专题01 二次函数（考点清单，13考点&10题型&提升训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（浙教版）

清单01 二次函数（考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】二次函数的定义 1）定义：形如y＝ax²＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数．其中x是自变量，a，b，c分别是二次项系数、一次项系数和常数项． 2）一般形式：y＝ax²＋bx＋c（a≠ 0，a、b、c是常数） 注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0； （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项． 3）方法技巧：判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断． 除此之外，二次函数除有一般形式y＝ax²＋bx＋c（a≠ 0）外，还有其特殊形式如y＝ax2，y＝ax2＋bx， y＝ax2＋c等． 【清单02】待定系数法求二次函数的解析式 思路：分别将已知的x值对应的y值到代入到二次函数的一般形式当中，通过解方程组求出a，b，c的值，即可得到二次函数的一般形式解析式。 二次函数的值 在求出字母参数的前提下，得到的函数解析式，通过代入法将x代入其中，求出y的值 【清单03】二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． 【清单04】二次函数y＝ax2（a≠0）的特征 二次函数y＝ax2（a≠0）的图像是一条抛物线，它关于y轴对称，顶点是坐标原点，当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。 【清单05】y=ax²的图像的性质 小结：从二次函数的图象可以看出，对于抛物线 y = ax²来说， 越大，抛物线的开口越小 【清单06】y=ax²+c的图象的性质 总结：y=ax²+c（a≠0）与y=ax²（a≠0）的联系 二次函数y=ax²+c的图象可以由y=ax2的图象平移得到： 当c > 0 时,向上平移c个单位长度得到.当c < 0 时,向下平移c个单位长度得到. 【清单07】y=a（x-h）²的图象的性质 y=a(x-h)2 a>0 a<0 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 （h，0） （h，0） 最值 当x= h时，y取最小值0 当x= h时，y取最大值0 对称轴 直线x=h 直线x=h 增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的减小而减小。 总结： y=ax²（a≠0）与 y=a(x-h）²+c（a≠0）之间的关系 二次函数y=a(x-h)2的图象可以由y=ax2的图象平移得到： 当h > 0 时,向右平移h个单位长度得到.当h < 0 时,向左平移-h个单位长度得到. 左右平移规律：括号内左加右减；括号外不变 【清单07】二次函数 y=a(x-h)2+k（a ≠ 0）的性质 y=a(x-h)2+k a>0 a<0 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 （h，k） （h，k） 最值 当x=h时，y取最小值k 当x=h时，y取最大值k 增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的减小而减小。 图象形状 抛物线形状 开口大小 a的绝对值越大，开口越小 总结：一般地,函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象,可以由函数y=ax2的图象先向右(当h>0)或向左(当h<0)平移|h|个单位,再向上(当k>0)或向下(当k<0)平移|k|个单位得到,顶点是(h,k),对称轴是直线 x=h. 【清单08】二次函数 y=ax2+bx+c（a ≠ 0）的性质 对于二次函数的一般形式y=ax2+bx+c（a ≠ 0）,我们通过变形,可以将其转化为 y=a(x+)2+（a ≠ 0）.由此可见,函数y=ax2+bx+c（a ≠ 0）的图象与函数y=ax2（a ≠ 0）的图象的形状、开口方向均相同,只是位置不同,可以通过平移y=ax2（a ≠ 0）的图象得到. 一般地,函数y=ax2+bx+c（a ≠ 0）的图象有以下性质:二次函数y=ax2+bx+c（a ≠ 0）的图象是一条抛物线,它的对称轴是直线x=－,顶点坐标是（－，)当a>0时,抛物线的开4C口向上,顶点是抛物线上的最低点;当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线上的最高点. 【清单09】列二次函数解决实际问题的步骤： ①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式； ②以利于表示等量关系式为原则，设出2个变量，注意区分自变量和因变量（与一元二次方程不同的地方）； ③依据等量关系式和变量建立函数关系式，转化为二次函数问题； ④解决二次函数，并解答。 【清单10】实际问题中自变量的取值 （1）根据二次函数的性质知：函数的顶点为，故当时，函数取得最值， ①当a＞0时，时函数有最小值，最小值y= ②当a＜0时，时函数有最大值，最大值y= （2）在实际问题中，由于受自变量取值的限制，自变量有可能无法取到，这是就需要根据二次函数的性质进一步分析了。因此，在解决实际问题中，自变量的取值范围非常重要，必须要着重考虑． 【清单11】利润问题中的数量关系 （1）销售额= 售价×销售量；（2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量；（3）单件利润=售价-进价． 【清单12】求解最大利润问题的一般步骤 （1）建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量” （2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出． 【清单13】利用二次函数解决实物抛物线形问题 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤 （1）实际问题；（2）建立二次函数模型；（3）利用二次函数的图象和性质求解；（4）确定实际问题的解． 【考点题型一】二次函数的定义 【例1】下列函数关系式中： （1）（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；二次函数的个数有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】二次函数中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（  ） A．3、、 5 B． C．3、 、 D．3、、 【变式1-2】已知函数 (1)当为何值时，是的一次函数？ (2)当为何值时，是的二次函数？ 【考点题型二】二次函数的图像 【例2】函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】如果在二次函数的表达式y＝2x2＋bx＋c中，b>0，c<0，那么这个二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】已知二次函数． (1)用配方法求函数的顶点坐标； (2)补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象． x …… 0 1 …… y …… 0 5 9 …… (3)根据图象回答下列问题： ①当x________时，y随x的增大而减小； ②当x________时，函数y有最________值，是________； ③当时，x的取值范围是________； ④当时，y的取值范围是________． 【考点题型三】二次函数的性质 【例3】一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】下列关于抛物线的判断中，错误的是（　　） A．形状与抛物线相同 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时， 【变式3-2】已知二次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，则当时，的值为（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知函数，当时，y随x的增大而增大，则m的范围为 ． 【考点题型四】二次函数的图像与系数的关系 【例4】如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标，与轴的交点在，之间（包含端点），则下列结论：①；②；③对于任意实数，总成立；④关于的方程有两个不相等的实数根．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-1】如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数）．正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-2】二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中： ①； ②（为任意实数）； ③； ④若是抛物线上不同的两个点，则． 其中正确的结论有 ． 【变式4-3】已知二次函数图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点A的坐标为，其图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦关于x的一元二次方程的两个根是，．其中正确的是 （填序号）． 【考点题型五】二次函数图像的顶点、对称轴 【例5】关于二次函数的图象，下列说法正确的是 （    ） A．对称轴是直线 B．图象与x轴没有交点 C．顶点坐标为 D．当时， y随x的增大而减小 【变式5-1】若关于的一元二次方程没有实数根，则二次函数的图象的顶点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式5-2】二次函数的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图，二次函数的图象与轴交于，，下列说法错误的是（　　） A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 C．两点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 【考点题型六】二次函数图像与坐标轴的交点 【例6】下列函数的图象与坐标轴没有交点的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】抛物线 与x轴的交点坐标是 ． 【变式6-2】将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线与x轴交点的坐标是 【变式6-3】将抛物线向右平移个单位，所得抛物线与轴的交点的坐标是 ． 【变式6-4】二次函数的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，且与轴交于点． (1)求的值和点的坐标； (2)求的面积． 【考点题型七】二次函数的几何变化 【例7】函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，轴下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（    ） ①； ②； ③； ④； ⑤将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点． A．①②③ B．①④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤ 【变式7-1】函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，x轴下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是 ①；②；③； ④；⑤将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点． 【变式7-2】绕原点旋转，再向右平移3个单位长度，求新函数解析式为： ． 【变式7-3】将抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式为 ． 【变式7-4】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，按如图所示建立平面直角坐标系，抛物线向上平移2个单位长度得到抛物线，点在抛物线上，平移后点的对应点在抛物线上． (1)抛物线的顶点坐标为______； (2)点的坐标为：______； (3)图中阴影部分图形的面积为______． 【考点题型八】二次函数图像上点的坐标特征 【例8】已知抛物线上的两点和，那么下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】已知点，，都在二次函数的图象上，当时，y随着x的增大而增大，则，，的大小比较正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】已知和是抛物线上的两点，则和的大小关系是 ． 【变式8-3】若为二次函数图象上三点，则的大小关系为 ． 【考点题型九】二次函数的最值 【例9】若二次函数有最小值为，则的值为（  ） A． B． C． D． 【变式9-1】已知函数，为常数）的图象经过点，． (1)求b，c的值； (2)当时，求y的最大值与最小值之差； (3)当时，求y的最小值．（可用含k的代数式表示） 【变式9-2】已知y关于x的函数关系式中，自变量x的取值范围为． (1)当函数为时，y的最大值为______，y的最小值为______； (2)当函数为时，求y的最大值和最小值． 【考点题型十】用二次函数解决实际问题 【例10】如图，现打算用的篱笆围成一个矩形菜园（含隔离栏），菜园的一面靠墙，墙可利用的长度为（篱笆的宽度忽略不计），设的长为，菜园的面积为． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当菜园面积为时，求边的长． 【变式10-1】根据以下素材，探索完成任务． 如何设计喷水池喷头的安装方案？ 素材1：图1中有一个直径为的圆形喷水池，四周安装一圈喷头，喷射水柱呈抛物线型，1在水池中心处立着一个直径为的圆柱形实心石柱，各方向喷出的水柱在石柱顶音的中心点处汇合，如图2，水柱距水池中心处到达最高，高度为．    素材2：如图3，拟在水池里过水池中心的直线上安装一排直线型喷头（喷射水柱竖直向上，高度均为）；相邻两个直线型喷头的间距均为，且喷射的水柱不能碰到抛物线型水柱，要求在符合条件处都安装喷头，安装后关于成轴对称分布．    问题解决 任务1：确定水柱形状，在图2中建立合适的直角坐标系，任选一条抛物线求函数表达式． 任务2：确定石柱高度，在你所建立的坐标系中，确定水柱汇合点的纵坐标． 任务3：拟定设计方案，请给出符合所有要求的直线型喷头的安装数量，并根据你所建立的直角坐标系，求出离中心最远的两个直线型喷头的坐标． 【变式10-2】根据以下素材，探索完成任务 如何设计拱桥上救生圈的悬挂方案？ 素材1 图1是一座抛物线形拱桥，以抛物线两个水平最低点连线为x轴，抛物线离地面的最高点的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图2所示． 某时测得水面宽，拱顶离水面最大距离为，抛物线拱形最高点与x轴的距离为．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高． 素材2 为方便救助溺水者，拟在图1的桥拱上方栏杆处悬挂救生圈，如图3，救生圈悬挂点为了方便悬挂，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方，且相邻两救生圈悬挂点的水平间距为．为美观，放置后救生圈关于y轴成轴对称分布．（悬挂救生圈的柱子大小忽略不计） 任务1 确定桥拱形状 根据图2，求抛物线的函数表达式． 任务2 拟定设计方案 求符合悬挂条件的救生圈个数，并求出最右侧一个救生圈悬挂点的坐标． 任务3 探究救生绳长度 当水位达到最高时，上游个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间，若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边，求救生绳至少需要多长．（救生圈大小忽略不计，结果保留整数） 问题解决 (1)任务1：确定桥拱形状 根据图2，求抛物线的函数表达式． (2)任务2：拟定设计方案 求符合悬挂条件的救生圈个数，并求出最右侧一个救生圈悬挂点的坐标． (3)任务3：探究救生绳长度 当水位达到最高时，上游一个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间，若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边，求救生绳至少需要多长．（救生圈大小忽略不计，结果保留整数） 【变式10-3】小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各40盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，调研发现： ①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元； ②花卉的平均每盆利润始终不变． 小明计划第二期培植盆景与花卉共80盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为（单位：元） (1)用含x的代数式分别表示，； (2)当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？ 【变式10-4】如图，某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点30米时达到最大高度40米．将发石车置于山坡底部处，山坡上有一点，点与点的水平距离为50米，与地面的竖直距离为10米，是高度为9米的防御墙．若以点为原点，建立如图2的平面直角坐标系． (1)求石块运动轨迹所在抛物线的解析式； (2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙； (3)在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面的最大距离． 【变式10-5】如图，某滑雪比赛滑道分为四段区域，运动员从助滑区的台端点出发，在助滑道上获得高速度，至跳台区依靠惯性配合身体动作跃向空中，从跳台区的末端点飞出后，身体以抛物线轨迹在空中飞行，最后落在着陆区斜坡上，并在终点区上停留等待裁判根据运动员的飞行距离和动作完美情况来评分． 已知着陆区斜坡的坡度均匀，的垂直高度为，水平距离为．某位运动员的一次动作中，在离开跳台末端点后水平前进了时，高度恰好升高了达到抛物线的最高点．    (1)请你建立合适的平面直角坐标系，并写出抛物线的表达式； (2)运动员在着陆区斜坡上着陆，可以利用斜坡的角度进行有效的缓冲，若在终点区上着陆，则会增加受伤风险．请你判断这位运动员此次动作会在哪个区域着陆，并说明理由． 1．将二次函数化为一般形式后，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 3．二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为实数）．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，平行于x轴的直线分别交抛物线与于B、C两点，过点C作y轴的平行线交于点D，直线，交于点E，则（   ） 如图， A． B． C． D．3 5．我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，下列结论正确的是（    ） 我 A．当时，函数的最大值是4 B．函数值随的增大而增大，则 C．关于的方程的所有实数根的和为4 D．当直线与该图象恰有三个公共点时，则 6．已知抛物线（为常数，且）经过点，，下列结论：；②该抛物线的对称轴为直线；③若点，，都在该抛物线上，则；④关于x的方程的解为，．其中正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．根据表中的自变量x与函数y的对应值，可判断此函数解析式为（   ） x … 0 1 2 … y … 2 … A． B． C． D． 8．二次函数的图象如何平移可得到的图象（    ） A．向左平移2个单位，向上平移9个单位 B．向右平移2个单位，向上平移9个单位 C．向左平移2个单位，向下平移9个单位 D．向右平移2个单位，向下平移9个单位 9．已知二次函数的图象与轴的正半轴交于点，点，与的正半轴交于点且，，那么的值为（　　） A． B． C． D． 10．如图，为正方形的中心，分别为的中点，，点从点出发沿方向匀速运动，同时点从点出发沿方向匀速运动，两点运动速度相等，当点运动到点时，两点同时停止运动．设点运动的路程为的面积为，则随变化的函数图象大致是（    ）    A．   B．   C．   D．   11．原价为160元的电器连续两次降价后的价格为y元，若平均每次降价的百分率是x，则y与x的函数表达式为 ． 12．抛物线的图象交y轴于点A，点A关于x轴的对称点为点B． （1）点B坐标为 ； （2）点，，且线段与抛物线恰有一个公共点，则m的取值范是 ． 13．设抛物线过，，三点，其中点在直线上，且点到抛物线的对称轴的距离等于，则抛物线的表达式为 ． 14．如图，某涵洞的截面是抛物线形状，抛物线在如图所示的平面直角坐标系中，对应的函数解析式为，当涵洞水面宽为16m时，涵洞顶点O至水面的距离为 ．    15．小明在一次投篮过程中，篮球在空中的高度h （单位：米）与在空中飞行的时间 t （单 位：秒）满足函数关系：，当篮球在空中的飞行时间 秒时，篮球距离地面最高． 16．已知抛物线． (1)证明：不论m为何值，抛物线与x轴总有两个不同的交点； (2)若该抛物线经过坐标原点，且对称轴在y轴的右侧，则m的值为______． (3)若O为坐标原点，该抛物线与y轴交于点C，当时，在该抛物线的对称轴上找一点P，使得的和最小，则P点的坐标为_______． 17．如图①，已知抛物线经过点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)把抛物线向上平移，使得顶点落在轴上，求两条抛物线、对称轴和轴围成的图形的面积（图②中阴影部分）． (4)求当时，求函数值的取值范围． 18．如图，抛物线与y轴交于点A，过点A作与x轴平行的直线，交抛物线相交于点B、C（点B在点C的左面），若，求m的值． 19．如图，学校打算用长为的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园一面靠墙（篱笆只需围三面，为宽）．    (1)写出长方形的面积y（单位： ）与宽x（单位：）之间的函数解析式； (2)当x为何值时，长方形的面积最大？最大面积为多少？ 20．有一种玩具叫“不倒翁”．有的“不倒翁”造型分为上下两个部分，如图，其下半部分的纵截面边缘近似形成一条抛物线的一部分．将“不倒翁”立在矩形桌面上，如图（2），最低点A距离矩形桌面左边缘，此时，粘在玩具上的标签点距桌面的铅直距离和距桌面左边缘的水平距离均为．已知“不倒翁”的下半部分的最高点距桌面的铅直距离为． (1)设“不倒翁”玩具下半部纵截面边缘上的点与桌面左边缘的水平距离为，与桌面的铅直距离为，建立的平面直角坐标系，使点的坐标为，直接在图中画出平面直角坐标系，并求出与 的函数关系式； (2)通过计算说明“不倒翁”左右摇动时，是否有一部分会超出桌子左边缘？ (3)如图，现要在“不倒翁”玩偶的下半部分画一些平行于桌面的装饰带，且每两条相邻装饰带的长度之差为，请直接写出最多可画出几条装饰带（不计装饰带的宽度）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 二次函数（考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】二次函数的定义 1）定义：形如y＝ax²＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数．其中x是自变量，a，b，c分别是二次项系数、一次项系数和常数项． 2）一般形式：y＝ax²＋bx＋c（a≠ 0，a、b、c是常数） 注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0； （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项． 3）方法技巧：判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断． 除此之外，二次函数除有一般形式y＝ax²＋bx＋c（a≠ 0）外，还有其特殊形式如y＝ax2，y＝ax2＋bx， y＝ax2＋c等． 【清单02】待定系数法求二次函数的解析式 思路：分别将已知的x值对应的y值到代入到二次函数的一般形式当中，通过解方程组求出a，b，c的值，即可得到二次函数的一般形式解析式。 二次函数的值 在求出字母参数的前提下，得到的函数解析式，通过代入法将x代入其中，求出y的值 【清单03】二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． 【清单04】二次函数y＝ax2（a≠0）的特征 二次函数y＝ax2（a≠0）的图像是一条抛物线，它关于y轴对称，顶点是坐标原点，当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。 【清单05】y=ax²的图像的性质 小结：从二次函数的图象可以看出，对于抛物线 y = ax²来说， 越大，抛物线的开口越小 【清单06】y=ax²+c的图象的性质 总结：y=ax²+c（a≠0）与y=ax²（a≠0）的联系 二次函数y=ax²+c的图象可以由y=ax2的图象平移得到： 当c > 0 时,向上平移c个单位长度得到.当c < 0 时,向下平移c个单位长度得到. 【清单07】y=a（x-h）²的图象的性质 y=a(x-h)2 a>0 a<0 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 （h，0） （h，0） 最值 当x= h时，y取最小值0 当x= h时，y取最大值0 对称轴 直线x=h 直线x=h 增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的减小而减小。 总结： y=ax²（a≠0）与 y=a(x-h）²+c（a≠0）之间的关系 二次函数y=a(x-h)2的图象可以由y=ax2的图象平移得到： 当h > 0 时,向右平移h个单位长度得到.当h < 0 时,向左平移-h个单位长度得到. 左右平移规律：括号内左加右减；括号外不变 【清单07】二次函数 y=a(x-h)2+k（a ≠ 0）的性质 y=a(x-h)2+k a>0 a<0 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 （h，k） （h，k） 最值 当x=h时，y取最小值k 当x=h时，y取最大值k 增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的减小而减小。 图象形状 抛物线形状 开口大小 a的绝对值越大，开口越小 总结：一般地,函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象,可以由函数y=ax2的图象先向右(当h>0)或向左(当h<0)平移|h|个单位,再向上(当k>0)或向下(当k<0)平移|k|个单位得到,顶点是(h,k),对称轴是直线 x=h. 【清单08】二次函数 y=ax2+bx+c（a ≠ 0）的性质 对于二次函数的一般形式y=ax2+bx+c（a ≠ 0）,我们通过变形,可以将其转化为 y=a(x+)2+（a ≠ 0）.由此可见,函数y=ax2+bx+c（a ≠ 0）的图象与函数y=ax2（a ≠ 0）的图象的形状、开口方向均相同,只是位置不同,可以通过平移y=ax2（a ≠ 0）的图象得到. 一般地,函数y=ax2+bx+c（a ≠ 0）的图象有以下性质:二次函数y=ax2+bx+c（a ≠ 0）的图象是一条抛物线,它的对称轴是直线x=－,顶点坐标是（－，)当a>0时,抛物线的开4C口向上,顶点是抛物线上的最低点;当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线上的最高点. 【清单09】列二次函数解决实际问题的步骤： ①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式； ②以利于表示等量关系式为原则，设出2个变量，注意区分自变量和因变量（与一元二次方程不同的地方）； ③依据等量关系式和变量建立函数关系式，转化为二次函数问题； ④解决二次函数，并解答。 【清单10】实际问题中自变量的取值 （1）根据二次函数的性质知：函数的顶点为，故当时，函数取得最值， ①当a＞0时，时函数有最小值，最小值y= ②当a＜0时，时函数有最大值，最大值y= （2）在实际问题中，由于受自变量取值的限制，自变量有可能无法取到，这是就需要根据二次函数的性质进一步分析了。因此，在解决实际问题中，自变量的取值范围非常重要，必须要着重考虑． 【清单11】利润问题中的数量关系 （1）销售额= 售价×销售量；（2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量；（3）单件利润=售价-进价． 【清单12】求解最大利润问题的一般步骤 （1）建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量” （2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出． 【清单13】利用二次函数解决实物抛物线形问题 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤 （1）实际问题；（2）建立二次函数模型；（3）利用二次函数的图象和性质求解；（4）确定实际问题的解． 【考点题型一】二次函数的定义 【例1】下列函数关系式中： （1）（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；二次函数的个数有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（a，b，c为常数，）的函数叫做二次函数．判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a，b，c为常数，）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是． 【详解】解：（1）是二次函数； （2）不是二次函数； （3）是二次函数； （4）不是二次函数； （5）不是二次函数； （6），不确定m是否为0，不一定是二次函数； 故选：B． 【变式1-1】二次函数中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（  ） A．3、、 5 B． C．3、 、 D．3、、 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的一般形式，所以此题可根据二次函数的一般形式“形如”进行求解即可． 【详解】解∶ 二次函数中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是3、 、 ， 故选∶C． 【变式1-2】已知函数 (1)当为何值时，是的一次函数？ (2)当为何值时，是的二次函数？ 【答案】(1)当时，是的一次函数； (2)当时，是的二次函数． 【分析】（）根据一次函数的定义即可求解； （）根据二次函数的定义解答即可求解； 本题考查了一次函数和二次函数，掌握一次函数和二次函数的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， ∴当时，是的一次函数； （2）解：由题意得，， ∴， ∴当时，是的二次函数． 【考点题型二】二次函数的图像 【例2】函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象，先根据一次函数的图象判断的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，即可得出答案，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线与y轴交于点， A、由可得，则，故抛物线开口向上，即对称轴，符合题意； B、由可得，则，故抛物线开口向上，即对称轴，不符合题意； C、由可得，则，故抛物线开口向下，即对称轴，不符合题意； D、由可得，则，故抛物线开口向上，即对称轴，不符合题意； 故选：A． 【变式2-1】如果在二次函数的表达式y＝2x2＋bx＋c中，b>0，c<0，那么这个二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由a=2，b>0，c<0，推出-<0，可知抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的左边，交y轴于负半轴，由此即可判断． 【详解】解：∵a=2，b>0，c<0， ∴-<0， ∴抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的左边，交y轴于负半轴， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题． 【变式2-2】二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与各系数的关系，掌握数形结合思想成为解题的关键． 先根据抛物线的位置确定的符号，从而确定反比例函数、一次函数的图象位置即可解答． 【解答】解：由抛物线的图象可知，横坐标为1的点，即在第四象限，因此； ∴双曲线的图象在第二、四象限； 由于抛物线开口向上，所以； 对称轴，所以； 抛物线与x轴有两个交点，故； ∴直线经过第一、二、四象限． 故选：D． 【变式2-3】已知二次函数． (1)用配方法求函数的顶点坐标； (2)补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象． x …… 0 1 …… y …… 0 5 9 …… (3)根据图象回答下列问题： ①当x________时，y随x的增大而减小； ②当x________时，函数y有最________值，是________； ③当时，x的取值范围是________； ④当时，y的取值范围是________． 【答案】(1) (2)见详解 (3)①；②，大，9；③；④ 【分析】本题考查了作二次函数的图象以及图象性质，运用数形结合思想是解题的关键． （1）依题意，，即可作答； （2）运用二次函数的对称性，并补齐表格以及作图，进行作答即可； （3）结合（2）的图象，运用数形结合思想进行作答即可． 【详解】（1）解：依题意， ∴函数的顶点坐标 （2）解：依题意， ∵ ∴函数的对称轴是 和关于对称轴直线对称 以及和关于对称轴直线对称 ∴当，则；当，则 补全表格， x …… 0 1 …… y …… 0 5 9 5 0 …… 并在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象．如图所示： （3）解：根据图象回答下列问题： ①当时，y随x的增大而减小； ②当时，函数y有最大值，是9； ③当时，x的取值范围是 ④当时，， 当，则；当，则； 当时，y的取值范围是 【考点题型三】二次函数的性质 【例3】一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的形状、开口方向与抛物线相同得出，再结合顶点为即可得解． 【详解】解：∵一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为， ∴此抛物线的解析式为， 故选：B． 【变式3-1】下列关于抛物线的判断中，错误的是（　　） A．形状与抛物线相同 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、抛物线形状与相同，此选项不符合题意； B、抛物线对称轴，此选项不符合题意． C、对于抛物线，由于，当时，函数值y随x值的增大而减小，此选项错误，符合题意； D、抛物线，抛物线开口向下，抛物线与x轴的交点为，所以当时，，此选项不符合题意． 故选：C． 【变式3-2】已知二次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，则当时，的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据题意得到对称轴为，即可得到解析式为，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，二次函数的对称轴为， ， ， 将代入，得， 故选B． 【变式3-3】已知函数，当时，y随x的增大而增大，则m的范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，熟记二次函数的性质是解题的关键．根据题干条件结合二次函数的性质解题即可． 【详解】解：，当时，y随x的增大而增大， ， 故答案为：． 【考点题型四】二次函数的图像与系数的关系 【例4】如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标，与轴的交点在，之间（包含端点），则下列结论：①；②；③对于任意实数，总成立；④关于的方程有两个不相等的实数根．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本次主要考查了二次函数图像与性质，准确的找出隐含的等量关系和利用数形结合的思想是解题关键．根据抛物线图像的性质得到的范围，根据对称轴和轴上的点可得到两个等量关系，变形替换从而可以判断①②，根据顶点最高可得到③符合题意，由数形结合可得到④不符合题意． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵抛物线顶点坐标为， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，故①符合题意； ∵在抛物线上， ∴， ∴， ∴， ∵与轴的交点在，，之间包含端点， ∴， ∴， ∴，故②符合题意； ∵顶点坐标 ，抛物线开口向下， ∴当时，y有最大值，最大值为， ∴对于任意实数，， ∴， ∴，故③符合题意； ∵顶点坐标，且开口向下， ∴直线与抛物线没有交点， ∴关于的方程没有实数根，故④不符合题意． 故选：C． 【变式4-1】如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数）．正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据顶点坐标，数形结合思想，抛物线的性质计算判断即可． 本题考查了抛物线的性质，抛物线与不等式的关系，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴； ∵对称轴在原点的右边， ∴， ∴，， ∴， ∴①正确； ∵抛物线与x轴交于，两点， ∴， ∴③正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∵，， ∴， 解得，故②正确； ∵时函数取最小值， 且 当时， 函数， 故； ∴， ∴， ∴，故⑤错误； 故选D． 【变式4-2】二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中： ①； ②（为任意实数）； ③； ④若是抛物线上不同的两个点，则． 其中正确的结论有 ． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题时要熟练掌握二次函数的性质并能数形结合是关键． 依据题意，由抛物线图象与性质，即可逐个判断得解． 【详解】解：由题意，抛物线开口向下， ． 又抛物线的对称轴是直线， ． 又抛物线交轴正半轴， 当时，． ，故①正确． 由题意，当时，取最大值为， 对于抛物线上任意的点对应的函数值都． 对于任意实数，当时，． ，故②正确． 由图象可得，当时，， 又， ，故③正确． 由题意抛物线为， ，故④错误． 综上，正确的有①②③共2个． 故答案为：①②③． 【变式4-3】已知二次函数图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点A的坐标为，其图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦关于x的一元二次方程的两个根是，．其中正确的是 （填序号）． 【答案】②③④⑥⑦ 【分析】根据抛物线的开口方向、与x轴交点个数、对称轴、增减性逐个进行判断，得出答案． 【详解】∵二次函数的图象开口向上，与y轴的交点在y轴负半轴上， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵二次函数的图象与x轴有两个不同的交点， ∴，故②正确； 根据图象可知，当时，， ∴，故③正确； ∵二次函数的图象与x轴的一个交点的坐标为， ∴， ∴，故④正确； ∵， ∴，故⑤错误； 根据图象可知，当时，， ∴，故⑥正确； ∵二次函数的对称轴为直线，二次函数的图象与x轴的一个交点的坐标为， ∴二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标为， ∴关于x的一元二次方程的两个根是，，故⑦正确． 综上所述，正确的有②③④⑥⑦． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线与x轴的交点，熟练掌握抛物线的对称性是解决问题的关键． 【考点题型五】二次函数图像的顶点、对称轴 【例5】关于二次函数的图象，下列说法正确的是 （    ） A．对称轴是直线 B．图象与x轴没有交点 C．顶点坐标为 D．当时， y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点以及二次函数的图象性质，解题关键是掌握二次函数图象性质． 根据二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴及顶点坐标，逐项判定即可． 【详解】解：A．，二次函数的对称轴为直线，故此选项不符合题意； B．∵，抛物线与轴没有交点，故此选项符合题意； C．，顶点坐标为，故此选项不符合题意； D．抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式5-1】若关于的一元二次方程没有实数根，则二次函数的图象的顶点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】此题主要考查了抛物线与轴交点问题与判别式的关系和二次函数的性质，由的一元二次方程没有实数根得，结合配成顶点式即可，熟练掌握时，一元二次方程有两个不相等的实数根；时，一元二次方程有两个相等的实数根；时，一元二次方程无实数根是解题的关键. 【详解】解：∵关于的一元二次方程没有实数根， ∴， ∴， 由， ∴顶点坐标为， ∵， ∴， ∴二次函数的图象的顶点在第一象限， 故选：． 【变式5-2】二次函数的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，利用配方法把二次函数一般式转化为顶点式即可求解，掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴二次函数的顶点坐标是， 故选：． 【变式5-3】如图，二次函数的图象与轴交于，，下列说法错误的是（　　） A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 C．两点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，把代入函数解析式可得，据此可得抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，即可判断；把代入函数解析式求出点坐标即可判断；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，的值随值的增大而增大， 故正确，错误； 令，则， 解得，， ∴， ∴两点之间的距离为， 故正确，不合题意； 故选：． 【考点题型六】二次函数图像与坐标轴的交点 【例6】下列函数的图象与坐标轴没有交点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，解题的关键是掌握所学函数的性质进行判断．根据反比例函数的图像和性质，二次函数的图象和性质，一次函数的图像和性质，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、是一次函数，与x轴交于点，与y轴有交点，故此选项不符合题意； B、是二次函数，由知其图象与轴没有交点，但与轴有交点，故此选项不符合题意； C、是反比例函数，与坐标轴没有交点，故此选项符合题意； D、是二次函数，由知其图象顶点为，开口向上，与轴有两个交点，与y轴有一个交点，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式6-1】抛物线 与x轴的交点坐标是 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了抛物线与坐标轴交点求法，利用抛物线与坐标轴交点坐标求法得出即可． 【详解】∵时，， 解得：，， ∴与x轴的交点坐标为：． 故答案为：． 【变式6-2】将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线与x轴交点的坐标是 【答案】 【分析】本题考查了函数图象的平移，函数与坐标轴交点情况，解题的关键是掌握函数图象的平移规律．根据函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”求出平移后的解析式，令，进而即可得平移后抛物线与x轴交点的坐标． 【详解】解：抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得： 平移后的解析式为：， 令，则， 解得：， 平移后抛物线与x轴交点的坐标是， 故答案为：． 【变式6-3】将抛物线向右平移个单位，所得抛物线与轴的交点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图像与几何变换，掌握二次函数的平移规律是解题的关键．先根据二次函数的平移规律得到向右平移个单位后的抛物线解析式，再令，即可求解． 【详解】解：将抛物线向右平移个单位， 得到抛物线的解析式为：， 令，则， 平移后的抛物线与轴的交点的坐标是， 故答案为：． 【变式6-4】二次函数的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，且与轴交于点． (1)求的值和点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先将已知交点坐标代入二次函数的解析式求出的值，然后求抛物线与轴的交点坐标，通过解一元二次方程，就可以求出另一个交点坐标； （2）由（1）中的函数解析式求得点的坐标，进而求得的长度，然后根据点、的坐标求得线段的长度，最后根据三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】（1）解：二次函数的图象与轴的一个交点为， ， 解得：， 该二次函数的解析式为， 当时，， 即：， 分解因式，得：， 解得：，， 点的坐标为； （2）解：如图， 由（1）可知：， 当时，， 点的坐标为， ， 又，， ， ， 即：的面积是． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解一元一次方程，求抛物线与轴的交点坐标，因式分解法解一元二次方程，求抛物线与轴的交点坐标，已知两点坐标求两点距离，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握上述知识点并能加以综合运用是解题的关键． 【考点题型七】二次函数的几何变化 【例7】函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，轴下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（    ） ①； ②； ③； ④； ⑤将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点． A．①②③ B．①④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤ 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．根据图象判断出对称轴的位置，再利用二次函数的对称轴公式，即可得到，故①正确；由图象可判断二次函数与y轴的交点为，即，故②错误；根据图象判断，，结合，可知，故③正确；当时，，结合可判断④正确；求出原二次函数的表达式，即可判断函数顶点的坐标，可以得到将图象向上平移1个单位后，函数顶点的坐标为，继而得出直线与平移后的函数图象有3个交点，故⑤正确． 【详解】解：图象经过，， 抛物线的对称轴为直线， ， ，即，故①正确； ， 抛物线与轴交点在轴下方， ，故②错误； ， ， ，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 即，故④正确； ∵将点和代入， ∴，解得， ∴二次函数的表达式为：， ∵当时，， ∴图象上当时，函数顶点的坐标为， ∴将图象向上平移1个单位后，函数顶点的坐标为，如图所示：    故⑤正确； 综上：正确的有①③④⑤， 故选：D 【变式7-1】函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，x轴下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是 ①；②；③； ④；⑤将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点． 【答案】①③④⑤ 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．根据图象判断出对称轴的位置，再利用二次函数的对称轴公式，即可得到，故①正确；由图象可判断二次函数与y轴的交点为，即，故②错误；根据图象判断，，结合，可知，故③正确；当时，，结合可判断④正确；求出原二次函数的表达式，即可判断函数顶点的坐标，可以得到将图象向上平移1个单位后，函数顶点的坐标为，继而得出直线与平移后的函数图象有3个交点，故⑤正确． 【详解】解：图象经过，， 抛物线的对称轴为直线， ， ，即，故①正确； ， 抛物线与轴交点在轴下方， ，故②错误； ， ， ，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 即，故④正确； ∵将点和代入， ∴，解得， ∴二次函数的表达式为：， ∵当时，， ∴图象上当时，函数顶点的坐标为， ∴将图象向上平移1个单位后，函数顶点的坐标为，如图所示：    故⑤正确； 综上：正确的有①③④⑤， 故答案为：①③④⑤． 【变式7-2】绕原点旋转，再向右平移3个单位长度，求新函数解析式为： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握二次函数的图象旋转和平移变换规律“左加右减、上加下减”是解答的关键． 根据旋转的性质和平移变换规律“左加右减、上加下减”即可得出答案． 【详解】解：把抛物线绕原点旋转，开口方向变为相反数，故变为，对称轴直线变为相反数，故不变，变为，可得：， 再向右平移3个单位长度， 得到抛物线的解析式是， 故答案为：． 【变式7-3】将抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是抛物线的平移，掌握“抛物线的平移规律”是解本题的关键．抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，根据平移规律直接作答即可． 【详解】解：抛物线先向左平移1个单位，再向下平移1个单位后，所得抛物线的表达式是： 即． 故答案为：． 【变式7-4】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，按如图所示建立平面直角坐标系，抛物线向上平移2个单位长度得到抛物线，点在抛物线上，平移后点的对应点在抛物线上． (1)抛物线的顶点坐标为______； (2)点的坐标为：______； (3)图中阴影部分图形的面积为______． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】此题考查了二次函数的平移、二次函数的图象和性质， （1）根据平移规律得到函数解析式，再化为顶点式，求出顶点坐标即可； （2）根据平移规律写出坐标即可； （3）根据平移和二次函数的图象可知图中阴影部分图形是一个边长为2的正方形和一个底为2高为1的平行四边形，据此求出面积即可. 【详解】（1）解：∵抛物线向上平移2个单位长度得到抛物线， ∴抛物线的解析式是， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为； 故答案为： （2）∵点在抛物线上，平移后点的对应点在抛物线上． ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 故答案为： （3）根据平移规律和二次函数的图象可知， 图中阴影部分图形是一个边长为2的正方形和一个底为2高为1的平行四边形，故阴影部分图形的面积为：. 故答案为： 【考点题型八】二次函数图像上点的坐标特征 【例8】已知抛物线上的两点和，那么下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．由解析式求得二次函数图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，然后根据、到对称轴的距离的大小即可判断． 【详解】解：， 二次函数图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 和， ， ， 故选：C． 【变式8-1】已知点，，都在二次函数的图象上，当时，y随着x的增大而增大，则，，的大小比较正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质等知识点，根据二次函数的解析式得出图象的对称轴是直线，结合题意得出抛物线开口向上，再将点求得关于对称轴对称的点，利用增减性即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴图象的对称轴是直线， ∵当时，y随着x的增大而增大， ∴， ∴点关于直线的对称点是， ∵， ∴， 故选：C． 【变式8-2】已知和是抛物线上的两点，则和的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数性质．熟练掌握二次函数的开口方向，对称轴，增减性，是解决问题的关键． 根据抛物线的开口向上，对称轴为直线，得到当时，y随x的增大而增大，根据和，得到． 【详解】∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵和在抛物线上，且， ∴． 故答案为：． 【变式8-3】若为二次函数图象上三点，则的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，然后通过比较三个点到对称轴的远近确定函数值的大小． 【详解】解：∵二次函数图象开口向上，对称轴为直线，而到直线的距离最远，到直线的距离最近， ∴， 故答案为： 【考点题型九】二次函数的最值 【例9】若二次函数有最小值为，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．把二次函数的一般式化为顶点式，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得： ， ∵，即开口向上， ∴当时，二次函数有最小值， ∵二次函数有最小值为， ∴，解得：； 故选． 【变式9-1】已知函数，为常数）的图象经过点，． (1)求b，c的值； (2)当时，求y的最大值与最小值之差； (3)当时，求y的最小值．（可用含k的代数式表示） 【答案】(1)， (2)当时，求的最大值与最小值之差为9 (3)y的最小值为或． 【分析】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的特点，并用分类讨论思想分析计算求值是解本题的关键，综合性较强，难度适中． （1）是与轴的交点，可得，再将代入求值，可求得的值； （2）根据二次函数的解析式；当时，仅当时，取得最大值；仅当时，取得最小值；再计算的最大值与最小值之差； （3）分类讨论：当时及当时，根据函数特点，计算求出y的最小值． 【详解】（1）函数，为常数）的图象经过点，， ，， 将点代入可得：，解得：， ，； （2）， 当时， ①仅当时，取得最小值，此时； ②仅当时，取得最大值，此时； ， 当时，求的最大值与最小值之差为9； （3）， 当时，则在时，y随x的增大而减小， 当时，y有最小值，最小值为； 当时，则在时，抛物线的顶点在图象上处于最低点， 当时，y有最小值，最小值为； 综上所述，y的最小值为或． 【变式9-2】已知y关于x的函数关系式中，自变量x的取值范围为． (1)当函数为时，y的最大值为______，y的最小值为______； (2)当函数为时，求y的最大值和最小值． 【答案】(1)3；1 (2)，12 【分析】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． （1）根据一次函数的增减性求解即可； （2）根据二次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴当时，是最大值； 当时，是最小值． 故答案为：3；1； （2）解：∵抛物线 ∴对称轴为直线， ∵， 当时，是最小值； 当时，是最大值． 【考点题型十】用二次函数解决实际问题 【例10】如图，现打算用的篱笆围成一个矩形菜园（含隔离栏），菜园的一面靠墙，墙可利用的长度为（篱笆的宽度忽略不计），设的长为，菜园的面积为． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当菜园面积为时，求边的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次函数的应用，一元二次方程的应用； （1）设的长为，菜园的面积为，再利用矩形的面积建立函数关系式即可； （2）结合（1）的关系式，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设的长为，菜园的面积为． ∴； （2）解：当菜园面积为时， ∴， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意舍去， 当时，，符合题意， ∴边的长为． 【变式10-1】根据以下素材，探索完成任务． 如何设计喷水池喷头的安装方案？ 素材1：图1中有一个直径为的圆形喷水池，四周安装一圈喷头，喷射水柱呈抛物线型，1在水池中心处立着一个直径为的圆柱形实心石柱，各方向喷出的水柱在石柱顶音的中心点处汇合，如图2，水柱距水池中心处到达最高，高度为．    素材2：如图3，拟在水池里过水池中心的直线上安装一排直线型喷头（喷射水柱竖直向上，高度均为）；相邻两个直线型喷头的间距均为，且喷射的水柱不能碰到抛物线型水柱，要求在符合条件处都安装喷头，安装后关于成轴对称分布．    问题解决 任务1：确定水柱形状，在图2中建立合适的直角坐标系，任选一条抛物线求函数表达式． 任务2：确定石柱高度，在你所建立的坐标系中，确定水柱汇合点的纵坐标． 任务3：拟定设计方案，请给出符合所有要求的直线型喷头的安装数量，并根据你所建立的直角坐标系，求出离中心最远的两个直线型喷头的坐标． 【答案】任务1：；任务2：；任务3：，． 【分析】（1）以点O为原点建立如图所示直角坐标系，选择第一象限内的抛物线的解析式进行求解，设出抛物线的顶点式，再将代入即可得出结论； （2）令上述抛物线解析式，求出y的值即可得出结论； （3）令上述抛物线解析式，可求出x的值，再根据对称性可分别求出两端的喷头坐标． 本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键． 【详解】任务1：以点O为原点建立如图所示的坐标系，    选择第一象限的抛物线表达式进行求解： 由题意可知该抛物线顶点坐标为，， 故设抛物线的解析式为， 把代入解析式，得， 解得， ∴抛物线的解析式为． 任务2：解：∵， ∴时，， 故点M的纵坐标为． 任务3：解：∵， ∴时，， 解得（舍去）， ∵在符合条件处都安装喷头，安装后关于成轴对称分布，且圆柱的半径为，相邻两个高度为直线型喷头的间距均为， ∴， ∵ ∴第一根安装在距离圆柱中心的处，其余安装的有效长度为，    ∴还能安装根， ∵根数必须是整数， ∴最多安装6根， 这样在圆柱的右侧最多安装7根，且第七根喷柱距离圆柱中心距离为， 故最右端的喷头坐标为，根据对称性，得最左端的喷头坐标为． 【变式10-2】根据以下素材，探索完成任务 如何设计拱桥上救生圈的悬挂方案？ 素材1 图1是一座抛物线形拱桥，以抛物线两个水平最低点连线为x轴，抛物线离地面的最高点的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图2所示． 某时测得水面宽，拱顶离水面最大距离为，抛物线拱形最高点与x轴的距离为．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高． 素材2 为方便救助溺水者，拟在图1的桥拱上方栏杆处悬挂救生圈，如图3，救生圈悬挂点为了方便悬挂，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方，且相邻两救生圈悬挂点的水平间距为．为美观，放置后救生圈关于y轴成轴对称分布．（悬挂救生圈的柱子大小忽略不计） 任务1 确定桥拱形状 根据图2，求抛物线的函数表达式． 任务2 拟定设计方案 求符合悬挂条件的救生圈个数，并求出最右侧一个救生圈悬挂点的坐标． 任务3 探究救生绳长度 当水位达到最高时，上游个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间，若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边，求救生绳至少需要多长．（救生圈大小忽略不计，结果保留整数） 问题解决 (1)任务1：确定桥拱形状 根据图2，求抛物线的函数表达式． (2)任务2：拟定设计方案 求符合悬挂条件的救生圈个数，并求出最右侧一个救生圈悬挂点的坐标． (3)任务3：探究救生绳长度 当水位达到最高时，上游一个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间，若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边，求救生绳至少需要多长．（救生圈大小忽略不计，结果保留整数） 【答案】(1) (2)桥面可挂6个， (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，勾股定理： （1）如图，知抛物线关于y轴对称，设解析式为，待定系数法求解得． （2）抛物线，得与横轴交点，相邻两救生圈悬挂点的水平间距为，且关于y轴成轴对称，由，得桥面可挂6个． （3）如图，当水位达到最高时，水位线为，当时，，，，勾股定理求得中，． 【详解】（1）如图，知抛物线关于y轴对称，设解析式为，抛物线经过，，得，解得 ∴． （2）解：在，当，，解得或， ∴点    如题，相邻两救生圈悬挂点的水平间距为，且关于y轴成轴对称， ∵ ∴左侧可挂3个， 由对称性只看右面，右面可挂3个，则此时最中间的两个救生圈的水平距离为，符合题意， ∴桥面一共可以挂6个救生圈，最右侧位于点上方处，即该点的坐标为． （3）解：如图，当水位达到最高时，水位线为， 救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方，当时，，，， 中，， ∴绳长至少需． 【变式10-3】小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各40盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，调研发现： ①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元； ②花卉的平均每盆利润始终不变． 小明计划第二期培植盆景与花卉共80盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为（单位：元） (1)用含x的代数式分别表示，； (2)当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？ 【答案】(1)， (2)当时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是7625元； 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，二次函数的性质； （1）第二期培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期培植盆景盆，花卉盆，根据盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元，花卉的平均每盆利润始终不变，即可得到利润与x的关系式； （2）由可得关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可得． 【详解】（1）解：由题意可得：， 即 ； （2）解： ； 且x是整数， ∴当或16时，W总最大， 当时， （元）， 当时， （元）， ∵， ∴当时， （元）． 答：当时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是7625元． 【变式10-4】如图，某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点30米时达到最大高度40米．将发石车置于山坡底部处，山坡上有一点，点与点的水平距离为50米，与地面的竖直距离为10米，是高度为9米的防御墙．若以点为原点，建立如图2的平面直角坐标系． (1)求石块运动轨迹所在抛物线的解析式； (2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙； (3)在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面的最大距离． 【答案】(1) (2)石块能飞越防御墙 (3)在竖直方向上，石块飞行时与坡面的最大距离是米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用以及一次函数的应用，正确确定石块运动轨迹所在抛物线的解析式是解题关键． （1）设石块的运动轨迹所在抛物线的解析式为，把代入，求得的值，即可获得答案； （2）把代入，解得的值，即可获得答案； （3）设直线的解析式为，利用待定系数法解得直线的解析式；设直线上方的抛物线上的一点的坐标为，过点作轴，交于点，交轴于点，则，易得 ，利用二次函数的图像与性质，即可获得答案． 【详解】（1）解：设石块的运动轨迹所在抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， 即； （2）解：石块能飞越防御墙， 理由如下： 把代入，得， ∵， ∴石块能飞越防御墙； （3）解：设直线的解析式为， 把代入，得， ∴， 故直线的解析式为， 如图， 设直线上方的抛物线上的一点的坐标为， 过点作轴，交于点，交轴于点，则， ∴， ， ∵， ∴该函数图像开口向下，有最大值， ∴当时，取最大值，最大值为． 答：在竖直方向上，石块飞行时与坡面的最大距离是米． 【变式10-5】如图，某滑雪比赛滑道分为四段区域，运动员从助滑区的台端点出发，在助滑道上获得高速度，至跳台区依靠惯性配合身体动作跃向空中，从跳台区的末端点飞出后，身体以抛物线轨迹在空中飞行，最后落在着陆区斜坡上，并在终点区上停留等待裁判根据运动员的飞行距离和动作完美情况来评分． 已知着陆区斜坡的坡度均匀，的垂直高度为，水平距离为．某位运动员的一次动作中，在离开跳台末端点后水平前进了时，高度恰好升高了达到抛物线的最高点．    (1)请你建立合适的平面直角坐标系，并写出抛物线的表达式； (2)运动员在着陆区斜坡上着陆，可以利用斜坡的角度进行有效的缓冲，若在终点区上着陆，则会增加受伤风险．请你判断这位运动员此次动作会在哪个区域着陆，并说明理由． 【答案】(1)坐标系见解析， (2)这位运动员此次动作会在着陆区斜坡上着陆，理由见解析 【分析】此题考查了二次函数的应用， （1）以点为原点，地平线为轴，竖直为轴建立平面直角坐标系．利用待定系数法进行解答即可； （2）在（1）的基础上，由题意，得．运动员落地即为，则． 解得（舍去），．即可进行判断． 【详解】（1）解：以点为原点，地平线为轴，竖直为轴建立平面直角坐标系．    则． 设抛物线． 将点代入函数表达式，得． 解得． 抛物线的表达式为． （2）解：在（1）的基础上，由题意，得． 运动员落地即为， ． 解得（舍去），． 由可判断这位运动员此次动作会在着陆区斜坡上着陆． 1．将二次函数化为一般形式后，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的一般式，根据整式乘法展开后合并同类项即可． 【详解】， 故选：D． 2．在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象，熟练掌握各函数的图象特点是解题关键．先根据一次函数与反比例函数的图象可得，，再根据二次函数的图象特点即可得． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，即， ∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴，即， ∴函数的开口向下，与轴的交点位于轴的正半轴，对称轴为直线， 故选：D． 3．二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为实数）．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴的交点位置可判断①②；由，及a与b的数量关系可判断③，由函数取最小值可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴ ∵抛物线对称轴为直线， ∴ ∴ ∴，②正确 ∵抛物线与y轴交点在x轴下方， ，①错误 由图像得：当时 ③正确 由函数取最小值可得 ，④正确． 故答案为：C． 【点睛】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 4．如图，平行于x轴的直线分别交抛物线与于B、C两点，过点C作y轴的平行线交于点D，直线，交于点E，则（   ） 如图， A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数图象上点的坐标特征，根据平行于x轴的点的纵坐标相同，平行于y轴的点的横坐标相同，求出用点A的纵坐标表示出各点的坐标是解题的关键．设A点坐标为，利用两个函数解析式求出点B、C的坐标，然后求出的长度，再根据轴，利用的解析式求出D点的坐标，然后利用求出点E的坐标，从而得到的长度，然后求出比值即可得解． 【详解】解：设A点坐标为，， 则，解得， ∴点B， ∴点C， ∵轴， ∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为， ∴点D的坐标为， ∵， ∴点E的纵坐标为3a， ∴点E的坐标为， ∴， ∴． 故选：A． 5．我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，下列结论正确的是（    ） 我 A．当时，函数的最大值是4 B．函数值随的增大而增大，则 C．关于的方程的所有实数根的和为4 D．当直线与该图象恰有三个公共点时，则 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由图象可知的对称轴为直线，根据函数的性质可知当或时，y随x的增大而减小，当或时，y随x的增大而增大，进而可排除A、B选项，对于C选项可看作直线与的交点问题，对于D选项可通过图象进行求解． 【详解】解：由图象可知该函数没有最大值；故A选项错误； 由图象可知当时，其对称轴为直线，则有当或时，y随x的增大而减小，当或时，y随x的增大而增大，故B选项错误； 如图， 由图可知：与，与分别关于对称轴对称，根据对称性可知：，，所以关于的方程的所有实数根的和为4，故C选项正确； 如图，明显当直线与该图象恰有三个公共点时，m的值有两个值；故D选项错误； 故选C． 6．已知抛物线（为常数，且）经过点，，下列结论：；②该抛物线的对称轴为直线；③若点，，都在该抛物线上，则；④关于x的方程的解为，．其中正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质、解一元二次方程等，将点，代入抛物线解析式求出a，b，可判断①；根据对称轴为直线可判断②；根据开口方向及各点到对称轴的距离，可判断③；将a，b的值代入，解一元二次方程可判断④． 【详解】解：将点，代入抛物线， 得：，解得， 即抛物线的函数表达式为． ，故①正确； 该抛物线的对称轴为直线，故②错误； 该抛物线的开口向上，对称轴为直线，， ，故③错误； 关于的方程为 ， 解得，故④错误， 综上可知，正确的个数有1个， 故选：D． 7．根据表中的自变量x与函数y的对应值，可判断此函数解析式为（   ） x … 0 1 2 … y … 2 … A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求二次函数的解析式，根据对称性得到顶点坐标为，设出顶点式，把代入解析式，进行求解即可． 【详解】解：由表格可知，和时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为，把代入，得：， ∴； 故选：D． 8．二次函数的图象如何平移可得到的图象（    ） A．向左平移2个单位，向上平移9个单位 B．向右平移2个单位，向上平移9个单位 C．向左平移2个单位，向下平移9个单位 D．向右平移2个单位，向下平移9个单位 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象的平移问题． 根据配方法，可得顶点式解析式，根据平移规律“左加右减，上加下减”，可得答案． 【详解】 ∴二次函数向左平移2个单位，向下平移9个单位可得到的图象． 故选：C． 9．已知二次函数的图象与轴的正半轴交于点，点，与的正半轴交于点且，，那么的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了抛物线与x轴交点坐标与函数解析式的关系，由于二次函数的图象与轴的正半轴交于点，点，与的正半轴交于点且，，由此得到，，接着把点，点代入解析式即可得到方程组，解方程组即可求解，根据交点坐标满足函数关系式得到关于待定字母的方程是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴的正半轴交于点，点，与的正半轴交于点且，， ∴， ∴， ∴， ∴代入第一个方程得：， 故选：． 10．如图，为正方形的中心，分别为的中点，，点从点出发沿方向匀速运动，同时点从点出发沿方向匀速运动，两点运动速度相等，当点运动到点时，两点同时停止运动．设点运动的路程为的面积为，则随变化的函数图象大致是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】当时，点在上，点在上，求得，故图象是正比例函数，当时，点在上，点在上，求得，图象是开口向下的抛物线，当时，点在上，点在上，求得，据此可求出答案．本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键． 【详解】解：两点运动速度相等， 两点的运动路程相等， 当时，点在上，点在上，如图，   ，， ，故图象是正比例函数， 当时，点在上，点在上，如图，    此时， 为中点， ， ， 点到的距离为， ， 图象是开口向下的抛物线， 当时，点在上，点在上，如图，    此时， ， ， ，， ，图象与前一段函数一样， 据此判断B正确， 故选：B． 11．原价为160元的电器连续两次降价后的价格为y元，若平均每次降价的百分率是x，则y与x的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，根据现在的价格等于原价乘以（1降价的百分率）的平方，即可得解． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 12．抛物线的图象交y轴于点A，点A关于x轴的对称点为点B． （1）点B坐标为 ； （2）点，，且线段与抛物线恰有一个公共点，则m的取值范是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，能对m进行分类讨论，并能数形结合解决函数与线段的交点问题是解题的关键． （1）求出A点坐标，再由点B关于x轴对称，根据点的对称性可求B点坐标； （2）根据题意，分两种情况分别求：当和时，根据“线段与抛物线恰有一个公共点”列出不等式，再结合图象可确定m的范围． 【详解】解：（1）抛物线与y轴交于点A， ∴， 点A关于x轴的对称点为点B， ∴， 故答案为：； （2）当时， 通过观察可得：C在直线l上，若要与抛物线有一个交点， 则， 解得（舍）， 当时， ， 解得，即． 13．设抛物线过，，三点，其中点在直线上，且点到抛物线的对称轴的距离等于，则抛物线的表达式为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，难点在于分情况确定出对称轴并讨论求解．根据点的位置分情况确定出对称轴，然后设出抛物线解析式，再把点、的坐标代入求解即可． 【详解】解：点在直线上，且点到抛物线的对称轴的距离等于， 抛物线的对称轴为直线或， 当对称轴为直线时， 设抛物线对应的函数表达式为，把点，的坐标分别代入，得， 解得：， 此时抛物线对应的函数表达式为； 当对称轴为直线时，设抛物线对应的函数表达式为，把点，的坐标分别代入， 得， 解得：， 此时抛物线对应的函数表达式为； 故答案为：或． 14．如图，某涵洞的截面是抛物线形状，抛物线在如图所示的平面直角坐标系中，对应的函数解析式为，当涵洞水面宽为16m时，涵洞顶点O至水面的距离为 ．    【答案】16 【分析】本题考查二次函数的应用．正确理解题意是关键；根据抛物线的对称性及解析式求解． 【详解】解：依题意，设点坐标为， 代入抛物线解析式得：， 即水面到桥拱顶点的距离为16米． 故答案为：16． 15．小明在一次投篮过程中，篮球在空中的高度h （单位：米）与在空中飞行的时间 t （单 位：秒）满足函数关系：，当篮球在空中的飞行时间 秒时，篮球距离地面最高． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，篮球距离地面最高，则此时篮球处于二次函数的顶点处，把解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴当时，h有最大值，即此时篮球距离地面最高， ∴当篮球在空中的飞行时间为秒时，篮球距离地面最高， 故答案为：． 16．已知抛物线． (1)证明：不论m为何值，抛物线与x轴总有两个不同的交点； (2)若该抛物线经过坐标原点，且对称轴在y轴的右侧，则m的值为______． (3)若O为坐标原点，该抛物线与y轴交于点C，当时，在该抛物线的对称轴上找一点P，使得的和最小，则P点的坐标为_______． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】本题考查了利用一元二次方程根的情况来确定抛物线与x轴的交点情况，以及运用待定系数法求函数解析式的运用． （1）根据方程根的判别式的符号直接判断即可作答； （2）将抛物线解析式化为顶点式，可得对称轴为：，根据对称轴在y轴的右侧，可得，再代入原点坐标，问题即可得解； （3）当时，，则抛物线的对称轴为：，作点O关于的对称点G，即有，连接交抛物线对称轴于点P，连接，根据轴对称的性质、两点之间线段最短，可知此时的和最小，利用待定系数法求出直线的解析式为：，当时，，问题随之得解． 【详解】（1）令，可得方程 ∵， ∴不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根， ∴不论m为何值，抛物线与x轴总有两个不同的交点； （2）， ∴抛物线的对称轴为：， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴， ∵该抛物线经过坐标原点， ∴， 解得：（负值不符合题意，舍去）， 故答案为：3； （3）当时，， ∴抛物线的对称轴为：直线， 作点O关于的对称点G，即有， 连接交抛物线对称轴于点P，连接，如图，    根据轴对称的性质、两点之间线段最短，可知此时的和最小， 当时，， ∴， 设直线的解析式为：， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴， 故答案为：． 17．如图①，已知抛物线经过点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)把抛物线向上平移，使得顶点落在轴上，求两条抛物线、对称轴和轴围成的图形的面积（图②中阴影部分）． (4)求当时，求函数值的取值范围． 【答案】(1)； (2)顶点坐标为，对称轴为直线． (3) (4)． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数，求函数值，图形的平移，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． （1）把点、、代入抛物线解析式利用待定系数法求解即可． （2）把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标与对称轴即可． （3）根据顶点坐标求出向上平移的距离，再根据阴影部分的面积等于平行四边形的面积，列式进行计算即可得解； （4）当时，，当是，有最小值，进而利用数形结合图形得当时，． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得． ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． （3）解：如图， ∵抛物线的顶点坐标为，则平移后的顶点 ∴． 又由平移的性质知，阴影部分的面积等于平行四边形的面积， 而平行四边形的面积． ∴阴影部分的面积． （4）解：当时，， ∵， ∴当是，有最小值， ∵ ∴结合图形得当时，． 18．如图，抛物线与y轴交于点A，过点A作与x轴平行的直线，交抛物线相交于点B、C（点B在点C的左面），若，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系；根据解析式求得点，令，设，，进而根据根与系数的关系得出，，根据，即可求解． 【详解】解：∵抛物线， ∴，， ∴ 设，， 则， ∴， ∴ 19．如图，学校打算用长为的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园一面靠墙（篱笆只需围三面，为宽）．    (1)写出长方形的面积y（单位： ）与宽x（单位：）之间的函数解析式； (2)当x为何值时，长方形的面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1) (2)当时，长方形的面积最大，最大值为32 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）先表示出的长，再根据长方形面积计算公式列出对应的关系式即可； （2）根据（1）所求关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； （2）解：∵， ∴当时，y最大，最大值为32， ∴当时，长方形的面积最大，最大值为32． 20．有一种玩具叫“不倒翁”．有的“不倒翁”造型分为上下两个部分，如图，其下半部分的纵截面边缘近似形成一条抛物线的一部分．将“不倒翁”立在矩形桌面上，如图（2），最低点A距离矩形桌面左边缘，此时，粘在玩具上的标签点距桌面的铅直距离和距桌面左边缘的水平距离均为．已知“不倒翁”的下半部分的最高点距桌面的铅直距离为． (1)设“不倒翁”玩具下半部纵截面边缘上的点与桌面左边缘的水平距离为，与桌面的铅直距离为，建立的平面直角坐标系，使点的坐标为，直接在图中画出平面直角坐标系，并求出与 的函数关系式； (2)通过计算说明“不倒翁”左右摇动时，是否有一部分会超出桌子左边缘？ (3)如图，现要在“不倒翁”玩偶的下半部分画一些平行于桌面的装饰带，且每两条相邻装饰带的长度之差为，请直接写出最多可画出几条装饰带（不计装饰带的宽度）． 【答案】(1)作图见解析， (2)是有一部分会超出桌子左边缘 (3)条 【分析】（1）如图建立直角坐标系，设，再将代入，求出的值即可； （2）令，则，即可求解； （3）设两条相邻装饰带的半径分别为，，则，即，即可求解． 【详解】（1）解：如图建立平面直角坐标系，设， ∵点距桌面的铅直距离和距桌面左边缘的水平距离均为， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴与 的函数关系式为； （2）∵“不倒翁”的下半部分的最高点距桌面的铅直距离为， 当时，则， 解得：，， ∴“不倒翁”的下半部分的最高点与桌子左边缘平齐， ∴“不倒翁”左右摇动时，是有一部分会超出桌子左边缘的部分； （3）设两条相邻装饰带的半径分别为，， ∵要在“不倒翁”玩偶的下半部分画一些平行于桌面的装饰带，且每两条相邻装饰带的长度之差为， ∴， ∴， 由（2）知：， ∴， ∴最多可画出条装饰带． 【点睛】本题考查二次函数实际应用，根据题意建立直角坐标系，待定系数法求函数表达式，二次函数与直线的交点等知识点．理解题意，将生活问题转化为函数问题是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$