专题01 集合 高频题型--2025届高三数学解题策略之秒杀大招

专题01 集合 高频题型+秒杀大招 秒杀大招 大招01理解集合的含义的两个关注点 (1)明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合． (2)看集合的构成元素满足的限制条件是什么． 注意：利用集合元素的限制条件或元素与集合的关系求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 大招02与集合中元素有关的问题的求解策略 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合，要明了集合{x|y＝f(x)}，{y|y＝f(x)}，{(x，y)|y＝f(x)}三者是不同的． (2)集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性． 大招03集合间基本关系的2种判定方法和1个关键 两种方法： (1)化简集合，从表达式中寻找两集合的关系； (2)用列举法(图示法)表示各集合，从元素(图形)中寻找关系 一个关键： 关键是看它们是否具有包含关系，若有包含关系就是子集关系 大招04根据两集合的关系求参数的方法 已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论（必须优先考虑空集的情况），做到不漏解，其次是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题． (1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时应注意集合中元素的互异性； (2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到． 大招05集合基本运算的方法技巧 大招06集合基本运算的求解策略 (1)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算． (2)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验． (3)解决抽象集合(没有给出具体元素的集合)间的关系判断和运算的问题的途径有两条：一是利用特殊值法将抽象集合具体化；二是利用图形化抽象为直观． 大招07数形结合常使集合间的运算更简捷、直观 对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助韦恩(Venn)图实施；对连续的数集间的运算，常利用数轴进行；对点集间的运算，则往往通过坐标平面内的图形求解．这些在本质上都是数形结合思想的体现和运用． 大招08集合运算中参数问题的求解策略 集合运算中的求参数问题，首先要会化简集合，因为在高考中此类问题常与不等式等知识综合考查，以体现综合性，其次注意数形结合(包括用数轴、韦恩(Venn)图等)及端点值的取舍. 具体步骤如下： (1)化简所给集合；(2)用数轴表示所给集合；(3)根据集合端点的大小关系列出不等式(组)；(4)解不等式(组)；(5)检验． 大招09韦恩图的应用 韦恩(Venn)图能更直观地表示集合之间的关系，先分析集合关系，化简集合，再由韦恩(Venn)图所表示的集合关系进行运算．对复杂的集合关系问题，或相关的数学应用问题，可通过构造韦恩(Venn)图进行求解． 大招10集合新定义问题的求解思路 (1)遇到新定义问题，先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到解题的过程中，这是解答新定义型问题的关键所在； (2)集合的性质是解答集合新定义问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些条件． 高频考点 考点01　集合的基本概念 一组对象的总体构成一个集合． 1．集合元素的三个特征：确定性、无序性、互异性． （1）确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素． （2）互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现． （3）无序性：集合与其组成元素的顺序无关． 2．集合的三种表示方法： 列举法、描述法、 图示法. （1）列举法 把集合的元素一一列举出来，并用花括号括起来. （2）描述法 在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 3．元素与集合的两种关系：属于，记为 ∈；不属于，记为. 4.五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示正整数集，N表示非负整数集(或自然数集)，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集． 考点02　集合之间的基本关系 关系 定义 表示 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同　 A＝B 子集 A中的任意一个元素都是B中的元素　 A ⊆B 真子集 A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于A　 （或） 注意：(1)空集用∅表示． (2)若集合A中含有n个元素，则其子集的个数为 2n，真子集的个数为 2n－1，非空真子集的个数为2n－2. (3)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． (4)若A⊆B，B⊆C，则A ⊆C． 考点03　集合的基本运算 符号 语言 交集A∩B 并集A∪B 补集∁UA 图形 语言 意义 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} A∪B＝{x|x∈A或x∈B} ∁UA＝{x|x∈U且x∉A} 归纳拓展 1．A∩A＝A，A∩∅＝∅. 2．A∪A＝A，A∪∅＝A. 3．A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A. 4．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅. 5．∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． 高频题型 题型01 集合的含义与表示 （一）判断元素与集合的关系 【典例】给出下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】结合数的分类判断即可. 【详解】是有理数，是无理数，均为实数，①正确，②错误； ，为自然数及有理数，③④正确. 故选：C. 【变式01】已知集合，且，则a可以为（    ） A．－2 B．－1 C． D． 【变式02】集合，为1~10以内的质数}，记，则（    ） A． B． C． D． 【变式03】设全集，若集合满足，则（    ） A． B． C． D． （二）根据元素与集合的关系求参数 【典例】设集合，若，则实数m=（    ） A．0 B． C．0或 D．0或1 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系，分别讨论和两种情况，求解并检验集合的互异性，可得到答案. 【详解】设集合，若， ，或， 当时，，此时； 当时，，此时； 所以或. 故选：C 【变式01】若，则的可能取值有（    ） A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3 【变式02】已知集合，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式03】已知，若，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． （三）利用集合中元素的性质求集合个数 【典例】已知集合，，则中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】应用并运算求，即可得元素个数. 【详解】由题设，所以，故其中元素共有4个. 故选：B 【变式01】已知集合，则A中元素的个数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【变式02】集合的元素个数为（    ） A． B． C． D． 【变式03】设集合，，，则中的元素个数为______． （四）根据集合中元素的个数求参数 【典例】若集合中有且只有一个元素，则正实数的取值范围是___________ 【答案】 【分析】把不等式转化为，转化为，结合二次函数与一次函数的图象，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，不等式且，即， 令， 所以， 所以是一个二次函数，图象是确定的一条抛物线， 而一次函数，图象是过一定点的动直线， 作出函数和的图象，如图所示， 其中， 又因为，结合图象， 要使得集合中有且只有一个元素， 可得，即，解得. 即正实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式01】已知集合. （1）若中有两个元素，求实数的取值范围； （2）若中至多有一个元素，求实数的取值范围. 【变式02】已知集合，集合中至少有2个元素，则（    ） A． B． C． D． 【变式03】已知集合．若中有两个元素，则实数m的不同取值个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 （五）集合元素互异性的应用 【典例】集合中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】根据集合中元素的互异性可得答案. 【详解】根据集合中元素的互异性得， 故三角形一定不是等腰三角形. 故选：A. 【变式01】若，则实数a的取值集合为______． 【变式02】已知其，则由的值构成的集合是（    ） A． B． C． D． （六）集合的表示(列举法、描述法) 【典例】下面说法中，正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据集合的定义，表示方法及集合相等的条件逐个分析判断 【详解】解：方程中x的取值范围为R，所以，同理，所以A正确； 表示直线上点的集合，而，所以，所以B错误； 集合，都表示大于2的实数构成的集合，所以C正确； 由于集合的元素具有无序性，所以，所以D正确． 故选：ACD． 【变式01】方程组的解集可表示为______. 【变式02】已知集合，用列举法表示M＝______． 【变式03】直角坐标平面中除去两点､可用集合表示为（    ） A． B．或 C． D． 题型02 集合间的基本关系 （一）集合间基本关系的判定 【典例】若集合，则下列选项不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合与集合的包含关系逐项判断可得出合适的选项. 【详解】因为，则，，，ABC对，D错. 故选：D. 【变式01】设集合，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式02】设，，则（    ） A． B． C． D． 【变式03】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． （二）空集 【典例】下列集合中，结果是空集的是(    ) A．{x∈R|x2-1=0} B．{x|x>6或x<1} C．{(x，y)|x2+y2=0} D．{x|x>6且x<1} 【答案】D 【分析】分析是否有元素在各选项的集合中，再作出判断. 【详解】A选项：，不是空集；B选项：{x|x>6或x<1}，不是空集； C选项：(0,0)∈{(x，y)|x2+y2=0}，不是空集；D选项：不存在既大于6又小于1的数， 即：{x|x>6且x<1}=. 故选：D 【变式01】已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．集合是有限集 【变式02】已知集合，，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若时，则或 （三）（真）子集的列举与个数的计算 【典例】已知集合，则集合的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】解一元二次不等式，并结合已知用列举法表示集合A作答. 【详解】解不等式，得，因此， 所以集合的子集个数为. 故选：C 【变式01】数集的非空真子集个数为（    ） A．32 B．31 C．30 D．29 【变式02】已知集合的所有非空子集的元素之和等于12，则等于（    ） A．1 B．3 C．4 D．6 【变式03】已知集合，则的真子集共有（    ） A．3个 B．6个 C．7个 D．8个 （四）根据子集、真子集的个数求参数 【典例】已知集合的子集只有两个，则实数的值为______． 【答案】0或1 【分析】分类讨论确定集合中元素或元素个数后得出其子集个数，从而得结论． 【详解】时，，子集只有两个，满足题意， 时，若即，则，子集只有1个，不满足题意； 若，即，则集合有两个元素，子集有4个，不满足题意， 时，，，子集只有两个，满足题意， 所以或1. 故答案为：0或1， 【变式01】已知集合恰有两个非空真子集，则m的值可以是______．（说明：写出满足条件的一个实数m的值） 【变式02】若集合有且仅有两个子集，则实数的值是__________. 【变式03】已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 （五）根据集合相等求参数 【典例】已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据，可得两集合元素全部相等，分别求和，再根据集合元素的互异性可确定，的值，进而得出答案. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或，又根据集合互异性，可知，解得(舍)，和(舍)，所以，，则， 故选：A 【变式】含有3个实数的集合既可表示成，又可表示成，则 _____． （六）根据集合的包含关系求参数 【典例】设，，，若，则（    ） A． B． C．2 D．0 【答案】D 【分析】根据集合的包含关系，结合集合的性质求参数a、b，即可求. 【详解】由知：，即，得， ∴. 故选：D. 【变式01】设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 【变式02】已知集合，，若，则实数a＝（    ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【变式03】已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型03集合的基本运算 （一）集合的并集、交集运算 【典例】已知集合，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用列举法表示集合，再用交集的定义求出结果即可. 【详解】解：因为， 又有，所以. 故选：B 【变式01】若集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式02】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式03】已知集合，集合，则等于（    ） A． B． C．． D． （二）补集的运算 【典例】已知集合，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据全集的定义和运算即可求解. 【详解】由，， 得或. 故选：C. 【变式01】已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式02】已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式03】已知全集，，则（    ） A． B． C． D． （三）交、并、补的综合运算 【典例】已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简集合A，再利用并集和补集的运算求解. 【详解】解：由，得，故， 所以，，． 故选：B． 【变式】已知全集，集合，则集合为（    ） A． B． C． D． （四）根据集合的运算结果求参数 【典例】已知集合，，若，则实数的取值的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，列式分类讨论计算，然后将计算所得的结果代入集合验证. 【详解】集合，， 又∴或，解得或或， 当时，，，，符合题意 当时，，，，不符合题意 当时，，，不满足集合元素的互异性，不符合题意. ，则实数的取值的集合为. 故选：D. 【变式01】设集合，且，则（    ） A． B． C．8 D．6 【变式02】已知全集为，集合，，若，求实数a的取值范围. 【变式03】已知集合，若，则实数的取值范围为___________. 题型04韦恩图及其应用 【典例】已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图象可知阴影部分对应的集合为且，根据集合和集合即可求出结果. 【详解】因为， 易知图中阴影部分对应的集合为且，选项D正确， 故选：D 【变式01】设集合，则韦恩图中阴影部分表示的集合的真子集个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式02】已知全集是实数集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D．或 【变式03】已知集合，则下列Venn图中阴影部分可以表示集合的是（    ） A． B． C． D． 题型05集合的新定义问题 【典例】定义集合且，已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合新定义即可求解. 【详解】因为集合且，， 所以 故选：C 【变式01】定义集合运算，若集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式02】对于两个非空实数集合和，我们把集合记作.若集合，则中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式03】定义集合，设集合，，则中元素的个数为（   ） A． B． C． D． 题型06集合的综合应用 【典例】若，则，就称集合是“和谐集合”.任选集合的一个非空子集是“和谐集合”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意写出的所有非空子集中的所有和谐集合，求出的所有非空子集的个数，即可知任选集合的一个非空子集是“和谐集合”的概率. 【详解】∵集合，∴满足题意的集合为，，，，，，，∴集合的所有非空子集中“和谐集合”的个数为7. 又集合的所有非空子集的个数为，故所求概率为. 故选:B. 【变式01】已知集合，对它的非空子集，将中每个元素都乘以再求和，如，可求得和为，则对的所有非空子集，这些和的总和为（    ） A． B． C． D． 【变式02】等差数列中，. 若集合中仅有2个元素，则实数的取值范围是______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合 高频题型+秒杀大招 秒杀大招 大招01理解集合的含义的两个关注点 (1)明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合． (2)看集合的构成元素满足的限制条件是什么． 注意：利用集合元素的限制条件或元素与集合的关系求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 大招02与集合中元素有关的问题的求解策略 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合，要明了集合{x|y＝f(x)}，{y|y＝f(x)}，{(x，y)|y＝f(x)}三者是不同的． (2)集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性． 大招03集合间基本关系的2种判定方法和1个关键 两种方法： (1)化简集合，从表达式中寻找两集合的关系； (2)用列举法(图示法)表示各集合，从元素(图形)中寻找关系 一个关键： 关键是看它们是否具有包含关系，若有包含关系就是子集关系 大招04根据两集合的关系求参数的方法 已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论（必须优先考虑空集的情况），做到不漏解，其次是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题． (1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时应注意集合中元素的互异性； (2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到． 大招05集合基本运算的方法技巧 大招06集合基本运算的求解策略 (1)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算． (2)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验． (3)解决抽象集合(没有给出具体元素的集合)间的关系判断和运算的问题的途径有两条：一是利用特殊值法将抽象集合具体化；二是利用图形化抽象为直观． 大招07数形结合常使集合间的运算更简捷、直观 对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助韦恩(Venn)图实施；对连续的数集间的运算，常利用数轴进行；对点集间的运算，则往往通过坐标平面内的图形求解．这些在本质上都是数形结合思想的体现和运用． 大招08集合运算中参数问题的求解策略 集合运算中的求参数问题，首先要会化简集合，因为在高考中此类问题常与不等式等知识综合考查，以体现综合性，其次注意数形结合(包括用数轴、韦恩(Venn)图等)及端点值的取舍. 具体步骤如下： (1)化简所给集合；(2)用数轴表示所给集合；(3)根据集合端点的大小关系列出不等式(组)；(4)解不等式(组)；(5)检验． 大招09韦恩图的应用 韦恩(Venn)图能更直观地表示集合之间的关系，先分析集合关系，化简集合，再由韦恩(Venn)图所表示的集合关系进行运算．对复杂的集合关系问题，或相关的数学应用问题，可通过构造韦恩(Venn)图进行求解． 大招10集合新定义问题的求解思路 (1)遇到新定义问题，先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到解题的过程中，这是解答新定义型问题的关键所在； (2)集合的性质是解答集合新定义问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些条件． 高频考点 考点01　集合的基本概念 一组对象的总体构成一个集合． 1．集合元素的三个特征：确定性、无序性、互异性． （1）确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素． （2）互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现． （3）无序性：集合与其组成元素的顺序无关． 2．集合的三种表示方法： 列举法、描述法、 图示法. （1）列举法 把集合的元素一一列举出来，并用花括号括起来. （2）描述法 在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 3．元素与集合的两种关系：属于，记为 ∈；不属于，记为. 4.五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示正整数集，N表示非负整数集(或自然数集)，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集． 考点02　集合之间的基本关系 关系 定义 表示 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同　 A＝B 子集 A中的任意一个元素都是B中的元素　 A ⊆B 真子集 A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于A　 （或） 注意：(1)空集用∅表示． (2)若集合A中含有n个元素，则其子集的个数为 2n，真子集的个数为 2n－1，非空真子集的个数为2n－2. (3)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． (4)若A⊆B，B⊆C，则A ⊆C． 考点03　集合的基本运算 符号 语言 交集A∩B 并集A∪B 补集∁UA 图形 语言 意义 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} A∪B＝{x|x∈A或x∈B} ∁UA＝{x|x∈U且x∉A} 归纳拓展 1．A∩A＝A，A∩∅＝∅. 2．A∪A＝A，A∪∅＝A. 3．A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A. 4．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅. 5．∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． 高频题型 题型01 集合的含义与表示 （一）判断元素与集合的关系 【典例】给出下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】结合数的分类判断即可. 【详解】是有理数，是无理数，均为实数，①正确，②错误； ，为自然数及有理数，③④正确. 故选：C. 【变式01】已知集合，且，则a可以为（    ） A．－2 B．－1 C． D． 【答案】B 【解析】∵，∴，∴， 可知，故A、C、D错误；，故B正确. 故选：B 【变式02】集合，为1~10以内的质数}，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过质数的概念化简集合B，然后利用交集运算求解集合M，根据选项逐一判断即可. 【详解】因为为1~10以内的质数}，又， 则，对比选项可知，，即D正确，ABC错误. 故选：D. 【变式03】设全集，若集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系及补集运算即可. 【详解】由题意可得：， 显然4是中的元素，故ABD错误，C正确. 故选：C （二）根据元素与集合的关系求参数 【典例】设集合，若，则实数m=（    ） A．0 B． C．0或 D．0或1 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系，分别讨论和两种情况，求解并检验集合的互异性，可得到答案. 【详解】设集合，若， ，或， 当时，，此时； 当时，，此时； 所以或. 故选：C 【变式01】若，则的可能取值有（    ） A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系及集合中元素的性质，即可判断的可能取值. 【详解】，则，符合题设； 时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题设； 时，则，符合题设； ∴或均可以. 故选：C 【变式02】已知集合，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合元素与集合的关系得到，解不等式即可求出结果. 【详解】由题意可得，解得， 故选：C 【变式03】已知，若，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意建立不等式求解即可. 【详解】由题意，且， 解得， 故选：B （三）利用集合中元素的性质求集合个数 【典例】已知集合，，则中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】应用并运算求，即可得元素个数. 【详解】由题设，所以，故其中元素共有4个. 故选：B 【变式01】已知集合，则A中元素的个数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【解析】由椭圆的性质得， 又, 所以集合 共有11个元素. 故选：C 【变式02】集合的元素个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意利用列举法写出集合A中的元素即可得出答案． 【详解】集合， 所以集合的元素个数为9个． 故选：B． 【变式03】设集合，，，则中的元素个数为______． 【答案】4 【分析】求出所有的值，根据集合元素的互异性可判断个数. 【详解】因为集合中的元素，，，所以当时，，2，3，此时，6，7．当时，，2，3，此时，7，8． 根据集合元素的互异性可知，，6，7，8．即，共有4个元素． 故答案为：4． （四）根据集合中元素的个数求参数 【典例】若集合中有且只有一个元素，则正实数的取值范围是___________ 【答案】 【分析】把不等式转化为，转化为，结合二次函数与一次函数的图象，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，不等式且，即， 令， 所以， 所以是一个二次函数，图象是确定的一条抛物线， 而一次函数，图象是过一定点的动直线， 作出函数和的图象，如图所示， 其中， 又因为，结合图象， 要使得集合中有且只有一个元素， 可得，即，解得. 即正实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式01】已知集合. （1）若中有两个元素，求实数的取值范围； （2）若中至多有一个元素，求实数的取值范围. 【答案】（1）且；（2）或 【分析】（1）转化为关于的方程有两个不等的实数根，用判别式控制范围，即得解； （2）分，两种情况讨论，当时用判别式控制范围，即得解； 【详解】（1）由于中有两个元素， ∴关于的方程有两个不等的实数根， ∴，且，即，且. 故实数的取值范围是且 （2）当时，方程为，，集合只有一个元素； 当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素，即，， 若关于的方程没有实数根，则中没有元素，即，. 综上可知，实数的取值范围是或 【变式02】已知集合，集合中至少有2个元素，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于集合中至少有2个元素，所以,从而可求出的取值范围 【详解】解：因为集合中至少有2个元素， 所以，解得， 故选：D 【变式03】已知集合．若中有两个元素，则实数m的不同取值个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由中有两个元素，得到，由此能求出实数的不同取值个数． 【详解】解：集合，1，，，， 中有两个元素， ，解得， 实数的不同取值个数为1． 故选：B． （五）集合元素互异性的应用 【典例】集合中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】根据集合中元素的互异性可得答案. 【详解】根据集合中元素的互异性得， 故三角形一定不是等腰三角形. 故选：A. 【变式01】若，则实数a的取值集合为______． 【答案】 【分析】根据元素的确定性和互异性可求实数a的取值. 【详解】因为，故或或， 当时，，与元素的互异性矛盾，舍； 当时，，符合； 当时，或，根据元素的互异性，符合， 故a的取值集合为. 故答案为： 【变式02】已知其，则由的值构成的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分，讨论，求出，再带入集合看是否满足互异性即可. 【详解】解：， 当，即时，，集合中有相同元素，舍去； 当，即（舍）或时，，符合， 故由的值构成的集合是. 故选：D （六）集合的表示(列举法、描述法) 【典例】下面说法中，正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据集合的定义，表示方法及集合相等的条件逐个分析判断 【详解】解：方程中x的取值范围为R，所以，同理，所以A正确； 表示直线上点的集合，而，所以，所以B错误； 集合，都表示大于2的实数构成的集合，所以C正确； 由于集合的元素具有无序性，所以，所以D正确． 故选：ACD． 【变式01】方程组的解集可表示为______. 【答案】 【分析】求出二元一次方程组的解，然后利用列举法表示即得. 【详解】由，可得， 所以方程的解集为. 故答案为：. 【变式02】已知集合，用列举法表示M＝______． 【答案】 【分析】由直接求解. 【详解】根据题意，应该为6 的因数，故可能取值为1，2，3，6，其对应的值分别为：4，3，2，. 又，所以的值分别为：4，3，2. 故集合. 故答案为： 【变式03】直角坐标平面中除去两点､可用集合表示为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【解析】直角坐标平面中除去两点､，其余的点全部在集合中，逐一排除法． 【详解】直角坐标平面中除去两点、，其余的点全部在集合中， 选项中除去的是四条线； 选项中除去的是或除去或者同时除去两个点，共有三种情况，不符合题意； 选项，则且，即除去两点､，符合题意； 选项，则任意点都不能，即不能同时排除，两点． 故选：C 题型02 集合间的基本关系 （一）集合间基本关系的判定 【典例】若集合，则下列选项不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合与集合的包含关系逐项判断可得出合适的选项. 【详解】因为，则，，，ABC对，D错. 故选：D. 【变式01】设集合，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将集合化简，即可由集合间的关系求解. 【详解】由，所以， 故选：B 【变式02】设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，因为， 所以集合是由所有奇数的一半组成， 而集合是由所有整数的一半组成，故. 故选：B 【变式03】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可得，由此可得出结论. 【详解】任取，则，其中，所以，，故， 因此，. 故选：C. （二）空集 【典例】下列集合中，结果是空集的是(    ) A．{x∈R|x2-1=0} B．{x|x>6或x<1} C．{(x，y)|x2+y2=0} D．{x|x>6且x<1} 【答案】D 【分析】分析是否有元素在各选项的集合中，再作出判断. 【详解】A选项：，不是空集；B选项：{x|x>6或x<1}，不是空集； C选项：(0,0)∈{(x，y)|x2+y2=0}，不是空集；D选项：不存在既大于6又小于1的数， 即：{x|x>6且x<1}=. 故选：D 【变式01】已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．集合是有限集 【答案】A 【解析】根据题意，由元素与集合的含义、元素与集合的关系是属于和不属于，集合与集合的基本关系，依次分析选项可得答案． 【详解】解：根据题意，依次分析选项可得： 对于选项、2.5是集合的元素，则，则正确； 对于选项、0是集合的元素，应有，而不是，错误； 对于选项、空集是任何集合的子集，应有，错误； 对于选项、集合为无限集，错误； 故选：A． 【点睛】本题考查集合、元素间关系的判断，是简单题，解题时注意分清与区别即可． 【变式02】已知集合，，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若时，则或 【答案】ABC 【分析】求出集合，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念求解判断． 【详解】，若，则，且，故A正确. 时，，故D不正确. 若，则且，解得，故B正确. 当时，，解得或，故C正确. 故选：ABC． （三）（真）子集的列举与个数的计算 【典例】已知集合，则集合的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】解一元二次不等式，并结合已知用列举法表示集合A作答. 【详解】解不等式，得，因此， 所以集合的子集个数为. 故选：C 【变式01】数集的非空真子集个数为（    ） A．32 B．31 C．30 D．29 【答案】C 【分析】利用集合中含有个元素，则它的非空真子集个数为即可求解. 【详解】因为集合中含有个元素， 所以集合的非空真子集个数为. 故选：C 【变式02】已知集合的所有非空子集的元素之和等于12，则等于（    ） A．1 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】首先列出集合的非空子集，即可得到方程，解得即可. 【详解】解：集合的非空子集有、、， 所以， 解得. 故选：D 【变式03】已知集合，则的真子集共有（    ） A．3个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】C 【分析】先利用交集运算求解交集，再根据交集的元素个数来求解答案. 【详解】因为， 所以， 所以的真子集共有个. 故选：C. （四）根据子集、真子集的个数求参数 【典例】已知集合的子集只有两个，则实数的值为______． 【答案】0或1 【分析】分类讨论确定集合中元素或元素个数后得出其子集个数，从而得结论． 【详解】时，，子集只有两个，满足题意， 时，若即，则，子集只有1个，不满足题意； 若，即，则集合有两个元素，子集有4个，不满足题意， 时，，，子集只有两个，满足题意， 所以或1. 故答案为：0或1， 【变式01】已知集合恰有两个非空真子集，则m的值可以是______．（说明：写出满足条件的一个实数m的值） 【答案】（答案不唯一） 【分析】先根据题意得集合A中所含元素个数，再通过二次方程得答案. 【详解】集合恰有两个非空真子集, 则集合A中含有2个元素，即方程由2个不等实根， ， 解得且. 故答案为：（答案不唯一）. 【变式02】若集合有且仅有两个子集，则实数的值是__________. 【答案】 【分析】通过集合有且仅有两个子集，可知集合中只有一个元素，根据二次项系数是否为分类讨论. 【详解】由集合有且仅有两个子集，得中只有一个元素. 当即时，，符合题意. 当即时， 解得. 故答案为： 【变式03】已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 【答案】BCD 【分析】根据条件可知集合中仅有一个元素，由此分析方程为一元一次方程、一元二次方程的情况，从而求解出的值. 【详解】因为集合仅有个子集，所以集合中仅有一个元素， 当时，，所以，所以，满足要求； 当时，因为集合中仅有一个元素，所以，所以，此时或，满足要求， 故选：BCD. （五）根据集合相等求参数 【典例】已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据，可得两集合元素全部相等，分别求和，再根据集合元素的互异性可确定，的值，进而得出答案. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或，又根据集合互异性，可知，解得(舍)，和(舍)，所以，，则， 故选：A 【变式】含有3个实数的集合既可表示成，又可表示成，则 _____． 【答案】1 【分析】根据集合相等，则元素完全相同，分析参数，列出等式，即可求得结果. 【详解】因为， 显然，故，则； 此时两集合分别是， 则，解得或. 当时，不满足互异性，故舍去； 当时，满足题意. 所以 故答案为：. （六）根据集合的包含关系求参数 【典例】设，，，若，则（    ） A． B． C．2 D．0 【答案】D 【分析】根据集合的包含关系，结合集合的性质求参数a、b，即可求. 【详解】由知：，即，得， ∴. 故选：D. 【变式01】设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 【变式02】已知集合，，若，则实数a＝（    ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【答案】B 【分析】对于集合，元素对应的是一元二次方程的解，根据判别式得出必有两个不相等的实数根，又根据韦达定理以及，可确定出其中的元素，进而求解. 【详解】对于集合N，因为， 所以N中有两个元素，且乘积为-2， 又因为，所以， 所以．即a＝1． 故选：B. 【变式03】已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解出集合,再根据列不等式直接求解. 【详解】集合，. 要使，只需，解得：. 故选：A 题型03集合的基本运算 （一）集合的并集、交集运算 【典例】已知集合，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用列举法表示集合，再用交集的定义求出结果即可. 【详解】解：因为， 又有，所以. 故选：B 【变式01】若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合后可求. 【详解】，故， 故选：D 【变式02】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的定义域可求集合，再由集合的交集的定义可求解. 【详解】因为，又， 所以． 故选：C． 【变式03】已知集合，集合，则等于（    ） A． B． C．． D． 【答案】B 【分析】求出两直线的交点坐标，即可得解. 【详解】由，解得， 因为集合，集合， 所以. 故选：B （二）补集的运算 【典例】已知集合，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据全集的定义和运算即可求解. 【详解】由，， 得或. 故选：C. 【变式01】已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算，再计算补集得到答案. 【详解】，则. 故选：B 【变式02】已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简集合M，根据补集定义计算即可. 【详解】，. 故选：C. 【变式03】已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式求出集合，再求补集可得答案. 【详解】因为， 所以． 故选：C. （三）交、并、补的综合运算 【典例】已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简集合A，再利用并集和补集的运算求解. 【详解】解：由，得，故， 所以，，． 故选：B． 【变式】已知全集，集合，则集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算出，从而根据交集，并集和补集概念计算出四个选项，得到正确答案. 【详解】由题意知， ， A选项，，A错误； B选项，，B错误； C选项，，故，C错误； 所以. 故选：D. （四）根据集合的运算结果求参数 【典例】已知集合，，若，则实数的取值的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，列式分类讨论计算，然后将计算所得的结果代入集合验证. 【详解】集合，， 又∴或，解得或或， 当时，，，，符合题意 当时，，，，不符合题意 当时，，，不满足集合元素的互异性，不符合题意. ，则实数的取值的集合为. 故选：D. 【变式01】设集合，且，则（    ） A． B． C．8 D．6 【答案】C 【分析】化简集合A、B，根据交集的结果求参数即可. 【详解】由，可得或， 即或，而， ∵， ∴，可得. 故选：C 【变式02】已知全集为，集合，，若，求实数a的取值范围. 【答案】. 【分析】由可得，由此列出不等式求出的取值范围． 【详解】若，则， ∵，， ∴，解得， ∴实数的取值范围是. 【变式03】已知集合，若，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【分析】求函数的定义域求得集合，根据求得的取值范围. 【详解】由解得，所以， 由于，所以， 所以的取值范围是. 故答案为： 题型04韦恩图及其应用 【典例】已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图象可知阴影部分对应的集合为且，根据集合和集合即可求出结果. 【详解】因为， 易知图中阴影部分对应的集合为且，选项D正确， 故选：D 【变式01】设集合，则韦恩图中阴影部分表示的集合的真子集个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据图形求出集合中的元素，再根据真子集个数公式求解即可. 【详解】由图可知，韦恩图中阴影部分表示的集合中的元素属于集合，但不属于， 因为， 所以阴影部分表示的集合为， 所以其真子集个数为. 故选：B. 【变式02】已知全集是实数集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】解不等式求得集合，然后求得，进而求得，从而确定正确答案. 【详解】，解得或， 所以或， 图中白色区域为或， 则阴影部分表示的集合为. 故选：B 【变式03】已知集合，则下列Venn图中阴影部分可以表示集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 选项A中Venn图中阴影部分表示，不符合题意； 选项B中Venn图中阴影部分表示，符合题意； 选项C中Venn图中阴影部分表示，不符合题意； 选项D中Venn图中阴影部分表示，不符合题意， 故选：B 题型05集合的新定义问题 【典例】定义集合且，已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合新定义即可求解. 【详解】因为集合且，， 所以 故选：C 【变式01】定义集合运算，若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，从而可得或，或，再根据新定义得，再代入验证即可得答案. 【详解】解：因为， 所以或 所以或， 或 所以或， ， 代入验证， 故. 故选：D. 【变式02】对于两个非空实数集合和，我们把集合记作.若集合，则中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】，则，则中元素的个数为 故选：C 【变式03】定义集合，设集合，，则中元素的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的新定义求得，从而确定正确答案. 【详解】因为，， 所以， 故中元素的个数为. 故选：B. 题型06集合的综合应用 【典例】若，则，就称集合是“和谐集合”.任选集合的一个非空子集是“和谐集合”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意写出的所有非空子集中的所有和谐集合，求出的所有非空子集的个数，即可知任选集合的一个非空子集是“和谐集合”的概率. 【详解】∵集合，∴满足题意的集合为，，，，，，，∴集合的所有非空子集中“和谐集合”的个数为7. 又集合的所有非空子集的个数为，故所求概率为. 故选:B. 【变式01】已知集合，对它的非空子集，将中每个元素都乘以再求和，如，可求得和为，则对的所有非空子集，这些和的总和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析出对的所有非空子集中，、、、出现的次数，再结合题中定义可求得结果. 【详解】因为， 所以，集合中所有非空子集中含有的有类： （1）单元素的集合只有，即出现了次； （2）双元素的集合含有的有、、、，即出现了次； （3）三元素的集合中出现的次数等同于集合中含有个元素的子集个数，此时出现了次； 以此类推可知，元素的集合中出现的次数为集合中含有个元素的子集个数， 即出现了次. 因此，出现的次数为， 同理可知，、、、都出现了次， 因此，对的所有非空子集，这些和的总和为. 故选：D. 【变式02】等差数列中，. 若集合中仅有2个元素，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】设等差数列的公差为，由题设列出与的方程组，解出与，从而可得到，令，得出的单调性，即可求出的取值范围． 【详解】解：设等差数列的公差为， 由题设可知：， 解得：，， ， ， 令，则， 当时，， 当时，， （1）（2）（3）（4）， 又（1），（2），（3），（4）， 集合中有2个元素， 即集合中有2个元素， ，． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$