12.3 角的平分线的性质 课件 2024—2025学年人教版数学八年级上册

12.3 角的平分线的性质（1） 1．会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性． 2．探索并证明角的平分线的性质． 3．能用角的平分线的性质解决简单问题． 学习目标 1.什么是点到直线的距离？ 点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度. A B P M 温故知新 2.什么叫一个角的角平分线？ 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的 两个角的射线叫做这个角的角平分线 . C 自主思考 【探究一】不利用工具，请你将一张用纸片做的∠AOB分成两个相等的角.你有什么办法？ A O B 对折） 再打开折叠后的纸片 ，看看折痕OC与∠AOB有何关系？ C 【探究二】如果前面探究一中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？ 自主思考 二人互助 【探究二】如图，是视频中的平分角的仪器，其中AB=AD,BC=DC.将点A放在∠A的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线.你能说明它的道理吗？ A (E) A B C (E) D 证明： 在△ACD和△ACB中 AD=AB（已知） DC=BC（已知） CA=CA（公共边） ∴ △ACD △ACB（SSS） ∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的 对应角相等） ∴AC平分∠DAB（角平分线的定义） 你从中受到哪些启发？ 如何用尺规作一个角的平分线？ 【探究三】 已知：如图，∠AOB 求作：∠AOB的平分线. O A B ③ 作射线OC.射线OC为求作.（作射线） ① 以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，OB于点N； （一弧俩交点） ② 分别以点M、N为圆心，大于 MN为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点C.（俩弧一交点） 合作探究 小组合作 【探究四】 书P48下方思考 我们都知道角平分线会平分角． 那除此之外，还有没有其他方面的性质呢？ 如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，过点P画出OA、OB 的垂线PD、PE．测量PD和PE，并作比较，你能得到什么结论？ 在OC 上再取几个点试一试，通过以上测量，刚刚得到的结论仍然成立吗？ 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. （3）点到角两边的距离. 性质定理的作用：证明线段相等. 符号语言： ∵OP是∠AOB的平分线， PD⊥OA,PE⊥OB， ∴PD = PE 应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该角平分线上； 获得新知 三个条件缺一不可 × 巩固新知 【判断正误】 1.如图，OC 平分∠AOB，点P 在OC 上，D，E 分 别为OA，OB 上的点，则PD =PE． ( ) 【判断正误】 2.如图，点P 在OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足 分别为D，E，则PD =PE． ( ) × C 【判断正误】 3.如图，OC 平分∠AOB，点P 在OC 上，PD⊥OA， 垂足为D．若PD =3，则点P 到OB 的距离为3． ( ) √ O 如图，点Q在∠AOB的角平分线OC上，QM⊥OA，QN⊥OB， 若QN=3cm。则QM=_____ 【填空】 巩固新知 3cm 【例1】如图，△ABC中，AD 是∠BAC 的平分线， DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为E，F． 求证：ED =FD． 证明： ∵ AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB , DF⊥AC ∴ ED= FD. (角平分线上的点到角 两边的距离相等） 典例解析 【变式练习】如图，△ABC中，∠B =∠C，AD 是∠BAC 的平分线， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F． 求证：EB =FC． 证明： ∵ AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB , DF⊥AC ∴ DE= DF. (角平分线上的点到角两边的距离相等） ∵ DE⊥AB , DF⊥AC , ∴ ∠BED= ∠CFD=90 °. (垂直的定义） ∴ △ BED ≌ △CFD（AAS） ∴ BE= CF.(全等三角形的对应边相等） 在△ BED 和△CFD中 ∠B= ∠C. ∠BED= ∠CFD. DE= DF. 【例2】 如图在△ABC中，∠C =90 ° ，BE 平分∠ABC 交AC于点E， ED⊥AB于点D，若DE=1.5cm，AE=3cm，则 CE=_________,AC=___________. 1.5cm 4.5cm 典例解析 【变式练习】 如图在△ABC中，∠C =90 ° ， BE 平分∠ABC 交AC于点E， 若 AC=5cm， AE=3cm，则点E 到AB 的距离为__________. 2cm 课堂小结 这节课有什么收获呢？ 1、 下面四个图中,点P都在∠AOB的平分线上,则图形( )中一定有PD＝PE. D 课堂检测 2、判断: 如图，∵点P 在OC 上， PD⊥OA于D，PE⊥OB于点E， ∴PD =PE． （×） 课堂检测 课堂检测 3、如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C=90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4, AB=14. 则点P到AB的距离为_______.△APB的面积是_______. 4 28 1.如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P． 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等. 证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F. ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， ∴PD=PE. 同理PE=PF. ∴PD=PE=PF. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 拓展应用 D E F 2.如图，在Rt△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于点E，AC=BC，AB=15cm，求△DBE的周长． 拓展提高 课后作业 【必做题】书51页第1、2题 【选做题】书52页第6题 感谢聆听，欢迎指正. Lavf57.83.100 $$