精品解析：2024年山东省中考数学模拟卷（一）

中考数学模试卷（一） 一.选择题（每题4分，满分48分） 1. 4的倒数的相反数是（ ） A. －4 B. 4 C. － D. 2. 如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°，若∠1+∠B=65°，则∠2度数为( ) A. B. C. D. 3. 在△ABC中，∠C90°．若AB3，BC1，则的值为（　　） A. B. C. D. 4. 习近平总书记提出了未来5年“精准扶贫”的战略构想，意味着每年要减贫约11700000人，将数据11700000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，△ABC中，AB=AC，BC=12cm，点D在AC上，DC=4cm，将线段DC沿CB方向平移7cm得到线段EF，点E、F分别落在边AB、BC上，则△EBF的周长是（ ） A. 7cm B. 11cm C. 13cm D. 16cm 6. 十一期间，几名同学共同包租一辆中巴车去红海滩游玩，中巴车的租价为480元，出发时又有4名学生参加进来，结果每位同学比原来少分摊4元车费．设原来游玩的同学有x名，则可得方程（　　） A. B. C D. 7. 不等式组解集为，则的取值范围为( ) A. B. C. D. 8. 某校高一年级今年计划招四个班的新生，并采取随机摇号的方法分班，小明和小红既是该校的高一新生，又是好朋友，那么小明和小红分在同一个班的机会是（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数图象上部分点的坐标满足下表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 … 则该函数图象的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，以为直径的交于点，若，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 11. 如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG，DE和FG相交于点O．设AB＝a，CG＝b（a＞b）．下列结论：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③；④（a﹣b）2•S△EFO＝b2•S△DGO．其中结论正确的个数是（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 12. 如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点是（1，n），且与x的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a-b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c-n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不等的实数根．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 13. 因式分解：__________. 14. 如图，直线，且分别与的两边相交，若，则的度数为_____． 15. 如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O相切于点A，点C，若∠P60°，PA，则AB的长为__________． 16. 如图，在中，，则的面积为_______． 17. 若关于的方程无解，则的值为______． 18. 如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，P1，P2，P3，…均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P1(0，0)，P2(0，1)，P3(1，1)，P4(1，－1)，P5(－1，－1)，P6(－1，2)，…，根据这个规律，点P2 019的坐标为_____ 三、解答题（本大题共7小题，共78分） 19. （1）计算：； （2）解不等式组： 20. 为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中所给信息解答下列问题： （1）这次抽样调查共抽取______人，条形统计图中的______； （2）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求C等所在扇形圆心角的度数； （3）该校有1200名学生，估计该校学生答题成绩为A等和B等共有多少人； （4）学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率． 21. 如图，四边形为正方形，点的坐标为，点的坐标为，反比例函数图象经过点，一次函数的图象经过点、． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）观察图象，写出在第四项限内使得成立的自变量的取值范围； （3）若点是反比例函数图象上的一点，且的面积恰好等于正方形的面积，求点的坐标． 22. 某国产新能源汽车在国内国际市场销售屡创佳绩，体现了中国制造的“大国风范”．为进一步提升市场占有率，决定增加产量600万台．自2020年初开始实施后，实际每年产量是原计划的1.2倍，照此进度预计可提前2年完成任务． （1）原计划每年产量为多少万台？ （2）为更快实现目标，该品牌决定加快生产速度，要求从2023年初后续不超过5年完成，那么实际平均每年产量至少还要增加多少万台？ 23. 问题背景】 （1）如图，在等腰直角中，，点在上，点在上，且，交于点，求证：； 【问题拓展】 （2）如图，在中，点在上，点在上，，交于点，求的值； 【问题应用】 （3）如图，在等腰直角中，，点在上，点在的延长线上，，连接，过点作于点，交直线于点，求证： 24. 某数学兴趣小组在数学实践课上开展了“菱形折叠”研究活动． 第一步：每人制作内角不同，边长都为2的菱形若干个，四个顶点为，，，（为保持一致，活动中，小组内制作图形各点名称命名规则相同）； 第二步：对折找到一条对角线并展开； 第三步：将边折叠到对角线所在直线上，顶点落点为，所得折痕与边交于点； 第四步：测量，，的度数， （1）小组长在研究大家测得的数据后仔细分析，发现可以通过的度数，计算得到和的度数．如图①，若一位同学制作的菱形中，请你给出此时和的度数：_____________°，_____________°； （2）若，请探究的度数为多少时，为等腰三角形，并说明理由； （3）请直接写出为直角三角形时的长． 25. 如图，已知抛物线与轴交于、B两点，与轴交于点C，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P为第一象限内抛物线上一点，连接，当时，求点的坐标． （3）如图2，过点作交抛物线于点，已知点是线段BC上方抛物线上一点，过点作轴，交于N，在线段、上分别有两个动点E、F，，G是的中点，当取得最大值时，在线段上是否存在一点H，使得的值最小？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 中考数学模试卷（一） 一.选择题（每题4分，满分48分） 1. 4的倒数的相反数是（ ） A. －4 B. 4 C. － D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据倒数和相反数的概念及性质，先求出4的倒数，再求其相反数即可． 【详解】∵4×=1，则4的倒数是， ∵+（-）=0，则的相反数是-，故选C. 【点睛】此题主要考查了倒数和相反数的概念及性质，熟练掌握倒数和相反数的定义是解决本题的关键. 2. 如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°，若∠1+∠B=65°，则∠2的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠3=∠1+∠B，再根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解． 【详解】解：如图， 由三角形的外角性质可得，∠3=∠1+∠B=65°， ∵a∥b，∠DCB=90°， ∴∠2=180°-∠3-90°=180°-65°-90°=25°． 故选B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 3. 在△ABC中，∠C90°．若AB3，BC1，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵在△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=1， ∴sinA=. 故选A. 4. 习近平总书记提出了未来5年“精准扶贫”的战略构想，意味着每年要减贫约11700000人，将数据11700000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示形式(n为整数)即可求解． 【详解】科学记数法的表示形式(n为整数)，故． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示，解题的关键是要熟练掌握用科学记数法表示较大数的方法． 5. 如图，△ABC中，AB=AC，BC=12cm，点D在AC上，DC=4cm，将线段DC沿CB方向平移7cm得到线段EF，点E、F分别落在边AB、BC上，则△EBF的周长是（ ） A. 7cm B. 11cm C. 13cm D. 16cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移的性质即可进求解. 【详解】解：∵将线段DC沿着CB的方向平移7cm得到线段EF，∴EF=DC=4cm，FC=7cm， ∵AB=AC，BC=12cm，∴∠B=∠C，BF=5cm，∴∠B=∠BFE，∴BE=EF=4cm，∴△EBF的周长为：4+4+5=13（cm）．故选C． 【点睛】此题主要考查平移的性质，解题的关键是熟知平移的性质. 6. 十一期间，几名同学共同包租一辆中巴车去红海滩游玩，中巴车的租价为480元，出发时又有4名学生参加进来，结果每位同学比原来少分摊4元车费．设原来游玩的同学有x名，则可得方程（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由题意得：，故选D． 7. 不等式组的解集为，则的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先将不等式组中的不等式的解集分别求出，根据题意得出关于的不等式，求出该不等式的解集即可. 【详解】解不等式组可得：， ∵该不等式组解集为：， ∴， ∴， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组的运用，熟练掌握相关方法是解题关键. 8. 某校高一年级今年计划招四个班的新生，并采取随机摇号的方法分班，小明和小红既是该校的高一新生，又是好朋友，那么小明和小红分在同一个班的机会是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出树状图，根据概率公式求解即可． 【详解】解：如图， 共有16种结果，小明和小红分在同一个班的结果有4种， 故小明和小红分在同一个班的机会=． 故选：A． 【点睛】本题考查的是列表法和树状法，熟记概率公式是解答此题的关键． 9. 二次函数图象上部分点的坐标满足下表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 … 则该函数图象的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴，然后解答即可． 【详解】∵和时的函数值都是相等， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴顶点坐标为． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟记二次函数的对称性是解题的关键． 10. 如图，在中，，，以为直径的交于点，若，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积计算，解直角三角形等知识点，能求出扇形的面积和的面积是解此题的关键． 连接、，求出圆的半径，求出和的度数，再分别求出和扇形的面积即可． 【详解】解：连接、， 在中，，， ， ， 是直角三角形， ， ， 为直径， ，， ，， ， ， 阴影部分的面积． 故选：B． 11. 如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG，DE和FG相交于点O．设AB＝a，CG＝b（a＞b）．下列结论：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③；④（a﹣b）2•S△EFO＝b2•S△DGO．其中结论正确的个数是（　　） A 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，根据正方形的性质，即可得BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，则可根据SAS证得①△BCG≌△DCE；然后延长BG交DE于点H，根据全等三角形的对应角相等，求得∠CDE+∠DGH=90°，则可得②BH⊥DE．由△DGF与△DCE相似即可判定③错误，由△GOD与△FOE相似即可求得④． 试题解析：①∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形， ∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°， ∴∠BCG=∠DCE， 在△BCG和△DCE中， ， ∴△BCG≌△DCE（SAS）， 故①正确； ②延长BG交DE于点H， ∵△BCG≌△DCE， ∴∠CBG=∠CDE， 又∵∠CBG+∠BGC=90°， ∴∠CDE+∠DGH=90°， ∴∠DHG=90°， ∴BH⊥DE； ∴BG⊥DE． 故②正确； ③∵四边形GCEF是正方形， ∴GF∥CE， ∴， ∴是错误的． 故③错误； ④∵DC∥EF， ∴∠GDO=∠OEF， ∵∠GOD=∠FOE， ∴△OGD∽△OFE， ∴， ∴（a-b）2•S△EFO=b2•S△DGO． 故④正确； 故选B． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．正方形的性质． 12. 如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点是（1，n），且与x的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a-b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c-n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不等的实数根．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间，则当x=-1时，y>0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=-=1，即b=-2a，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n得到=n，则可对③进行判断；由于抛物线与直线y=n有一个公共点，则抛物线与直线y=n-1有2个公共点，于是可对④进行判断． 【详解】∵抛物线与x轴一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间． ∴当x=-1时，y＞0， 即a-b+c＞0，所以①正确； ∵抛物线的对称轴为直线x=-=1，即b=-2a， ∴3a+b=3a-2a=a，所以②错误； ∵抛物线的顶点坐标为（1，n）， ∴=n， ∴b2=4ac-4an=4a（c-n），所以③正确； ∵抛物线与直线y=n有一个公共点， ∴抛物线与直线y=n-1有2个公共点， ∴一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 13. 因式分解：__________. 【答案】（x+1）（x﹣2） 【解析】 【详解】解：原式=x（x﹣2）+（x﹣2）=（x+1）（x﹣2）． 故答案是：（x+1）（x﹣2）． 14. 如图，直线，且分别与的两边相交，若，则的度数为_____． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先利用平行线的性质求出，然后利用三角形内角和定理求出的度数即可求解． 【详解】解：如图，∵直线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O相切于点A，点C，若∠P60°，PA，则AB的长为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据AB是⊙O的直径，推出∠ACB=90°，根据 PA，PC分别与⊙O相切于点A，点C，推出∠PAB=90°，PC=PA，根据∠P=60°，推出△PAC是等边三角形，得到∠CAP=60°，AC=PA=，推出∠BAC=90°-60°=30°，推出cos∠BAC=，得到，解得AB=2． 【详解】解：∵AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O相切于点A，点C， ∴∠PAB=90°=∠ACB，PC=PA， 又∵∠P=60°， ∴△PAC是等边三角形， ∴∠CAP=60°，AC=PA=， ∴∠BAC=90°-60°=30°， ∴cos∠BAC=， 即，解得AB=2． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的切线，等边三角形，圆周角，锐角三角函数，解决问题的关键是熟练掌握圆的切线性质，切线长定理，等边三角形的判定和性质，圆周角定理推论，余弦定义及30°的余弦值． 16. 如图，在中，，则的面积为_______． 【答案】30 【解析】 【分析】如图，过点B作，交于点D，由题意可得，设，则，再在中运用勾股定理求得x，进而求得CD=x，然后在中运用勾股定理求得x，再求得BD、AC的长，最后利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点B作，交于点D， 在中，， 设，则， 在中，， ∴， 在中，， 即，解得（负值舍去）， ∴， ∴． 故填30． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理等知识点，正确作出辅助线构造直角三角形以及根据勾股定理列方程求解成为解答本题的关键． 17. 若关于的方程无解，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的增根，先去分母变成整式方程，再根据无解求解即可． 【详解】方程两边同乘得， ∵关于的方程无解， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，P1，P2，P3，…均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P1(0，0)，P2(0，1)，P3(1，1)，P4(1，－1)，P5(－1，－1)，P6(－1，2)，…，根据这个规律，点P2 019的坐标为_____ 【答案】(505，505). 【解析】 【分析】根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，由于，由图可知，被4除余3的点在第一象限的角平分线上，点P2 019的在第一象限的角平分线上，且横纵坐标的绝对值=2020÷4，再根据第一象限内点的符号得出答案即可． 【详解】解：∵P1(0，0)，P2(0，1)，P3(1，1)，P4(1，－1)，P5(－1，－1)，P6(－1，2)， ∴下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，被4除余3的点在第一象限的角平分线上， 由规律可得， ， ∴点P2 019的在第一象限的角平分线上， ∴点P2 019 (505，505)， 故答案为(505，505). 【点睛】本题考查平面角坐标系当中点的规律，正确找出平面角坐标系当中点的规律是解题的关键. 三、解答题（本大题共7小题，共78分） 19. （1）计算：； （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先计算括号内的分式的减法，再把除法转化为乘法，约分后可得答案； （2）分别解不等式组中的两个不等式，再确定不等式解集的公共部分即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：解不等式得： 解不等式得： ∴原不等式组的解集是． 【点睛】本题考查的是分式的化简，一元一次不等式组的解法，掌握“分式混合运算的运算顺序与解一元一次不等式组的步骤”是解本题的关键． 20. 为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中所给信息解答下列问题： （1）这次抽样调查共抽取______人，条形统计图中的______； （2）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求C等所在扇形圆心角的度数； （3）该校有1200名学生，估计该校学生答题成绩为A等和B等共有多少人； （4）学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率． 【答案】（1）50，7 （2）条形统计图见解析， （3）该校学生答题成绩为A等和B等共有672人 （4） 【解析】 【分析】（1）用B等级的人数除以其所占百分比，即可求出抽取的总人数，用抽取总人数乘以成绩为D等级所占百分比，即可求出m的值； （2）用抽取总人数乘以A等级的人数所占百分比，求出成绩为A等级的人数，即可补全条形统计图；先求出成绩为C等级的人数所占百分比，再用360度乘以成绩为C等级的人数所占百分比即可求出C等级所在扇形圆心角的度数； （3）用全校人数乘以成绩为A等级和B等级人数所占百分比，即可求解； （4）根据题意列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：（人）， ， 故答案为：50，7； 【小问2详解】 解：成绩为C等级人数所占百分比：， ∴C等级所在扇形圆心角的度数：， 成绩为A等级的人数：（人）， 补全条形统计图如图所示： 【小问3详解】 解：（人）， 答：该校学生答题成绩为A等级和B等级共有672人； 【小问4详解】 解：根据题意，列出表格如下： 第一名第二名 甲 乙 丙 丁 甲 甲乙 甲丙 甲丁 乙 乙甲 乙丙 乙丁 丙 丙甲 丙乙 丙丁 丁 丁甲 丁乙 丁丙 由表可知，一共有12种情况，抽出的两名学生恰好是甲和丁的有2种情况， ∴抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率． 【点睛】题目主要考查条形及扇形统计图，通过树状图或列表法求概率，理解题意，熟练掌握这些知识点是解题关键． 21. 如图，四边形为正方形，点的坐标为，点的坐标为，反比例函数图象经过点，一次函数的图象经过点、． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）观察图象，写出在第四项限内使得成立的自变量的取值范围； （3）若点是反比例函数图象上的一点，且的面积恰好等于正方形的面积，求点的坐标． 【答案】（1）反比例函数为，一次函数为 （2） （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法即可求得反比例函数与一次函数的解析式； （2）根据数形结合即可得解； （3）根据，构造方程，，分别代入反比例函数的解析式即可得解。 【小问1详解】 解：四边形是正方形，，， ∴，， 的图象经过点， ，即 ∴反比例函数为， 经过点、， ， 解得 一次函数为 【小问2详解】 解：一次函数为中，令，得， ∴与轴的交点为， ∵， ∴由图可得，在第四项限内时，函数在一次函数的下方，且在第四象限， ∴在第四项限内使得成立的自变量的取值范围：； 【小问3详解】 解：设点的坐标为， ，点的坐标为，， 解得 当时，； 当时， 点的坐标为或 【点睛】本题主要考查了待定系数法求解一次函数和反比例函数，一次函数与反比例函数的综合，求函数值，利用图形求不等式的解集，熟练掌握一次函数与反比例函数的综合利用是解题的关键。 22. 某国产新能源汽车在国内国际市场销售屡创佳绩，体现了中国制造的“大国风范”．为进一步提升市场占有率，决定增加产量600万台．自2020年初开始实施后，实际每年产量是原计划的1.2倍，照此进度预计可提前2年完成任务． （1）原计划每年产量为多少万台？ （2）为更快实现目标，该品牌决定加快生产速度，要求从2023年初后续不超过5年完成，那么实际平均每年产量至少还要增加多少万台？ 【答案】（1）原计划每年产量为万台 （2）实际平均每年产量至少还要增加万台 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出分式方程和一元一次不等式是解此题的关键． （1）设原计划每年产量为万台，则实际每年产量就是万台，根据“预计可提前2年完成任务”列出分式方程，解分式方程即可得出答案； （2）由（1）可得，实际每年产量就是万台，设实际平均每年产量至少还要增加万台，根据“要求从2023年初后续不超过5年完成”列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案． 【小问1详解】 解：设原计划每年产量为万台，则实际每年产量就是万台， 由题意得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解且符合题意， ∴原计划每年产量为万台； 【小问2详解】 解：由（1）可得，实际每年产量就是万台， 设实际平均每年产量至少还要增加万台， 由题意得：， 解得：， ∴实际平均每年产量至少还要增加万台． 23. 【问题背景】 （1）如图，在等腰直角中，，点在上，点在上，且，交于点，求证：； 【问题拓展】 （2）如图，在中，点在上，点在上，，交于点，求的值； 【问题应用】 （3）如图，在等腰直角中，，点在上，点在的延长线上，，连接，过点作于点，交直线于点，求证： 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析. 【解析】 【分析】（1）过点作过点作交于点，证明得，，进而得进而证明四边形是平行四边形，即可得； （2）过点作过点作交于点，连接，先证明，得，进而证明得，又证四边形是平行四边形，得，进而即可证明结论成立； （3）如图，在上取一点，使得证得，再证，得，从而证明四边形平行四边形，即可得证。 【详解】解：（1）过点作过点作交于点， ∴ ∵在等腰直角中，，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴，， ∴ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）过点作过点作交于点，连接， ∴ ∵在等腰直角中，， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴； （3）如图，在上取一点，使得 ∴，即， ∵在等腰直角中，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴四边形平行四边形， ∴ 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行线的性质，同角的余角相等，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 24. 某数学兴趣小组在数学实践课上开展了“菱形折叠”研究活动． 第一步：每人制作内角不同，边长都为2菱形若干个，四个顶点为，，，（为保持一致，活动中，小组内制作图形各点名称命名规则相同）； 第二步：对折找到一条对角线并展开； 第三步：将边折叠到对角线所在直线上，顶点的落点为，所得折痕与边交于点； 第四步：测量，，的度数， （1）小组长在研究大家测得的数据后仔细分析，发现可以通过的度数，计算得到和的度数．如图①，若一位同学制作的菱形中，请你给出此时和的度数：_____________°，_____________°； （2）若，请探究的度数为多少时，为等腰三角形，并说明理由； （3）请直接写出为直角三角形时的长． 【答案】（1） （2）的度数为时，为等腰三角形 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质和折叠的性质得到，，由邻补角和三角形外角的性质即可得到答案； （2）设，得到，，，则，分三种情况进行解答即可； （3）分和两种情况分别进行解答即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 由折叠可知，， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设， ∴，， ∴， ∴， ①当时，， ∴， 解得， ∴的度数为时，是等腰三角形； ②当时，， ∴，解得，不合题意，舍去； ③当时，， ∴ 解得，不合题意，舍去， 综上可知，当的度数为时，是等腰三角形； 【小问3详解】 解：①当时，如图1， ∵， ∴， 由折叠可知，，， 则四边形是正方形， ∴， ∴， ②当时，如图2， ∵， ∴， 设， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴； 综上可知，为直角三角形时的长为或． 【点睛】此题考查了菱形的性质、正方形的判定和性质、折叠的性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，分类讨论是解题的关键． 25. 如图，已知抛物线与轴交于、B两点，与轴交于点C，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P为第一象限内抛物线上一点，连接，当时，求点的坐标． （3）如图2，过点作交抛物线于点，已知点是线段BC上方抛物线上一点，过点作轴，交于N，在线段、上分别有两个动点E、F，，G是的中点，当取得最大值时，在线段上是否存在一点H，使得的值最小？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由题意可知，再利用待定系数法即可求解； （2）过点作轴于点．当时，求得，解直角三角形可得，，则，，在中，．设点坐标为，则，，列出方程即可求解； （3）先求得直线解析式为，直线解析式为，结合抛物线求得，设，则，得，过点作轴，，则，，得，当时，有最大值，此时．作点关于的对称点，则，连接与交于点，由，且．可知，故的最小值为，设交轴于点，根据，结合图形求得，根据勾股定理求得，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ． ， 由题意得：，解得：， 则抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 过点作轴于点． 当时，即：，解得，， ． ，，，， ，， ， ， ． 在中，． 设点坐标，则，， ，解得：（不合题意，舍去），， 点坐标为． 【小问3详解】 由（2）可知，，，则， ∵， ∴，则，， 设直线解析式为：，则，， ． 设直线解析式为：，则，， ． 联立解得或， ． 设，则， ， 过点作轴，，则， ， ． 当时，有最大值，此时． ∵是的中点， ∴， 作点关于的对称点，则，连接与交于点， ，且． ， 故的最小值为， ， ，又，， ，， 设交轴于点， ， ，， ， ， ， 在中，， 的最小值为：． 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何综合、解直角三角形、最值问题、勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$