第3讲 集合的基本运算讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第一章 第三节 集合的运算 1.3 集合的基本运算 一．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集， 记作：(读作“A并B”) 此处的“或”包括三层意思：①属于集合A但是不属于集合B；②属于集合B但是不属于集合A；③既属于集合A又属于集合B； 二.交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集， 记作： (读作"A交B") 【注】(1)两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)对于，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． (4) 集合关系和运算之间的关系：；； 三．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作. 四．补集 自然语言 符号语言 图形语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作 (1) (2) 【注】的三层含义：(1)表示一个集合；(2)是的子集，即；(3)是中不属于的所有元素组成的集合． 五．容斥原理： 在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论： （1） （2） 【考点1 并集的运算】 【例1.1】设，则 【例1.2】已知集合，，则 【变式1.1】设集合，，则 【变式1.2】已知集合，则集合的元素个数是 【考点2 交集的运算】 【例2.1】已知集合或，则 【例2.2】已知集合，则 【变式2.1】已知集合，，则中元素的个数为 【变式2.2】已知集合，若，则实数 【考点3 补集的运算】 【例3.1】已知全集，集合，则 【例3.2】已知集合，，则 【变式3.1】设全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】设全集，则等于 【考点4 交、并、补集的混合运算】 【例4.1】设全集，集合，，则 = 【例4.2】若集合，，，则集合 【变式4.1】已知，，，则 【变式4.2】已知全集，，，那么是 A． B． C． D． 【考点5 根据交集、并集或补集运算结果求参数】 【例5】已知全集，集合，，图中阴影部分表示的集合是 【变式5】已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合是 【考点6 容斥原理(Venn图的实际应用)】 【例6.1】已知某校高三（1）班有51名学生，春季运动会上，有17名学生参加了田赛项目，有22名学生参加了径赛项目，田赛和径赛都参加的有9名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（    ） 【例6.2】学校举办运动会，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加游泳比赛的人数是 ，只参加田径一项比赛的人数是 . 【变式6.1】“扫码支付”“高铁”“网购”与“共享单车”被称为中国的“新四大发明”.某中学为了了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，随机调查了100位学生，其中使用过“扫码支付”或“共享单车”的学生共有90位，使用过“扫码支付”的学生共有80位，使用过“共享单车”且使用过“扫码支付”的学生共有60位，则这100位学生中使用过“共享单车”的学生共有 位. 【变式6.2】建党百年之际，影片《1921》《长津湖》《革命者》都已陆续上映，截止2021年10月底，《长津湖》票房收入已超56亿元，某市文化调查机构，在至少观看了这三部影片中的其中一部影片的市民中随机抽取了若干人进行调查，得知其中观看了《1921》的有51人，观看了《长津湖》的有60人，观看了《革命者》的有50人，数据如图，则图中 ． 【考点7 根据交集、并集或补集运算结果求参数】 【例7.1】设集合，．若，则实数的取值范围 是 【例7.2】已知集合，，若，则的可能取值个数 是 【变式7.1】设全集，集合，，则 【变式7.2】已知集合，若有两个元素，则实数的取值范围是 【考点8 集合混合运算中的求参问题】 【例8.1】已知集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【例8.2】已知集合，集合． (1)求和； (2)设，若，求实数a的取值范围． 【变式8.1】已知集合或，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，且，求实数的取值范围． 【变式8.2】已知集合，． (1)若，求； (2)在①，②，③，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 1.3 集合的基本运算 一．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集， 记作：(读作“A并B”) 此处的“或”包括三层意思：①属于集合A但是不属于集合B；②属于集合B但是不属于集合A；③既属于集合A又属于集合B； 二.交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集， 记作： (读作"A交B") 【注】(1)两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)对于，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． (4) 集合关系和运算之间的关系：；； 三．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作. 四．补集 自然语言 符号语言 图形语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作 (1) (2) 【注】的三层含义：(1)表示一个集合；(2)是的子集，即；(3)是中不属于的所有元素组成的集合． 五．容斥原理： 在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论： （1） （2） 【考点1 并集的运算】 【例1.1】设，则 【答案】 【解答过程】，故. 【例1.2】已知集合，，则 【答案】 【解答过程】，所以. 【变式1.1】设集合，，则 【答案】 【解答过程】因为，，所以. 【变式1.2】已知集合，则集合的元素个数是 【答案】6 【解答过程】由集合可得：，显然集合中的元素个数为6. 【考点2 交集的运算】 【例2.1】已知集合或，则 【答案】 【解答过程】. 【例2.2】已知集合，则 【答案】 【解答过程】由集合， 根据集合交集的定义与运算，可得 . 【变式2.1】已知集合，，则中元素的个数为 【答案】3 【解答过程】由题意，，，，故中元素的个数为3， 【变式2.2】已知集合，若，则实数 【答案】2 【解答过程】因为，则， 若，解得，此时，根据集合中元素的互异性，不合题意； 若，即，解得或， 若，此时，不合题意； 当时成立. 【考点3 补集的运算】 【例3.1】已知全集，集合，则 【答案】 【解答过程】因为，，所以 . 【例3.2】已知集合，，则 【答案】 【解答过程】由题意得，又因为，所以， 【变式3.1】设全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解答过程】依题意，，，所以，所以A选项正确，BCD选项错误. 【变式3.2】设全集，则等于 【答案】 【解答过程】，，. 【考点4 交、并、补集的混合运算】 【例4.1】设全集，集合，，则 = 【答案】 【解答过程】由题意知集合，， 故，故 【例4.2】若集合，，，则集合 【答案】 【解答过程】因为，，， 所以，则. 【变式4.1】已知，，，则 【答案】 【解答过程】由， ,所以. 【变式4.2】已知全集，，，那么是 A． B． C． D． .【答案】D 【解答过程】由题可得，全集 对于选项A，，不符合题意； 对于选项B，，，不符合题意； 对于选项C，，不符合题意； 对于选项D，，符合题意； 【考点5 根据交集、并集或补集运算结果求参数】 【例5】已知全集，集合，，图中阴影部分表示的集合是（    ） 【答案】 【详解】全集，集合，，图中阴影部分的集合是. 【变式5】已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合是（   ） 【答案】 【详解】因为，，所以， 所以图中阴影部分表示的集合 【考点6 容斥原理(Venn图的实际应用)】 【例6.1】已知某校高三（1）班有51名学生，春季运动会上，有17名学生参加了田赛项目，有22名学生参加了径赛项目，田赛和径赛都参加的有9名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（    ） 【答案】21 【详解】设高三（1）班有51名学生组成的集合为，参加田赛项目的学生组成的集合为A，参加径赛项目的学生组成的集合为， 由题意集合A有17个元素，有22个元素，中有9个元素， 其中， 所以有个元素. 所以该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为. 【例6.2】学校举办运动会，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加游泳比赛的人数是 ，只参加田径一项比赛的人数是 . 【答案】 9 2 【解析】如图所示：设U={参加比赛的学生}， A={参加游泳比赛的学生}， B={参加田径比赛的学生}，C={参加球类比赛的学生}， 依题意， ，， 于是，解得， 所以只参加游泳比赛的人数为， 只参加田径比赛的人数. 【变式6.1】“扫码支付”“高铁”“网购”与“共享单车”被称为中国的“新四大发明”.某中学为了了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，随机调查了100位学生，其中使用过“扫码支付”或“共享单车”的学生共有90位，使用过“扫码支付”的学生共有80位，使用过“共享单车”且使用过“扫码支付”的学生共有60位，则这100位学生中使用过“共享单车”的学生共有 位. 【答案】70 【详解】根据题意使用过“扫码支付”、“共享单车”的人数用Venn图表示如图， 使用过“共享单车”或“扫码支付”的学生共有90位，使用过“扫码支付”的学生共有80位， 则可得：只使用过“共享单车”但没使用过“扫码支付”的学生有人， 又使用过“共享单车”且使用过“扫码支付”的学生共有60位， 则使用过“共享单车”的学生人数为， 故答案为：70． 【变式6.2】建党百年之际，影片《1921》《长津湖》《革命者》都已陆续上映，截止2021年10月底，《长津湖》票房收入已超56亿元，某市文化调查机构，在至少观看了这三部影片中的其中一部影片的市民中随机抽取了若干人进行调查，得知其中观看了《1921》的有51人，观看了《长津湖》的有60人，观看了《革命者》的有50人，数据如图，则图中 ． 【答案】 【解析】由韦恩图可知：． 【考点7 根据交集、并集或补集运算结果求参数】 【例7.1】设集合，．若，则实数的取值范围是 【答案】 【解答过程】因为，且，所以， 【例7.2】已知集合，，若，则的可能取值个数是 【答案】2 【解答过程】由于，，，所以或, 【变式7.1】设全集，集合，，则 【答案】-2 【解答过程】由题意集合，， 又因为，且全集， 所以，解得， 但当时，集合违背了元素之间的互异性， 而当时，集合，，满足题意, 综上所述：. 【变式7.2】已知集合，若有两个元素，则实数的取值范围是 【答案】或. 【解答过程】因为， 由于有两个元素，则或，解得或， 【考点8 集合混合运算中的求参问题】 【例8.1】已知集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【解答过程】（1）当时，，∴. （2），则是的子集，， 当，即时，，满足题意； 当时，或解得： 综上得的取值范围是：. 【例8.2】已知集合，集合． (1)求和； (2)设，若，求实数a的取值范围． 【解答过程】（1）由题意，可得， 所以，． （2）因为，若， 所以解得，所以a的取值范围是． 【变式8.1】已知集合或，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，且，求实数的取值范围． 【解答过程】（1）由题意知：；因为，故； ①当，即时，满足，此时； ②当，若，则，解得； 综上所述：m的取值范围为 （2）因为，且，故，即， 解得，则，； ①当，即时，； 故，解得； ②当，即时，； 故，解得； ③当，即时，，不合题意； 综上所述，m的取值范围为. 【变式8.2】已知集合，． (1)若，求； (2)在①，②，③，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 【解答过程】（1）因为，所以， 又因为，所以． （2）若选①. ：则满足或。 所以的取值范围为或． 若选②. ：所以或，                   则满足，所以的取值范围为．                         若选③. ： 由题意得，则满足     所以的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$