精品解析：上海市大同中学2024-2025学年高二上学期开学考试（暑期作业检查）数学试题

大同中学2024学年第一学期第一周开学考试 科目：高二数学 时间：90分钟 100分 班级______ 姓名______ 学号______ 成绩______ 一、填空题（1-8每题3分，9-12每题4分，满分40分） 1. 空间两个角的两边分别平行，则这两个角 _____． 2. 已知向量，若与平行，则实数的值为______． 3. 已知复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，则______． 4. 如图是一个平面图形的直观图，斜边，则原平面图形的面积为_________. 5. 已知某扇形的圆心角为2弧度，弧长为6，则扇形的面积为__________． 6. 已知，则的值为______． 7. 已知关于的实系数方程两个虚根为，，且，则______. 8. 在复平面内，复数满足，i为虚数单位，则最小值为______． 9. 在空间四边形中，，､分别是对角线､的中点，若异面直线､所成角的大小为，则的长为___________. 10. 已知成等比数列，且其中两项分别为1，9，则的最小值为______． 11. 空间四个平面最多能把空间分成______部分． 12. 设点Q在半径为1的圆P上运动，同时，点P在半径为2的圆O上运动．O为定点，P，Q两点的初始位置如图所示，其中，当点P转过角度时，点Q转过角度，则在运动过程中的取值范围为______． 二、选择题（第13、14题每题3分，第15、16题每题4分，满分14分） 13. 在下列函数中，同时满足：①在上递增；②以为周期；③是奇函数是（ ） A. B. C. D. . 14. 若是无穷数列，则“为等比数列”是“满足”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 已知是单位平面向量，若对任意的，都有，则的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 16. 已知函数在区间上的最大值记为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 三、解答题（满分46分） 17. 如图所示，在正方体中，分别是的中点.求证： （1）三线共点； （2）直线和直线是异面直线. 18. 已知数列满足，且. （1）求证：数列是等比数列，并求出通项公式； （2）若，求满足条件的最大整数. 19. 如图，设是平面内相交成角的两条射线，分别为同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系.在仿射坐标系中，若，记. （1）在仿射坐标系中. ①若，求； ②若，且，的夹角为，求； （2）如图所示，在仿射坐标系中，B，C分别在x轴，y轴正半轴上，，E，F分别为BD，BC中点，求的最大值. 20. 集合称三元有序数组集，对于互不相等.令，其中， （1）当时，试求出和； （2）证明：对于任意中的三个数至多有一个为0； （3）证明：存在.当时，向量满足. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大同中学2024学年第一学期第一周开学考试 科目：高二数学 时间：90分钟 100分 班级______ 姓名______ 学号______ 成绩______ 一、填空题（1-8每题3分，9-12每题4分，满分40分） 1. 空间两个角的两边分别平行，则这两个角 _____． 【答案】相等或互补 【解析】 【分析】利用等角定理进行求解. 【详解】根据等角定理有： 当角的两组对应边同时同向或同时反向时，两角相等； 当角的两组对应边一组同向一组反向时，两角互补． 故答案为：相等或互补． 2. 已知向量，若与平行，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由向量共线的坐标表示列方程计算即可； 【详解】因为与平行， 所以， 所以实数的值为， 故答案为：. 3. 已知复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义求出，再利用复数除法计算即得. 【详解】复数在复平面内对应的点为，依题意，， 所以. 故答案为： 4. 如图是一个平面图形的直观图，斜边，则原平面图形的面积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直观图的斜二测画法还原原图形即可 【详解】是一平面图形的直观图，斜边，， ， 的原图象如图， ，， 原平面图形的面积为 故答案为： 5. 已知某扇形的圆心角为2弧度，弧长为6，则扇形的面积为__________． 【答案】9 【解析】 【分析】记圆心角为，弧长为，扇形所在圆的半径为，根据题中条件，由扇形面积公式，即可求出结果. 【详解】记圆心角为，弧长为，扇形所在圆的半径为， 由题意可得，，，所以， 因此扇形的面积为. 故答案：. 【点睛】本题主要考查求扇形的面积，熟记公式即可，属于基础题型. 6. 已知，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，由，结合诱导公式和三角函数的商关系，可得的值，再由二倍角的正切公式，即可求解. 【详解】因为，所以， 即，所以， 所以. 故答案为： 7. 已知关于的实系数方程两个虚根为，，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据关于实系数的方程有两个虚根，由解得a的范围，再根据及两根互为共轭，由求解. 【详解】由，得， 因为， 所以 即， 解得或(舍)， 所以. 故答案： 8. 在复平面内，复数满足，i为虚数单位，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的几何意义可求出结果. 【详解】因为，所以复数对应的点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆， 又的几何意义是表示复数对应的点与点之间的距离， 其最小值为原点到点之间的距离减去圆的半径， 故的最小值为. 故答案为：. 9. 在空间四边形中，，､分别是对角线､的中点，若异面直线､所成角的大小为，则的长为___________. 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，利用三角形中位线定理可得∥,∥，由异面直线所成角的定义，异面直线，所成的角即为或其补角，在中，利用余弦定理求解即可 【详解】解：取的中点，连接， 因为，､分别是对角线､的中点， 所以∥∥，, 所以，异面直线，所成的角即为或其补角， 因为异面直线､所成角的大小为， 所以或， 当时，在中，由余弦定理可得 当时，在中，由余弦定理可得 综上，的长为， 故答案为： 10. 已知成等比数列，且其中两项分别为1，9，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意，要使最小，则都是负数，设等比数列的公比为，分类讨论和，分别求得，进而得出，即可求解． 【详解】由题意，要使最小，则都是负数，则和选择1和9， 设等比数列的公比为， 当时，，所以，所以； 当时，，所以，所以； 综上，的最小值为， 故答案为：． 11. 空间四个平面最多能把空间分成______部分． 【答案】15 【解析】 【分析】根据平面与平面的位置关系，结合题意，从而可得到结果． 【详解】三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点时，可以把空间分成8部分， 再作一个平面，与三个平面都相交，且与这三个平面能围成一个三棱锥， 如图所示，将各平面无限延展，此时可以把空间分成15部分， 故答案为：15． 12. 设点Q在半径为1的圆P上运动，同时，点P在半径为2的圆O上运动．O为定点，P，Q两点的初始位置如图所示，其中，当点P转过角度时，点Q转过角度，则在运动过程中的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】建立直角坐标系，由向量的坐标运算即可结合三角函数的性质求解. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，设， 则， ， 由于,所以，故， 故的取值范围为， 故答案为： 二、选择题（第13、14题每题3分，第15、16题每题4分，满分14分） 13. 在下列函数中，同时满足：①在上递增；②以为周期；③是奇函数的是（ ） A. B. C. D. . 【答案】C 【解析】 【分析】根据单调性,周期性,奇偶性的判定依据依次分析每个选项即可得到结果 【详解】选项A，的最小正周期为,不满足②； 选项B，为偶函数,不满足③； 选项D，在上单调递减,不满足①； 选项C，设,在上单调递增,则,即,即在上单调递增,故满足①；的最小正周期为,故满足②；,故满足③ 故选：C． 14. 若是无穷数列，则“为等比数列”是“满足”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】运用等比数列的性质，结合特值法可解. 【详解】若为等比数列，， 则运用等比数列性质知道; 若，则可以为全部为0的常数列，不能说它是等比数列. 故“为等比数列”是“满足”的充分不必要条件. 故选：A. 15. 已知是单位平面向量，若对任意的，都有，则的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，单位向量的夹角最小时，正整数有最大值，利用向量数量积的定义求出此时的值即可． 【详解】依题意，设单位向量的夹角为， 因为， 所以则，所以， 根据题意，正整数的最大值为， 故选：C. 16. 已知函数在区间上的最大值记为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先求出函数的周期，易得区间的长度为，再结合函数图象可知当函数图象的最低点位于区间的图象上，且函数在区间的图象关于对称时，取得最小值，由此即可得解. 【详解】函数的周期， 而区间的长度为，即为， 如图所示，当函数图象的最低点位于区间的图象上， 且函数在区间的图象关于对称时， 取得最小值， 则. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：根据函数图象得出当函数图象的最低点位于区间的图象上，且函数在区间的图象关于对称时，取得最小值，是解决本题的关键. 三、解答题（满分46分） 17. 如图所示，在正方体中，分别是的中点.求证： （1）三线共点； （2）直线和直线是异面直线. 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）分别延长，交于点，由平面基本性质知面．再由三角形中位线定理证明，，三线共点于． （2）由反证法以及线面平行的判定以及性质即可得矛盾求解. 【小问1详解】 分别延长，，交于点， ，面， 面． 是的中点，， 是的中点， 连接，， 的交点为线段AB的中点，即为E， ，，三线共点于． 【小问2详解】 假如直线和直线不是异面直线，则存在一个平面，使得， 由于在正方体中,,, 因此, 又因为平面,且平面, 故,在正方形中，显然不平行，故矛盾， 因此假设不成立，即直线和直线是异面直线. 18. 已知数列满足，且. （1）求证：数列是等比数列，并求出的通项公式； （2）若，求满足条件的最大整数. 【答案】（1）证明见解析， （2）2024 【解析】 【分析】（1）先取倒数，然后通过构造法可得答案； （2）由（1）求数列的通项，然后可得的通项，最后分组求和可得答案. 【小问1详解】 因为，所以， 可得，即， ， 所以数列是以为首项为公比的等比数列， 所以，； 【小问2详解】 由（1）得， 所以 ， 显然是单调递增数列， 当时，， 当时，， 所以满足条件的最大整数为. 19. 如图，设是平面内相交成角的两条射线，分别为同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系.在仿射坐标系中，若，记. （1）在仿射坐标系中. ①若，求； ②若，且，的夹角为，求； （2）如图所示，在仿射坐标系中，B，C分别在x轴，y轴正半轴上，，E，F分别为BD，BC中点，求的最大值. 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①由题意，，将其两边平方，再开方即可得到； ②由表示出和，再由已知用表示出，因为与的夹角为，然后由，即可得到； （2）由题意，设出坐标，表示出，由，求出的表达式，在中依据余弦定理可得，代入得的表达式化简，再在中，用正弦定理，求出，代入的表达式，通过三角恒等化简可得出答案. 【小问1详解】 ①因为， ， 所以； ②由，即， 得， ， ， 因为与的夹角为， 则，得； 【小问2详解】 依题意设， ， 因为为中点，则， 为中点，所以， 所以 ， 因为， 则， 在中依据余弦定理得，所以，代入上式得， ， 在中，由正弦定理， 设，则， ，其中，是取等号， 则. 【点睛】关键点点睛：设出坐标，求出的表达式是解决第三问的关键. 20. 集合称为三元有序数组集，对于互不相等.令，其中， （1）当时，试求出和； （2）证明：对于任意的中的三个数至多有一个为0； （3）证明：存在.当时，向量满足. 【答案】（1），； （2）证明见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）计算出得到其周期为3，而，即可求出. （2）假设存在，取第一次出现至少两个0的位置，则，设且，则推理出，解出，则，矛盾即可得证. （3）设三个数中最大的为,记作,通过（2）中结论排除若单调递减的情况，则存在,使得,根据定义，不妨设，设，所以，故，则，最终得证. 【小问1详解】 由，得， ，从起以3为周期循环， 而，则， 所以，. 【小问2详解】 假设存在，取第一次出现至少两个0位置，依题意， 不妨设且，则， 于是，即， 则或， 因此或，得，则，矛盾， 所以对于任意的中的三个数至多有一个为0. 【小问3详解】 设三个数中最大的为，记， 由，得， 若单调递减，由，得存在，使得， 由（2）的证明得，这与题设矛盾， 于是不可能单调递减，即存在，使得， 根据的定义，得中三个数中必有0， 通过（2）已经证明至多一个0，则三个数中只有一个数为0， 不妨设，设， 则，即， 因此，即， 所以存在，当时，向量满足. 【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用反证法，假设存在,取第一次出现至少两个0的位置，通过逻辑推理得，从而得证，第3问的关键是对单调性的讨论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$