14.3　因式分解 课件 2024—2025学年人教版数学八年级上册

14.3　因式分解 14.3.1　提公因式法 1.因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式的　积　的形式,像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解,也叫做把这个多项式分解因式. 温馨提示:(1)因式分解只针对多项式,而不是针对单项式,是对这个多项式的整体,而不是部分,因式分解的结果只能是整式的积的形式;(2)要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止;(3)因式分解是一种恒等变形,而整式的乘法是一种运算,二者不能混淆. 2.公因式的概念 一个多项式中各项都含有的　因式　叫做这个多项式各项的公因式. 温馨提示:(1)公因式必须是每一项中都含有的因式;(2)公因式可以是一个数,也可以是一个字母,还可以是一个多项式;(3)正确找出多项式的公因式的步骤: 3.提公因式法 一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提取出来,将多项式写成　公因式　与另一个因式的　乘积　的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法. 温馨提示:(1)提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律,即ma+mb+mc=m(a+b+c);(2)提公因式法步骤(分两步):①找出公因式;②提取公因式,将多项式化为两个因式的乘积;(3)当多项式第一项的系数是 负数时,通常先提出“-”号,使括号内的第一项的系数变为正数,同时多项式的各项都要变号;(4)用提公因式法分解因式时,若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零,则提取公因式后,该项变为:“+1”或“-1”,不要把该项漏掉,或认为是0而出现错误;(5)可用整式乘法来检验因式分解是否正确. 因式分解的判断 下列由左到右的变形,哪些是因式分解?哪些不是? 为什么? (1)a(x+y)=ax+ay; (2)x2+2xy+y2-1=x(x+2y)+(y+1)(y-1); (3)ax2-9a=a(x+3)(x-3); (4)a+1=a; (5)2a3=2a·a·a. 解:∵(1)(2)(4)的右边都不是整式的积的形式,∴(1)(2)(4)都不是因式分解;(5)左边不是多项式,不是因式分解;(3)的右边是整式的积的形式,左边是多项式,而且左右两边是恒等的,∴(3)是因式分解. [方法点拨] 判断式子的变形是不是因式分解要把握以下几点:①左边是多项式,右边是整式的积的形式;②左、右恒等;③分解要彻底. 1.下列各式,从左到右的变形是因式分解的是 (　D　) A.a(a+2b)=a2+2ab B.x-1=x C.x2+5x+4=x(x+5)+4 D.4-m2=(2+m)(2-m) 2.若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为(x-1)(x-3),则k+b的值为　-1　. 运用提公因式法分解因式 把下列各式分解因式: (1)3mx-6my; 解:原式=3m. (2)4x2+6xy+2x; 解:原式=2x(2x+3y+1). (3)-4m3+16m2-26m; 解:原式=-2m(2m2-8m+13). (4)25x2y3-15x2y2; 解:原式=5x2y2(5y-3). (5)-8a2m+1bm+2+28am+1b2m+4; 解:原式=-4am+1bm+2(2am-7bm+2). (6)(x+y+z)(x-y+z)+(y-x+z)(y-x-z); 解:原式=(x-y+z)[(x+y+z)-(y-x+z)] =2x(x-y+z). (7)-6(x-y)3+18(y-x)2. 解:原式=6(x-y)2(y-x+3). 先分解因式,再求值:3(x-2)2(x-7)+11(2-x)(7-x),其中x=1. 解:原式=3(x-2)2(x-7)+11(x-2)(x-7) =(x-2)(x-7)[3(x-2)+11] =(x-2)(x-7)(3x+5). 当x=1时,原式=(1-2)×(1-7)×(3+5)=48. 3.把下列各式分解因式: (1)4x2-12xy; 解:原式=4x(x-3y). (2)-7ab-14abx+49aby; 解:原式=7ab(7y-2x-1). (3)6x(a-b)+4y(b-a); 解:原式=2(a-b)(3x-2y). (4)a2-ab+c(a-b). 解:原式=(a-b)(a+c). 4.已知(2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)可分解因式为(3x+a)(x+b),其中a,b均为整数,求a+3b的值. 解:原式=(3x-7)(2x-21-x+13)=(3x-7)(x-8). ∵(2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)可分解因式为(3x+a)(x+b), ∴(3x-7)(x-8)=(3x+a)(x+b), 则a=-7,b=-8, ∴a+3b=-7+3×(-8)=-31. 提公因式法的灵活运用 利用因式分解计算: (1)234×265-234×65; 解:原式=234×(265-65)=234×200=46 800. (2)12.4×8+47.6×8; 解:原式=8×(12.4+47.6)=8×60=480. (3)×16-×16-×16; 解:原式=16×=16×(-1)=-16. (4)9992+999; 解:原式=999×(999+1)=999×1 000=999 000. (5) (-2)2 023+(-2)2 024. 解:原式=22 023. 5.2 0242+2 024能被下列哪个数整除 (　D　) A.2 021 B.2 022 C.2 023 D.2 025 6.有一种物体的表面积S=πRl+πrl,已知R=12.5 cm,r=7.5 cm,l=10 cm,π=3.14,则S=　628 cm2　. $$14.3.2　公式法 第1课时　运用平方差公式 1.用平方差公式分解因式 (1)公式:a2-b2=　(a+b)(a-b)　. (2)语言描述:两个数的平方差,等于这两个数的　和　与这两个数的　差　的积. (3)公式的特点:①左边是二项式,两项都要写成平方的形式,且符号相反; ②右边是两个数的和与这两个数的差的积. 温馨提示:运用公式时要注意字母a和b的广泛意义,a,b可以是字母,也可以是单项式或多项式. 注意:符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解,即能写成:(　　)2-(　　)2的形式.简单说成“两数是平方,减号在中央”.如x2+y2　不能　用平方差进行因式分解;-x2+y2　能　用平方差进行因式分解.(均填“能”或“不能”) 用平方差公式分解因式 把下列各式分解因式: (1)x2-1; 解:原式=(x+1)(x-1). (2)m2-9n2; 解:原式=(m+3n)(m-3n). (3)-16a2+25b2; 解:原式=(5b+4a)(5b-4a). (4)(x+p)2-(x-p)2; 解:原式=4xp. (5)(x-2y)2-(4x-2y)2; 解:原式=-3x(5x-4y). (6)x4-y4; 解:原式=(x2+y2)(x+y)(x-y). (7)(a+b+c+d)2-(a-b+c-d)2. 解:原式=4(a+c)(b+d). 1.下列各式中,运算结果是x2-16y2的是 (　A　) A.(x+4y)(x-4y)　 B.(-4y+x)(-4y-x) C.(x+2y)(x-8y) D.(x-4y)2 2.把下列各式分解因式: (1)9a2-b2; 解:原式=. (2)1-x4; 解:原式=(1+x2)(1+x)(1-x). (3)(a+b)2-9a2. 解:原式=(4a+b)(b-2a). 提公因式后用平方差公式分解因式 把下列各式分解因式: (1)x3y-xy; 解:原式=xy(x+1)(x-1). (2)x2(y-1)-(y-1); 解:原式=(y-1)(x+1)(x-1). (3)a2(m-n)+b2(n-m); 解:原式=a2(m-n)-b2(m-n). =(m-n)(a2-b2) =(m-n)(a+b)(a-b). (4)mx4-81m. 解:原式=m(x4-81) =m(x2+9)(x2-9) =m(x2+9)(x+3)(x-3). 3.(1)(2024·成都树德)分解因式:3x2y-3y=　3y(x+1)(x-1)　; (2)分解因式:2a4-18a2=　2a2(a+3)(a-3)　. 4.把下列各式分解因式: (1)4x3-x; 解:原式=x(2x+1)(2x-1). (2)4a2x2-16a2y2; 解:原式=4a2(x+2y)(x-2y). (3)ax4-9ay2; 解:原式=a(x2+3y)(x2-3y). (4)a2(b-1)-(b-1). 解:原式=(b-1)(a+1)(a-1). 平方差公式的灵活应用 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数”.如:4=22-02,12=42-22,20=62-42,…,因此4,12,20,…都是神秘数. (1)30和2 028这两个数是神秘数吗?为什么? 解:(1)30不是,2 028是.理由如下: ∵30=15×2,15是奇数,不能表示为两个连续偶数的和, ∴30不是“神秘数”. ∵2 028=1 014×2=(508+506)(508-506)=5082-5062, ∴2 028是“神秘数”. (2)设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k为非负整数),由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗?为什么? (2)∵(2k+2)2-(2k)2=4(2k+1), ∴由2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数. (3)试结合(2)中的结论说明两个连续奇数的平方差(取正数)不可能是“神秘数”. (3)由(2),知神秘数是4的倍数,但一定不是8的倍数.设两个连续奇数为2n+1和2n-1(其中n为正整数),则(2n+1)2-(2n-1)2=8n,即两个连续奇数的平方差是8的倍数, ∴两个连续奇数的平方差不可能是“神秘数”. 5.如果(x+y-3)2+(x-y+5)2=0,那么x2-y2=　-15　. 6.若x2-y2=24,x+y=6,则x+2y=　7　. 7.用简便方法计算下列各式: (1)5352×6-6×4652; 解:原式=6×(5352-4652) =6×(535+465)×(535-465) =6×1 000×70 =420 000. (2)1002-992+982-972+962-952+…+22-12; 解:原式=(100+99)(100-99)+(98+97)(98-97)+…+(2+1)(2-1) =100+99+98+97+…+2+1 =5 050. (3)…. 解:原式=… =… =× =. $$第2课时　运用完全平方公式 1.完全平方式 我们把　a2+2ab+b2　和　a2-2ab+b2　这样的式子叫做完全平方式. 这两个多项式是两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,这恰是这两个数的和(或差)的平方. 完全平方式的特点: (1)必须是　三　项式(或可以看成　三　项的); (2)有两个　同号　的平方项; (3)有一个乘积项(等于平方项底数的　±2　倍). 简记口诀:首平方,尾平方,首尾两倍在中央. 思考:下列各式是完全平方式吗? (1)a2-2ab-b2(×)　 (2)a2+b2-2ab(√) (3)-6xy+9x2+y2(√) (4)a2-6ab+b2(×) (5)x2+x+(√) (6)m2+4mn+2n2(×) 2.用完全平方公式分解因式 把整式乘法的完全平方公式反过来,就得到因式分解的完全平方公式. a2+2ab+b2=　(a+b)2　; a2-2ab+b2=　(a-b)2　. 3.因式分解的步骤 (1)多项式为两项或三项时,步骤如下: (2)多项式为四项及以上时,通常需先分组,分组后再利用提公因式法或公式法进行分解. 用完全平方公式分解因式 把下列各式分解因式. (1)a2+2a+1;　 解:原式=(a+1)2. (2)-m2-4+4m; 解:原式=-(m-2)2. (3)4x2-20x+25; 解:原式=(2x-5)2. (4)x2-6xy+9y2; 解:原式=(x-3y)2. (5)4a2+4ab+b2; 解:原式=(2a+b)2. (6)(x-1)2+6(1-x)+9; 解:原式=(x-4)2. (7)(x+y)2-2(x2-y2)+(x-y)2. 解:原式=4y2. 1.下列各式中,是完全平方式的有 (　C　) ①a2-a+;②x2+xy+y2;③m2+m+9;④x2-xy+y2;⑤m2+4n2+4mn;⑥a2b2-ab+1. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.已知16x2+4(k-1)xy+9y2是完全平方式,则k的值为 (　D　) A.7 B.-5 C.±7 D.7或-5 3.将下列分解因式的结果填在横线上. (1)x2-4x+4=　(x-2)2 　; (2)9a2-30a+25=　(3a-5)2　; (3)(a-b)2+4ab=　(a+b)2　. 综合运用多种方法分解因式 把下列各式分解因式. (1)(a2-2a)2+2(a2-2a)+1; 解:原式=(a2-2a+1)2=(a-1)4. (2)3a4-6a2+3; 解:原式=3(a4-2a2+1) =3(a2-1)2 =3(a-1)2(a+1)2. (3)(x2+y2)2-4x2y2; 解:原式=(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy) =(x+y)2(x-y)2. (4)a4-8a2b2+16b4. 解:原式= =[(a+2b)(a-2b)]2 =(a+2b)2(a-2b)2. 4.分解因式: (1)(a2+9)2-36a2; 解:原式=(a2+6a+9)(a2-6a+9) =(a+3)2(a-3)2. (2)16x4-72x2+81; 解:原式=(4x2-9)2 =[(2x+3)(2x-3)]2 =(2x+3)2(2x-3)2. (3)a2+1-2a+4(a-1). 解:原式=(a-1)2+4(a-1) =(a-1)(a-1+4) =(a-1)(a+3). 5.先阅读下列材料,然后回答问题: 将一个多项式分组后,可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法.能分组分解的多项式通常有四项或六项,一般的分组分解有四种形式,即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等.如: ①am+an+bm+bn= a(m+n)+b(m+n) =(m+n)(a+b); ②a2-2ab+b2+a-b=(a2-2ab+b2)+(a-b) =(a-b)2+(a-b) =(a-b)(a-b+1); ③2xy+y2-1+x2=x2+2xy+y2-1 =(x+y)2-1 =(x+y+1)(x+y-1). 请你仿照以上方法,分解下列各式: (1)x2-y2-x-y; 解:(1)原式=(x+y)(x-y)-(x+y) =(x+y)(x-y-1). (2)45am2-20ax2+20axy-5ay2; (2)原式=45am2-5a(4x2-4xy+y2) =5a[9m2-(2x-y)2] =5a(3m-2x+y)(3m+2x-y). (3)4a2+4a-4a2b-b-4ab+1. (3)原式=(4a2+4a+1)-b(4a2+4a+1) =(2a+1)2(1-b). 完全平方公式的灵活运用 已知x,y为实数,求下列式子的最小值:2x2+4xy+5y2-4x+2y+13. 解:原式=(x2+4xy+4y2)+(x2-4x+4)+(y2+2y+1)+8 =(x+2y)2+(x-2)2+(y+1)2+8. ∵(x+2y)2≥0,(x-2)2≥0,(y+1)2≥0, ∴当x=2,y=-1时,原式有最小值,且最小值为8. 6.若x+y=3,则(x-y)2+4xy+1的值为　10　. 7.利用因式分解简便运算: (1)1 0012-202 202+1012=　810 000　; (2)992+198+1=　10 000　; (3)662+652-130×66=　1　. 8.(1)已知a2+b2=2a-b-2,则3a-b的值为　4　; (2)x2+y2-6x+4y+13=0,则 yx的值为　-8　 . 9.已知△ABC三边长a,b,c满足a2+b2+c2-6a-6b-10c+43=0,试判断△ABC的形状. 解:∵a2+b2+c2-6a-6b-10c+43 =a2-6a+9+b2-6b+9+c2-10c+25 =(a-3)2+(b-3)2+(c-5)2 =0, ∴a-3=0,b-3=0,c-5=0, ∴a=3,b=3,c=5, ∴△ABC为等腰三角形. $$