2.3第2课时　一元二次不等式的应用-2024-2025学年高一上学期必修第一册数学同步学案（自主预习+题型研析+当堂温习+分层练习）（人教A版2019）

2.3第2课时　一元二次不等式的应用（人教2019A版专用） 目录 【自主预习】 2 【题型研析】 2 【题型一】简单分式不等式的解法 2 【题型二】不等式恒成立问题 4 【题型三】一元二次不等式的实际应用 5 【当堂温习】 6 【分层练习】 7 考试要求： 1.掌握与一元二次不等式相关联的不等式的解法. 2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决. 素养要求： 从函数观点认识不等式，感悟数学知识之间的关联，认识函数的重要性，重点提升数学抽象和数学运算、数学建模素养. 自主预习 一、简单的分式不等式的解法 二、一元二次不等式恒成立问题 (1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔a>0且Δ<0，ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是a<0且Δ<0. (2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题. 题型研析 【题型一】简单分式不等式的解法 一、单选题 1．（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）不等式的解集为（    ）． A．或 B．或 C．或 D． 2．（24-25高一上·四川南充·开学考试）已知关于不等式的解集为，则（    ） A． B．点在第二象限 C．的最大值为 D．关于的不等式的解集为 二、多选题 3．（24-25高三上·四川南充·开学考试）已知关于不等式的解集为，则（    ） A． B．点在第二象限 C．的最大值为 D．关于的不等式的解集为 4．（2024高三·全国·专题练习）(多选)下列选项中，正确的是（    ） A．不等式的解集为或 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．设，则“”是“”的充分不必要条件 三、填空题 5．（23-24高一上·吉林·阶段练习）不等式的解集为 . 6．（23-24高一上·重庆铜梁·开学考试）二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是 . 解题策略： 简单分式不等式的解法：先通过移项、通分整理，再化成整式不等式来解.如果能判断出分母的正负，直接去分母也可. 【题型二】不等式恒成立问题 一、单选题 1．（24-25高一上·河南驻马店·开学考试）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·全国·单元测试）若对满足的任意实数恒成立，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．命题“，”的否定是“，或” C．若，则函数的最小值为2 D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是 4．（23-24高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知，，且，若恒成立，则实数t的值可能为（    ） A．20 B．21 C．49 D．50 三、填空题 5．（24-25高三上·四川南充·开学考试）已知实数满足，且，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 6．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知关于x的不等式，若，则该不等式的解集是 ，若该不等式对任意的均成立，则实数的取值范围是 . 解题策略： 解决不等式恒成立问题的两种思路 (1)转化成含有参数的不等式，借助对应函数图象，找到满足题目要求的条件，构造含参数的不等式(组)，求得参数范围. (2)分离参数，通过求参数的最值，进而确定参数的范围. 【题型三】一元二次不等式的实际应用 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课后作业）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·河南·开学考试）河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高元（，），则被租出的客房会减少套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（    ） A．250元 B．260元 C．270元 D．280元 二、多选题 3．（22-23高一上·全国·课后作业）有纯农药液一桶，倒出8升后用水加满，然后又倒出4升后再用水加满，此时桶中所含的纯农药药液不超过桶的容积的，则桶的容积可能为（    ） A．7 B．9 C．11 D．13 4．（20-21高一·江苏·单元测试）某辆汽车以的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为，其中为常数．若汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为，欲使每小时的油耗不超过，则速度x的值可为（    ） A．60 B．80 C．100 D．120 三、填空题 5．（22-23高一下·江苏盐城·开学考试）某种汽车在水泥路面上的刹车距离（单位：）和汽车刹车前的车速（单位：）之间有如下关系：，在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于，则这辆汽车刹车前的车速至少为 ． 6．（23-24高一上·贵州贵阳·阶段练习）一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量（单位：辆）与创造的价值（单位：元）之间有如下的关系：.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，则在一个星期内大约应该生产 （填写区间范围）辆摩托车？ 解题策略： 利用不等式解决实际问题的一般步骤如下： (1)选取合适的字母表示题目中的未知数； (2)由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)； (3)求解所列出的不等式(组)； (4)结合题目的实际意义确定答案. 当堂温习 一、单选题 1．（24-25高三上·四川成都·开学考试）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高三上·山东·开学考试）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）下列命题中正确的是（ ） A．若已知集合，全集，若，则实数的集合为 B．函数（）的最大值为1． C．已知不等式的解集是，且不等式的解集为，且，则 D．命题，，，，若命题和有且只有一个为假，则实数取值区间为． 4．（22-23高一上·全国·课后作业）某商场若将进货单价为元的商品按每件元出售，每天可销售件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高元，销售量就要减少件．那么要保证每天所赚的利润在元以上，每件销售价可能为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 三、填空题 5．（24-25高三上·天津·阶段练习）若对满足条件的正实数都有恒成立，则实数的取值范围为 . 6．（24-25高三上·江苏连云港·开学考试）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是 . 分层练习 【基础篇】 一、单选题 1．（24-25高三上·江苏无锡·开学考试）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对任意的，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）若，使得成立是真命题，则实数的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 二、多选题 5．（23-24高二下·安徽马鞍山·阶段练习）已知函数的定义域为，则实数的取值可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（23-24高二下·江西南昌·期末）“ ” 成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期中）当时，不等式恒成立，则的范围可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．（2022高二下·福建·学业考试）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为 ．    9．（2024高三·全国·专题练习）若时，不等式恒成立，则实数的最小值为 . 10．（23-24高二下·天津北辰·阶段练习）命题“，”为假命题，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 11．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）已知不等式. (1)当时不等式恒成立，求实数m的取值范围； (2)当时不等式恒成立，求实数m的取值范围. 12．（22-23高二下·江西南昌·阶段练习）已知函数. (1)若，在上恒成立，求实数的取值范围； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【能力篇】 一、单选题 1．（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，参赛的各国运动员在比赛、训练之余，都爱逛逛杭州亚运会特许商品零售店，开启“买买买”模式.某商店售卖的一种亚运会纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价x（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（22-23高三上·湖北孝感·阶段练习）已知,若对任意的,不等式恒成立.则（   ） A． B． C．的最小值为12 D．的最小值为 三、填空题 3．（24-25高一上·全国·课前预习）若不等式对一切正实数都成立，则实数的取值范围是 . 四、解答题 4．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知集合，，函数. (1)求集合A. (2)若：，：，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围. (3)若不等式对x∈R恒成立，求实数a的取值范围 (4)当a∈R时，求关于x的不等式的解集 【培优篇】 一、单选题 1．（23-24高一上·山西太原·期中）已知不等式恒成立，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．8 二、多选题 2．（22-23高三上·河北唐山·阶段练习）若对任意恒成立，其中，是整数，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 3．（23-24高一上·河南·阶段练习）若对，使得成立，则实数的取值范围为 ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3第2课时　一元二次不等式的应用（人教2019A版专用） 目录 【自主预习】 2 【题型研析】 2 【题型一】简单分式不等式的解法 2 【题型二】不等式恒成立问题 6 【题型三】一元二次不等式的实际应用 10 【当堂温习】 13 【分层练习】 17 考试要求： 1.掌握与一元二次不等式相关联的不等式的解法. 2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决. 素养要求： 从函数观点认识不等式，感悟数学知识之间的关联，认识函数的重要性，重点提升数学抽象和数学运算、数学建模素养. 自主预习 一、简单的分式不等式的解法 二、一元二次不等式恒成立问题 (1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔a>0且Δ<0，ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是a<0且Δ<0. (2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题. 题型研析 【题型一】简单分式不等式的解法 一、单选题 1．（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）不等式的解集为（    ）． A．或 B．或 C．或 D． 2．（24-25高一上·四川南充·开学考试）已知关于不等式的解集为，则（    ） A． B．点在第二象限 C．的最大值为 D．关于的不等式的解集为 二、多选题 3．（24-25高三上·四川南充·开学考试）已知关于不等式的解集为，则（    ） A． B．点在第二象限 C．的最大值为 D．关于的不等式的解集为 4．（2024高三·全国·专题练习）(多选)下列选项中，正确的是（    ） A．不等式的解集为或 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．设，则“”是“”的充分不必要条件 三、填空题 5．（23-24高一上·吉林·阶段练习）不等式的解集为 . 6．（23-24高一上·重庆铜梁·开学考试）二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是 . 解题策略： 简单分式不等式的解法：先通过移项、通分整理，再化成整式不等式来解.如果能判断出分母的正负，直接去分母也可. 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 B D ACD ABD 1．B 【分析】根据分式不等式的解法求解即可. 【详解】由， 得或， 解得或， 所以不等式的解集为或. 故选：B. 2．D 【分析】根据分式不等式与整式不等式的转化，结合解的性质可得和分别是和的实数根，即可得，，进而可求解AB，利用二次函数的性质即可求解C，由一元二次不等式的求解即可判断D. 【详解】原不等式等价于， 因为解集为,所以和分别是和的实数根， 故且，，故A错误； 因为，，所以点在第三象限，故B错误； ，由于开口向下，故最大值为，故C错误， 由得即解集为，故D正确． 故选：D． 3．ACD 【分析】根据不等式的解与方程根的关系，一元二次不等式的解法求解. 【详解】的解等价于. 因为解集为，所以，故A正确. 因为，则点在第三象限，故B错误. ， 由于的最小值为，且， 则有最大值为，故C正确. 化为，由于， 则，解得，则D正确. 故选：ACD. 4．ABD 【分析】解出各选项中的不等式后可判断． 【详解】A选项，或，A正确； B选项，，B正确； C选项，或，即或，C错误； D选项，，，而是的真子集，D正确． 故选：ABD． 5． 【分析】将不等式等价于，即，求解后再检验即可. 【详解】不等式等价于， 即，即， 即为，解得， 经检验是不等式的解集. 所以原不等式的解集为. 故答案为： 6． 【分析】根据给定的图象用表示，再代入不等式求解即得. 【详解】由题图知，1和2是方程的两个根，且，则， 即，因此不等式为，即， 整理得，解得， 所以不等式的解集是. 故答案为： 【题型二】不等式恒成立问题 一、单选题 1．（24-25高一上·河南驻马店·开学考试）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·全国·单元测试）若对满足的任意实数恒成立，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．命题“，”的否定是“，或” C．若，则函数的最小值为2 D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是 4．（23-24高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知，，且，若恒成立，则实数t的值可能为（    ） A．20 B．21 C．49 D．50 三、填空题 5．（24-25高三上·四川南充·开学考试）已知实数满足，且，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 6．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知关于x的不等式，若，则该不等式的解集是 ，若该不等式对任意的均成立，则实数的取值范围是 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 D B BD CD 1．D 【分析】分和两种情况，结合不等式恒成立求参数的取值范围. 【详解】当时，不等式为对一切实数都成立，符合题意， 当时，要使得不等式对一切实数都成立， 则，解得， 综上所述，的取值范围为. 故选：D． 2．B 【分析】由参变分离，并引入参数，得，只需，结合题意得出的范围，结合基本不等式即可求解. 【详解】分离参变量得恒成立，则， 故不等式右边取最大值时必须同号（且都不为零）， 此时，因为若，则与其同号，则，矛盾． 由，设， 则， 若要求取最大值，则需，即， 此时， 当且仅当，即时等号成立，所以． 故选：B． 3．BD 【分析】特殊值法判断A,特称命题的否定判断B,应用基本不等式判断C,应用恒成立得出判别式即可求参判断D. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，命题“”的否定是“或”，故B正确； 对于C，则， 当且仅当，此时无解，故取不到等号， 所以，故C错误； 对于D，当时，恒成立， 当时，则，解得， 综上所述，，故D正确. 故选：BD. 4．CD 【分析】利用的关系式以及其范围可得且，将不等式转化为，利用二次函数单调性即可得. 【详解】由可得， 又可得， 所以可得， 即在时恒成立即可， 由二次函数单调性可得，即，可知CD满足题意； 故选：CD 5． 【分析】运用等式性质变形，结合基本不等式求出最小值，再解一元二次不等式即可. 【详解】，则同号，又，则只能同正. ，变形得到. 则. 当且仅当，且，则取等号. 由于恒成立，则，解得. 故答案为：. 6． ， . 【分析】代入，化简可得 ，根据一元二次不等式解法求结论，当时由条件求的取值范围，当时，化简不等式，由条件求的取值范围，由此可得结论. 【详解】当时，不等式可化为， 所以， 所以或， 所以不等式的解集是， 由已知对任意的，不等式恒成立， 当时，，此时， 当时，不等式，可化为， 所以，其中， 所以，所以， 所以不等式对任意的均成立时，的取值范围是. 故答案为：，. 解题策略： 解决不等式恒成立问题的两种思路 (1)转化成含有参数的不等式，借助对应函数图象，找到满足题目要求的条件，构造含参数的不等式(组)，求得参数范围. (2)分离参数，通过求参数的最值，进而确定参数的范围. 【题型三】一元二次不等式的实际应用 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课后作业）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·河南·开学考试）河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高元（，），则被租出的客房会减少套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（    ） A．250元 B．260元 C．270元 D．280元 二、多选题 3．（22-23高一上·全国·课后作业）有纯农药液一桶，倒出8升后用水加满，然后又倒出4升后再用水加满，此时桶中所含的纯农药药液不超过桶的容积的，则桶的容积可能为（    ） A．7 B．9 C．11 D．13 4．（20-21高一·江苏·单元测试）某辆汽车以的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为，其中为常数．若汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为，欲使每小时的油耗不超过，则速度x的值可为（    ） A．60 B．80 C．100 D．120 三、填空题 5．（22-23高一下·江苏盐城·开学考试）某种汽车在水泥路面上的刹车距离（单位：）和汽车刹车前的车速（单位：）之间有如下关系：，在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于，则这辆汽车刹车前的车速至少为 ． 6．（23-24高一上·贵州贵阳·阶段练习）一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量（单位：辆）与创造的价值（单位：元）之间有如下的关系：.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，则在一个星期内大约应该生产 （填写区间范围）辆摩托车？ 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 C C BC ABC 1．C 【分析】本题可根据题意得出，然后通过计算以及即可得出结果. 【详解】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，， 即，解得，又因为，所以， 这批台灯的销售单价的取值范围是. 故选：C 2．C 【分析】根据题意列出不等式求解. 【详解】依题意，每天有间客房被租出，该连锁酒店每天租赁客房的收入为 ． 因为要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元， 所以，即，解得． 因为且，所以，即该连锁酒店每间客房每天的租价应定为270元． 故选：C． 3．BC 【分析】根据题意列出不等式求解即可. 【详解】设桶的容积为x， 根据题意可得关于x的一元二次不等式：，且， 化简可得， ， 故选：BC 4．ABC 【解析】先利用120km/h时的油耗，计算出的值，然后根据题意“油耗不超过”列不等式，解不等式求得的取值范围. 【详解】由汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为， ，解得：，故每小时油耗为， 由题意得，解得：， 又，故，所以速度的取值范围为. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题考查利用待定系数法求解析式，考查一元二次不等式的解法，解题的关键是先利用120km/h时的油耗，计算出的值，然后代入根据题意解不等式，考查实际应用问题，属于中档题. 5． 【分析】设这辆汽车刹车前的车速，利用题设中的的关系式和不等式关系可得的一元二次不等式，求的范围可得． 【详解】设这辆汽车刹车前的车速为， 根据题意，有， 整理得， 解得或（舍去）， 所以这辆汽车刹车前的速度至少为． 故答案为： 6．51~59 【分析】依据题意列出不等关系，解不等式再根据实际意义即可求出需生产51~59辆摩托车. 【详解】根据题意可知， 转化为不等式，即可得， 解得； 所以应该生产51~59辆摩托车. 故答案为：51~59 解题策略： 利用不等式解决实际问题的一般步骤如下： (1)选取合适的字母表示题目中的未知数； (2)由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)； (3)求解所列出的不等式(组)； (4)结合题目的实际意义确定答案. 当堂温习 一、单选题 1．（24-25高三上·四川成都·开学考试）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高三上·山东·开学考试）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）下列命题中正确的是（ ） A．若已知集合，全集，若，则实数的集合为 B．函数（）的最大值为1． C．已知不等式的解集是，且不等式的解集为，且，则 D．命题，，，，若命题和有且只有一个为假，则实数取值区间为． 4．（22-23高一上·全国·课后作业）某商场若将进货单价为元的商品按每件元出售，每天可销售件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高元，销售量就要减少件．那么要保证每天所赚的利润在元以上，每件销售价可能为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 三、填空题 5．（24-25高三上·天津·阶段练习）若对满足条件的正实数都有恒成立，则实数的取值范围为 . 6．（24-25高三上·江苏连云港·开学考试）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 B D BCD AB 1．B 【分析】求不等式的解集，根据集合的关系进行判断. 【详解】由， 设集合，，则为的真子集. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 2．D 【分析】根据一元二次不等式解集与对应方程的根的关系可得，再由基本不等式计算即可得出结论. 【详解】由不等式的解集为， 可知1和是方程的两个实数根，且， 由韦达定理可得，即可得， 所以. 当且仅当时，即时等号成立； 即可得. 故选：D 3．BCD 【分析】对于A，先求出集合，然后根据求解即可，对于B，对函数变形后利用基本不等式可求得结果，对于C，由题意可得，，则，求出不等式的解集，从而结合可求出，对于D，分别求出命题为真命题时的取值范围，再由命题和一真一假时可求得结果》 【详解】对于A，，因为，所以， 当时，满足，此时，当时，， 由可得或，得或， 所以实数的集合为，所以A错误， 对于B，因为，所以，则， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以B正确， 对于C，因为不等式的解集是，所以，， 所以由有解，可得，得，所以， 因为，所以，得，所以C正确， 对于D，命题，，当时，不等式恒成立， 当时，不等式不恒成立， 当时，由题意可得，解得或， 所以当或时，命题为真命题， 由，，得，解得或， 所以当或时，命题为真命题， 当为真命题，为假命题时，则，解得， 当为假命题，为真命题时，则，解得， 综上，命题和有且只有一个为假时，或，所以D正确， 故选：BCD 4．AB 【分析】确定每件商品的利润、销售量，根据利润=每件利润×销售量，得出销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系，解不等式可得答案. 【详解】设销售价定为每件x元，利润为y元， 则， 依题意有， 即， 解得， 所以每件销售价应为12元到16元之间，故每件销售价可能为13元或15元， 故选︰AB． 5． 【分析】先利用基本不等式得到，再进行换元，转化为在时恒成立，求得，即得结果. 【详解】依题意正实数x，y，满足等式， 化简得，即，当且仅当时等号成立. 设，则恒成立，即在时恒成立， 函数在时是递增的，故，即. 故. 故答案为：. 6． 【分析】根据题意，即“”是真命题，结合二次函数的图象与性质对的符号分类讨论即可. 【详解】根据题意可得“”是真命题， 当，即时，命题成立； 当时，得，解得， 综上，符合题意的实数的取值范围是. 故答案为：. 分层练习 【基础篇】 一、单选题 1．（24-25高三上·江苏无锡·开学考试）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对任意的，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）若，使得成立是真命题，则实数的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 二、多选题 5．（23-24高二下·安徽马鞍山·阶段练习）已知函数的定义域为，则实数的取值可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（23-24高二下·江西南昌·期末）“ ” 成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期中）当时，不等式恒成立，则的范围可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．（2022高二下·福建·学业考试）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为 ．    9．（2024高三·全国·专题练习）若时，不等式恒成立，则实数的最小值为 . 10．（23-24高二下·天津北辰·阶段练习）命题“，”为假命题，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 11．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）已知不等式. (1)当时不等式恒成立，求实数m的取值范围； (2)当时不等式恒成立，求实数m的取值范围. 12．（22-23高二下·江西南昌·阶段练习）已知函数. (1)若，在上恒成立，求实数的取值范围； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B B D B ABC AB ABD 1．B 【分析】先解分式不等式求出集合A，再求交集即可. 【详解】因为, 所以. 故选：B. 2．B 【分析】假设命题“”为真命题，可得，由此可得，再求其补集可得结论. 【详解】若命题“”是真命题， 则， 又因为， 所以， 所以若命题“”是假命题，则实数的取值范围是． 故选：B. 3．D 【分析】参变分离可得对任意的恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为对任意的，恒成立， 所以对任意的，恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，解得，即的取值范围为. 故选：D 4．B 【分析】依据题意先将问题等价转化成在上恒成立，接着将恒成立问题转化成最值问题，再结合基本不等式即可求解. 【详解】，使得成立是真命题， 所以,恒成立. 所以在上恒成立， 所以， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以，所以，即实数的最大值为. 故选：B. 5．ABC 【分析】根据给定的函数的定义域为，可得对一切实数恒成立，再分类讨论即可. 【详解】由题意可知，函数的定义域为, 则对一切实数恒成立. 当时，对成立； 当时，， 解得. 综上所述，实数的取值范围为. 故选：ABC. 6．AB 【分析】先把已知化简为，再结合充分条件的定义得出条件即可. 【详解】因为所以恒成立， 因为，当取等号，所以， 因为，所以是的充分条件. 因为，所以是的充分条件， 又都不能推出，所以CD错误， 故选：AB. 7．ABD 【分析】先参变分离得到在上恒成立，由对勾函数得到函数单调性，从而得到，求出，得到答案. 【详解】时，变形为， 故在上恒成立， 其中为对勾函数，在上单调递减， 故，故， 故，其中ABD满足要求，C不满足要求. 故选：ABD 8．1 【分析】设花卉带的宽度为米，根据题设有求解集，即可确定最小值. 【详解】设花卉带的宽度为米，则，即， 所以，故， 所以花卉带的宽度至少应为1米. 故答案为：1 9．6 【分析】根据二次函数的性质求解最值即可求解. 【详解】由题意得，， 令， 则，所以，即实数的最小值为6. 故答案为：6 10． 【分析】求出原命题的否定，转化为恒成立问题，再利用一元二次不等式恒成立问题即可求解. 【详解】依题意，“，”为真命题， 即不等式在上恒成立， 当时，，显然成立， 当时，，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 11．(1) (2) 【分析】（1）根据二次项系数的正负性，结合一元二次不等式解集的性质，分与两类进行讨论求解即可； （2）根据二次项系数的正负性，结合一元二次不等式解集的性质，分、和三类进行讨论求解即可； 【详解】（1）①若，则原不等式可化为，显然恒成立， ②若，则不等式恒成立， 等价于 ，解得， 综上，实数m的取值范围是. （2）①当时，则原不等式可化为，显然恒成立， ②当时，函数的图象开口向上，对称轴为直线， 若时不等式恒成立， 则，解得， ③当时，函数的图象开口向下， 若时不等式恒成立， 则，解得， 综上，实数m的取值范围是. 12．(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，解不等式即可； （2）恒成立问题常用的方法是分离参数，由题可得在上恒成立 【详解】（1）依题意可得：， 解得， 所以实数的取值范围为. （2）恒成立，又， 所以在恒成立； 由于，当时等号成立. 所以， 即实数的取值范围为. 【能力篇】 一、单选题 1．（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，参赛的各国运动员在比赛、训练之余，都爱逛逛杭州亚运会特许商品零售店，开启“买买买”模式.某商店售卖的一种亚运会纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价x（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（22-23高三上·湖北孝感·阶段练习）已知,若对任意的,不等式恒成立.则（   ） A． B． C．的最小值为12 D．的最小值为 三、填空题 3．（24-25高一上·全国·课前预习）若不等式对一切正实数都成立，则实数的取值范围是 . 四、解答题 4．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知集合，，函数. (1)求集合A. (2)若：，：，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围. (3)若不等式对x∈R恒成立，求实数a的取值范围 (4)当a∈R时，求关于x的不等式的解集 参考答案： 题号 1 2 答案 B ACD 1．B 【分析】根据题中条件列出不等式，解出即可. 【详解】由题意，得， 即，∴， 解得.又每枚的最低售价为15元，∴. 故选：B. 2．ACD 【分析】先对进行因式分解,分情况讨论小于等于零的情况,可得,即,可得选项A,B正误;将中的用代替,再用基本不等式即可得出正误;先将代入中,再进行换元,求出新元的范围,根据二次函数的单调性即可求出最值,判断D的正误. 【详解】因为, 恒成立,即恒成立, 因为,所以当时,,则需, 当时,,则需, 故当时,,即, 所以且,故选项A正确,选项B错误; 所以, 当且仅当时,即时取等,故选项C正确; 因为, 令, 当且仅当，即时等号成立，故， 所以,故, 所以在上,单调递减,即,所以，故选项D正确. 故选:ACD 【点睛】思路点睛:该题考查基本不等式的应用,属于难题,关于不等式有: (1),; (2)柯西不等式:; (3)变换后再用基本不等式:. 3． 【分析】由题意恒成立，即，然后由基本不等式求的最大值即可. 【详解】由题意恒成立，即， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为， 所以. 故答案为：. 4．(1)； (2)或； (3) (4)答案见解析. 【分析】（1）求出函数的定义域即得集合. （2）求出集合B，再利用集合的包含关系求出的范围. （3）利用一元二次不等式恒成立，求出a的范围. （4）分段解含参数的一元二次不等式. 【详解】（1）由，得，解得， 所以. （2）解不等式，得或，即或， 由是的充分不必要条件，得集合为集合的真子集， 则，或， 解得或， 所以实数的取值范围是或. （3）不等式， 依题意，对x∈R恒成立，当时，恒成立，因此， 当时，，解得， 所以实数a的取值范围是. （4）不等式，即， 当时，； 当时，，解得； 当时，，解得或； 当时，， 当时，，，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【培优篇】 一、单选题 1．（23-24高一上·山西太原·期中）已知不等式恒成立，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．8 二、多选题 2．（22-23高三上·河北唐山·阶段练习）若对任意恒成立，其中，是整数，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 3．（23-24高一上·河南·阶段练习）若对，使得成立，则实数的取值范围为 ． 参考答案： 题号 1 2 答案 D BCD 1．D 【分析】根据不等式恒成立，则需要，，即，利用基本不等式即可判断选项. 【详解】根据不等式恒成立， 当，不符合条件。 则，，即， ① ②， ①当且仅当，即，等号成立. ②当且仅当时等号成立. 两次基本不等式都在成立，故等号能够传递. 故选：D 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 2．BCD 【分析】对分类讨论，当时，由可得，由一次函数的图象知不存在；当时，由，利用数形结合的思想可得出的整数解. 【详解】当时，由可得对任意恒成立， 即对任意恒成立，此时不存在； 当时，由对任意恒成立， 可设，，作出的图象如下， 由题意可知，再由，是整数可得或或 所以的可能取值为或或 故选：BCD 3． 【分析】由关于的一元二次不等式恒成立得，参变分离后再由基本不等式求解最值． 【详解】由，得． 由题意可得，使得成立， 即，使得成立． ，当且仅当时等号成立，故． 故答案为：. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$