能力。 设计意图 旨在通过具体问题的求解，加深学生对三角函数性质和关系式的理解，提升其解题能力和灵活应用知识的能力。同时，通过求解过程，培养学生严谨的数学态度和良好的学习习惯。 创新之处 该作业题目设计新颖，不仅仅停留在直接求解sin或cos值的层面，而是要求学生运用三角函数的基本关系式进行复杂表达式的化简和求解，增强了题目的挑战性和趣味性，有利于激发学生的学习兴趣和探索精神。 素材来源 原创 评价设计 评价实施主体 评价标准 教师 1. 解题步骤是否完整、合理，是否遵循了三角函数的基本性质。 2. 学生对同角三角函数基本关系式的掌握程度，能否准确运用。 3. 解题结果是否正确，有无计算错误或逻辑错误。 学生自评/互评 1. 是否理解题目要求，能否准确提取题目中的关键信息。 2. 解题过程中是否遇到了困难，是如何解决的。 3. 与其他同学相比，自己的解题速度和准确率如何，有何提升空间。 5.解答题 题目:已知sin(）=，求sin2的值。 解析:利用诱导公式，sin(）=cos，所以cos=。由于sin2+cos2=1， 可求得sin=。然后利用二倍角公式sin2= 2sincos，代入求得的sin和cos的值，得到两个可能的答案:sin 2=2××=或sin 2=2××= 时间要求 15分钟 使用方式 此作业为解答题，旨在考察学生应用三角函数诱导公式和二倍角公式的能力。学生需通过给定的sin(α)值，利用三角函数的性质推导出sin(2α)的值。 作业分析 题目首先通过sin(α)的值引导学生运用诱导公式将其转化为cos函数的形式，随后利用sin²α+cos²α=1求出sinα的值。最后，学生需使用二倍角公式sin(2α)=2sinαcosα来求解sin(2α)。这一过程不仅检验了学生对三角函数公式的掌握情况，还锻炼了其逻辑推理和代数运算能力。 设计意图 本题的设计意图在于加深学生对三角函数诱导公式和二倍角公式的理解与应用，同时培养学生在复杂问题中灵活运用所学知识的能力。通过解答此题，学生能够更加熟悉三角函数在不同情境下的转化与应用，提高解题的灵活性和准确性。 创新之处 本题在题型设计上具有一定的创新性，通过巧妙设置条件（如sin(α)的值），引导学生逐步推导出所需求解的sin(2α)值。这种方式不仅考察了学生的知识储备，还考验了其分析问题和解决问题的能力。此外，本题还注重了三角函数公式之间的内在联系，引导学生在解题过程中建立起公式间的联系网络，从而加深对三角函数概念的理解。 素材来源 原创 评价设计 评价实施主体 评价标准 教师 1. 解题步骤是否清晰、完整，有无遗漏关键步骤。 2. 是否正确应用了诱导公式和二倍角公式。 3. 答案是否正确，有无计算错误。 4. 解题过程中是否体现了对三角函数概念的理解。 学生互评 1. 同学间的解题思路是否相似，有无不同见解。 2. 同学是否能指出对方解题中的错误或不足之处。 3. 同学间是否能相互学习，取长补短。 六、单元质量检测作业（需要包含作业内容、时间要求、使用方式、评价设计、作业分析、设计意图、创新之处、素材来源等。其中评价设计需要明确评价实施主体以及评价标准） 作业内容： 一、单项选择题 1．下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 3.已知是第三象限角，若，则的值为 A. B. C. D. 4. 若，为锐角，，，则 A. B. C. D. 5．把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（    ） A． B． C． D． 6．达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：（其中）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题 7．下列结论正确的是（    ） A．是第三象限角 B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 C．若角的终边上有一点，则 D．若角为锐角，则角为钝角 8．设函数，则下列结论中正确的是（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递减 D．在上的最小值为0 三、填空题 9．已知，且，则等于 ． 10．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是 . 四．简答题 11.已知函数f(x)＝sin2x＋sinx cos x－， (1)求f(x)的最小正周期； (2)用“五点法”画函数f(x)的在一个周期内的图象． 12．已知为第三象限角，且． (1)化简并求； (2)若，求的值． 13.已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)，(ω>0，0<φ<)，f(x)的图象相邻两条对称轴间的距离为π， 是函数f(x)的一个零点． (1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数f(x)在[0，2π]上的单调递增区间． 时间要求 90分钟 使用方式 此单元质量检测作业包含单项选择题、多项选择题、填空题和解答题，全面覆盖了高一数学人教A版第五单元《三角函数》的知识点。学生需在规定时间内独立完成，以检验对三角函数概念、性质及公式的掌握情况。 作业分析 · 选择题和多项选择题部分注重基础概念的考察，如三角函数的定义、象限性质、同角三角函数关系、三角函数性质及应用等。 · 填空题部分考查诱导公式、倍角公式、半角公式及三角函数单调性的逆向运用，有一定难度。 · 解答题部分则强调学生对三角函数诱导公式、二倍角公式等的应用能力，以及函数y＝Asin(ωx＋φ)图像及性质问题的解决能力。 · 题目设计由易到难，逐步深入，既考察了学生对基础知识的掌握，也检验了他们的综合运用能力和逻辑推理能力。 设计意图 本作业旨在通过多样化的题型，全面检测学生对三角函数这一章节的学习成果。通过完成作业，学生能够巩固基础知识，提升解题能力，同时发现自己的不足之处，为后续的学习指明方向。 创新之处 · 题目设计紧密结合生活实际，增强了学习的趣味性和实用性。 · 引入“五点法”画函数图像，帮助学生直观理解三角函数的周期性，培养数形结合的思想。 · 评价设计采用评价量规表格形式，明确了评价实施主体（教师或学生自评/互评）以及具体的评价标准，使评价更加客观、公正。 素材来源 原创/改编 评价设计 评价标准 评价实施主体 评价标准描述 知识点掌握情况 教师/自评 准确理解三角函数定义、性质及公式，并能正确应用于解题过程中。 解题能力 教师/互评 能够独立分析问题，选择合适的三角函数公式或方法解决问题，解题步骤清晰。 创新思维 教师 在解题过程中能够灵活运用所学知识，提出新颖见解或解题思路。 学习态度 自评/互评 认真完成作业，主动思考，积极与同学讨论交流，对不理解的问题能主动提问。 团队协作（互评） 互评 在小组讨论或合作完成作业过程中，能够积极参与，与他人有效沟通协作。 七、其它需要说明的内容： 学科网（北京）股份有限公司 $$