专题01 集合与逻辑（考点清单，知识导图+8个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高一数学上学期期中考点大串讲（沪教版2020必修第一册）

清单01 集合与逻辑（14个考点梳理+提升训练） 【清单01】集合及其表示方法： 1.集合：把一些确定的对象的全体叫做集合（简称为集）．集合通常用大写字母来表示． 2.元素：集合中所含的各个对象叫做该集合的元素．元素通常用小写字母来表示． 3.元素与集合的关系 属于：如果是集合A的元素，就说属于A，记作， 不属于：如果不是集合A的元素，就说不属于A，记作． 4.集合的特性： （1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可． （2）互异性：集合中的元素没有重复． （3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序． 5.集合的相等：如果组成两个集合A与B的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作A=B． 6.集合的分类： （1）有限集：含有有限个元素的集合． （2）无限集：含有无限个元素的集合． 7.空集：我们引入空集，规定其不含任何元素，记作． 注意：和是不同的．是含有一个元素0的集合，是不含任何元素的集合． 8.常用数集及记法： （1）自然数集：全体非负整数的集合，记作N. （2）整数集：全体整数的集合，记作Z. （3）有理数集：全体有理数的集合，记作Q. （4）实数集：全体实数的集合，记作R． 9.集合的表示方法： （1）列举法：把集合中的元素不重复地一一列举出来，并写在一对大括号内． 能用列举法表示的集合一般是有限集．对于一些有规律的无限集，在不会引起歧义的前提下，也可用列举法表示，例如全体正偶数组成的集合可以表示为． （2）描述法：在一对大括号内先写出这个集合中元素的一个记号，再画一条竖线，并在竖线的右边写上集合中元素所具有的特征，即． 有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法． 10.区间： 数学中常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成的集合．为了方便起见，我们引进区间的概念． 设且． 称为开区间，记为； 称为闭区间，记为； 称为左闭右开区间，记为； ，称为左开右闭区间，记为． 以上都是有限区间，以下是无限区间： ，，，， 实数集，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”． 这里的实数统称为这些区间的端点． 【清单02】集合之间的关系 1.子集： 定义：对于两个集合A与B，如果集合A的每个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作或. 读作：A包含于B或B包含A． 即：若任意，则. 注意：（1）有两种可能：①A是B的一部分；②A与B相等． （2）对于两个集合A与B，如果且，那么． 2.真子集： 定义：对于两个集合A与B，如果，且B至少有一个元素不属于A（即B不是A的子集），那么称集合A是B的真子集，记作AB或BA；读作：A真包含于B或B真包含A． （在有些资料中，集合A是B的真子集也被记作） 如：对于常用的数集，我们有如下的包含关系： 注意：（1）空集是任何集合的子集； （2）空集是任何非空集合的真子集； （3）任何一个集合是它本身的子集． 3.对于集合的包含关系，有如下结论： （1）； （2）传递性：且，则； （3）若，则或； （4）总规定： 4.子集的个数： 含个元素的集合的所有子集的个数是，所有真子集的个数是，非空真子集数为． 5.易混符号 （1）“”与“”：元素与集合之间是属于关系，集合与集合之间是包含关系． 如，R，. （2）与：是含有一个元素0的集合，是不含任何元素的集合． 如．不能写成=，∈ 6.文氏图 用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用的图叫做文氏图．如图表示的是（或） B A 【清单03】集合的运算 1.交集的定义： 由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，叫做集合A与B的交集. 记作：. 读作：A交B. 即． 2.任意两个非空集合A、B的交集有以下几种情况： 3.任意两个非空集合A、B的交集具有以下性质： （1）； （2），； （3），即空集与任何集合的交集都是空集； （4）. 4.并集的定义： 由所有属于集合A或者属于集合B的元素所组成的集合，叫集合A与B的并集. 记作：. 读作：A交B. 即． 5.任意两个非空集合A、B的并集有以下几种情况： 6.任意两个非空集合A、B的并集具有以下性质： （1）； （2），； （3），即空集与任何集合的并集都等于该集合； （4），. 7.补集的定义： 设U为全集，A是U的子集，由U中所有不属于A的元素组成的集合称为集合A在全集U中的补集，记作:. 读作:补. 即. 8.在维恩图中，我们以矩形表示全集，集合A的补集表示下图阴影部分 9.补集的运算性质： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）若，则；若，则； 10.集合的运算律 （1）交换律：； （2）结合律：； （3）分配律：； （4）德摩根定律：； 【清单04】逻辑用语 1.命题：在初中时，已经知道用自然语言、符号或式子表达，且可以判断其真假的语句叫做命题. 命题通常用陈述句表述.其含义判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫假命题. 2.在形如“若，则”的命题中，陈述句称为条件，称为结论， 命题“若，则”是真命题，是指所有满足条件的对象都满足结论.即满足满足 要确定这类命题的真假，需给出其证明. 命题“若，则”是假命题，是指存在满足条件的对象不满足结论. 如上例中（2）（4），可以举出一个反例. 3.如果命题“若，则”是真命题，那么就称推出，记作（或） 推出关系满足传递性：若且，则. 说明：①命题必定由条件与结论两部分组成； ②假命题的确定：举反例（举出一个满足条件，不满足结论的例子，一个即可，一票否决）； 【注意】举反例有时候不容易，要充分注意命题的条件和结论，还要注意极端情况，或运用类比手段. ③真命题的确定：直接法和反证法. 反证法既是一种重要的数学思想，也是命题证明的一种方法，后面会有赘述. 4.充分条件：对于两个陈述句与，如果，就称是的充分条件，亦称是的必要条件. 5.充分必要条件：对于两个陈述句与，如果，又有，就称是的充分必要条件，简称充要条件，记作，读作“与等价”或“成立当且仅当成立”. 6.从集合角度解释：若对于集合和， 若，则是的充分条件； 若，则是的必要条件； 若，则是的充要条件. 7.反证法：对于命题“若，则”，首先假设结论不成立（为假）然后经过正确的逻辑推理得出矛盾，从而说明“为假”是不可能发生的，即结论是正确的，这样的证明方法叫反证法. 【步骤】①假设结论反面成立，即假设命题的结论不成立； ②从这个假设出发，推理论证，得出矛盾； ③由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确. 【矛盾来源】①与原命题的条件矛盾； ②导出与假设相矛盾的命题； ③导出一个恒假命题. 陈述句 的否定形式 全，都 不全，不都 至少有一个 一个也没有 至多有一个 至少有两个 或 且 所有的满足性质 至少存在一个不满足性质 所有的不满足性质 至少存在一个满足性质 【考点题型一】集合的概念 【例1】下列所给对象不能组成集合的是 ． （1）高一数学课本中所有的难题； （2）某班16岁以下的学生； （3）某中学的大个子； （4）某学校身高超过1.80米的学生． 【变式1-1】下列命题中正确的有（    ）． ①很小的实数可以构成集合； ②R表示一切实数组成的集合； ③给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是有限集； ④2023年联合国所有常任理事国组成一个集合． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1-2】下列各组对象能构成集合的是（    ） A．2023年参加“两会”的代表 B．北京冬奥会上受欢迎的运动项目 C．的近似值 D．我校跑步速度快的学生 【变式1-3】下列各组对象中能形成集合的是（    ） A．高一数学课本中不太难的复习题 B．高二年级瘦一点的学生家长 C．高三年级开设的所有课程 D．高一（12）班个子比较高的学生 【变式1-4】判断下列各组对象能否组成集合．若能组成集合，指出是有限集还是无限集；若不能组成集合，请说明理由． (1)上海市现有各区的名称； (2)末位是3的自然数； (3)比较大的苹果． 【考点题型二】元素的特征 【例2】已知不超过5的实数组成的集合为M，，则不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】设集合，，已知且，则的取值集合为 . 【变式2-2】设集合，若，则的值的集合为 . 【变式2-3】已知集合，则集合中全部元素之和为 ． 【变式2-4】已知集合，若集合A中只有一个元素，则实数的取值的集合是 ． 【考点题型三】集合的表示方法 【例3】集合是指（    ）． A．第一象限内的所有点 B．第三象限内的所有点 C．第一象限和第三象限内的所有点 D．不在第二象限、第四象限内的所有点 【变式3-1】，，，用列举法表示M，N，P． 【变式3-2】用列举法表示中华人民共和国国旗的颜色名称的集合是 ． 【变式3-3】用区间表示下列集合： (1)； (2)不等式的所有解组成的集合． 【变式3-4】用列举法表示集合 ． 【变式3-5】用描述法表示下列集合： (1)被3除余1的所有自然数组成的集合； (2)比1大又比10小的所有实数组成的集合； (3)平面直角坐标系中坐标轴上所有点组成的集合. 【考点题型四】集合之间的关系 【例4】是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②； ③；④． 与集合相等的集合序号是 . 【变式4-1】(多选题）给出以下几组集合，其中相等的集合有（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知集合，则（    ） A．⫋ B．⫌ C． D． 【变式4-3】含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 . 【变式4-4】下列写法中，正确的有 ①；②；③；④. 【变式4-5】已知集合，集合，若，则实数 . 【变式4-6】已知集合，，且．则实数的取值范围为 ． 【变式4-7】设，，若，则实数组成的集合 . 【考点题型五】子集、真子集 【例5】满足关系，的集合A的个数为 . 【变式5-1】集合，则集合的真子集个数为 . 【变式5-2】集合的子集个数为 . 【变式5-3】已知集合，集合，定义为中元素的最小值，当取遍的所有非空子集时，对应的的和记为，则 . 【变式5-4】已知集合.是否存在这样的实数a，使得集合A有且仅有两个子集？若存在，求出实数a的值及对应的两个子集；若不存在，说明理由. 【考点题型六】集合的运算 【例6】知全集，集合，，求，，． 【变式6-1】已知全集，集合，，则 ． 【变式6-2】（1）已知集合，，求及； （2）设集合，，求． 【考点题型七】由集合的运算求参数 【例7】已知集合， (1)已知，求的取值范围； (2)是否存在实数，使且． 【变式7-1】已知集合，，，求实数a的值. 【变式7-2】设集合，. (1)当时，求，； (2)记，若集合的真子集有7个，求：所有实数的取值所构成的集合. 【变式7-3】设整数集，，且，若，满足，的所有元素之和为，求= ； 【考点题型八】文氏图 【例8】设全集为，集合，或. (1)求如图阴影部分表示的集合； (2)已知集合，若，求实数的取值范围. 【变式8-1】如图，已知是全集，、、是它的子集，则阴影部分所表示的集合是（　　） A． B． C． D． 【变式8-2】已知全集和集合M、N、P如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】如果全集含有10个元素，都是的子集，含有2个元素，含有4个元素，含有3个元素，则含有 个元素. 【变式8-4】已知全集，，，，求集合． 【变式8-5】如图，三个圆形区域分别表示集合A，B，C．请用集合U，A，B，C分别表示图中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ八个部分所表示的集合．    【变式8-6】向50名学生调查对两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多1人，求对都不赞成的学生有多少人？ 【考点题型九】充分必要条件的判断 【例9】（1）若，则“”是“”的 条件.(从“充要､充分不必要､必要不充分､既不充分也不必要”四种关系中选择) （2）设，则“”是“”的 条件.（填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”） （3）＂＂是＂＂的 条件. 【变式9-1】设、，“”是“方程的解集为”的（    ） A． 充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式9-2】“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点题型十】写充分必要条件，由条件求参数 【例10】写出“”的一个充分不必要条件 ． 【变式10-1】“”的一个必要不充分条件为（    ）． A． B． C． D． 【变式10-2】请写出“”的一个必要不充分条件： ． 【变式10-3】设：，：，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 【变式10-4】已知，，若是的必要非充分条件，则实数的取值范围是 ； 【变式10-5】已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分非必要条件，求实数m取值范围组成的集合. 【变式10-6】已知：，：. (1)若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围； (2)若是的既不充分也不必要条件，求实数m的取值范围. 【考点题型十一】充分必要条件的证明 【例11】对一元二次方程，证明：是该方程有两个异号实根的充要条件. 【变式11-1】求证：等式对任意实数恒成立的充要条件是. 【变式11-2】已知集合，，证明：“”的充分非必要条件是“”. 【变式11-3】已知集合 (1)判断8，9，10是否属于集合A； (2)已知集合，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件； (3)写出所有满足集合A的偶数. 【考点题型十二】命题的否定 【例12】命题“存在，使得”的否定是 【变式12-1】陈述句“、、全为”的否定形式为 ． 【变式12-2】“或”的否定形式为 ． 【考点题型十三】反证法 【例13】（1）设，，求证：； （2）已知，，且.证明：或. 【变式13-1】用反证法证明命题：“已知，则且”时，应假设 . 【变式13-2】用反证法证明：“若，则或”时，应假设 . 【变式13-3】已知集合，.用反证法证明 【考点题型十四】新定义 【例14】对于集合和，定义运算：且，又．设，，求． 【变式14-1】设集合且满足①;②若，则. (1)能否为单元素集合，为什么? (2)求出只含有两个元素的集合； (3)满足题设条件的集合共有几个?能否列出来? 【变式14-2】已知有限集，若A中元素满足，则称集合A为“复活集”． (1)判断集合是否为“复活集”，并说明理由： (2)若均为正数，且为“复活集”，求的取值范围， (3)若时，求“复活集”A． 【变式14-3】集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”． (1)判断集合、是否为“可分集合”（不用说明理由）； (2)求证：五个元素的集合一定不是“可分集合”； (3)若集合是“可分集合”，证明是奇数． 【变式14-4】已知集合为非空数集，定义：，． (1)若集合，直接写出集合，； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 集合与逻辑（14个考点梳理+提升训练） 【清单01】集合及其表示方法： 1.集合：把一些确定的对象的全体叫做集合（简称为集）．集合通常用大写字母来表示． 2.元素：集合中所含的各个对象叫做该集合的元素．元素通常用小写字母来表示． 3.元素与集合的关系 属于：如果是集合A的元素，就说属于A，记作， 不属于：如果不是集合A的元素，就说不属于A，记作． 4.集合的特性： （1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可． （2）互异性：集合中的元素没有重复． （3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序． 5.集合的相等：如果组成两个集合A与B的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作A=B． 6.集合的分类： （1）有限集：含有有限个元素的集合． （2）无限集：含有无限个元素的集合． 7.空集：我们引入空集，规定其不含任何元素，记作． 注意：和是不同的．是含有一个元素0的集合，是不含任何元素的集合． 8.常用数集及记法： （1）自然数集：全体非负整数的集合，记作N. （2）整数集：全体整数的集合，记作Z. （3）有理数集：全体有理数的集合，记作Q. （4）实数集：全体实数的集合，记作R． 9.集合的表示方法： （1）列举法：把集合中的元素不重复地一一列举出来，并写在一对大括号内． 能用列举法表示的集合一般是有限集．对于一些有规律的无限集，在不会引起歧义的前提下，也可用列举法表示，例如全体正偶数组成的集合可以表示为． （2）描述法：在一对大括号内先写出这个集合中元素的一个记号，再画一条竖线，并在竖线的右边写上集合中元素所具有的特征，即． 有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法． 10.区间： 数学中常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成的集合．为了方便起见，我们引进区间的概念． 设且． 称为开区间，记为； 称为闭区间，记为； 称为左闭右开区间，记为； ，称为左开右闭区间，记为． 以上都是有限区间，以下是无限区间： ，，，， 实数集，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”． 这里的实数统称为这些区间的端点． 【清单02】集合之间的关系 1.子集： 定义：对于两个集合A与B，如果集合A的每个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作或. 读作：A包含于B或B包含A． 即：若任意，则. 注意：（1）有两种可能：①A是B的一部分；②A与B相等． （2）对于两个集合A与B，如果且，那么． 2.真子集： 定义：对于两个集合A与B，如果，且B至少有一个元素不属于A（即B不是A的子集），那么称集合A是B的真子集，记作AB或BA；读作：A真包含于B或B真包含A． （在有些资料中，集合A是B的真子集也被记作） 如：对于常用的数集，我们有如下的包含关系： 注意：（1）空集是任何集合的子集； （2）空集是任何非空集合的真子集； （3）任何一个集合是它本身的子集． 3.对于集合的包含关系，有如下结论： （1）； （2）传递性：且，则； （3）若，则或； （4）总规定： 4.子集的个数： 含个元素的集合的所有子集的个数是，所有真子集的个数是，非空真子集数为． 5.易混符号 （1）“”与“”：元素与集合之间是属于关系，集合与集合之间是包含关系． 如，R，. （2）与：是含有一个元素0的集合，是不含任何元素的集合． 如．不能写成=，∈ 6.文氏图 用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用的图叫做文氏图．如图表示的是（或） B A 【清单03】集合的运算 1.交集的定义： 由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，叫做集合A与B的交集. 记作：. 读作：A交B. 即． 2.任意两个非空集合A、B的交集有以下几种情况： 3.任意两个非空集合A、B的交集具有以下性质： （1）； （2），； （3），即空集与任何集合的交集都是空集； （4）. 4.并集的定义： 由所有属于集合A或者属于集合B的元素所组成的集合，叫集合A与B的并集. 记作：. 读作：A交B. 即． 5.任意两个非空集合A、B的并集有以下几种情况： 6.任意两个非空集合A、B的并集具有以下性质： （1）； （2），； （3），即空集与任何集合的并集都等于该集合； （4），. 7.补集的定义： 设U为全集，A是U的子集，由U中所有不属于A的元素组成的集合称为集合A在全集U中的补集，记作:. 读作:补. 即. 8.在维恩图中，我们以矩形表示全集，集合A的补集表示下图阴影部分 9.补集的运算性质： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）若，则；若，则； 10.集合的运算律 （1）交换律：； （2）结合律：； （3）分配律：； （4）德摩根定律：； 【清单04】逻辑用语 1.命题：在初中时，已经知道用自然语言、符号或式子表达，且可以判断其真假的语句叫做命题. 命题通常用陈述句表述.其含义判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫假命题. 2.在形如“若，则”的命题中，陈述句称为条件，称为结论， 命题“若，则”是真命题，是指所有满足条件的对象都满足结论.即满足满足 要确定这类命题的真假，需给出其证明. 命题“若，则”是假命题，是指存在满足条件的对象不满足结论. 如上例中（2）（4），可以举出一个反例. 3.如果命题“若，则”是真命题，那么就称推出，记作（或） 推出关系满足传递性：若且，则. 说明：①命题必定由条件与结论两部分组成； ②假命题的确定：举反例（举出一个满足条件，不满足结论的例子，一个即可，一票否决）； 【注意】举反例有时候不容易，要充分注意命题的条件和结论，还要注意极端情况，或运用类比手段. ③真命题的确定：直接法和反证法. 反证法既是一种重要的数学思想，也是命题证明的一种方法，后面会有赘述. 4.充分条件：对于两个陈述句与，如果，就称是的充分条件，亦称是的必要条件. 5.充分必要条件：对于两个陈述句与，如果，又有，就称是的充分必要条件，简称充要条件，记作，读作“与等价”或“成立当且仅当成立”. 6.从集合角度解释：若对于集合和， 若，则是的充分条件； 若，则是的必要条件； 若，则是的充要条件. 7.反证法：对于命题“若，则”，首先假设结论不成立（为假）然后经过正确的逻辑推理得出矛盾，从而说明“为假”是不可能发生的，即结论是正确的，这样的证明方法叫反证法. 【步骤】①假设结论反面成立，即假设命题的结论不成立； ②从这个假设出发，推理论证，得出矛盾； ③由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确. 【矛盾来源】①与原命题的条件矛盾； ②导出与假设相矛盾的命题； ③导出一个恒假命题. 陈述句 的否定形式 全，都 不全，不都 至少有一个 一个也没有 至多有一个 至少有两个 或 且 所有的满足性质 至少存在一个不满足性质 所有的不满足性质 至少存在一个满足性质 【考点题型一】集合的概念 【例1】下列所给对象不能组成集合的是 ． （1）高一数学课本中所有的难题； （2）某班16岁以下的学生； （3）某中学的大个子； （4）某学校身高超过1.80米的学生． 【答案】（1）（3） 【解析】“难题”没有判断标准，无法判断一道题是否属于难题，不满足集合中元素的“确定性”，故（1）不能组成集合； 某班16岁以下的学生可以组成一个集合，16及16岁以上的学生则不在集合内，满足集合中元素的“确定性”，且每个学生都不一样，满足集合中元素的“互异性”，故（2）可以组成集合； “大个子”没有判断标准，不知身高多少才能称为大个子，不满足集合中元素的“确定性”，故（3）不能组成集合； 某学校身高超过1.80米的学生可以组成一个集合，身高等于或低于1.80米的学生则不再集合内，满足集合中元素的“确定性”，且每个学生都不一样，满足集合中元素的“互异性”，故（4）可以组成集合. 【变式1-1】下列命题中正确的有（    ）． ①很小的实数可以构成集合； ②R表示一切实数组成的集合； ③给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是有限集； ④2023年联合国所有常任理事国组成一个集合． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解析】对于①，很小的实数是个不确定的概念，不可以构成集合，故错误； 对于②，R表示一切实数组成的集合，故正确； 对于③，给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是无限集，故错误； 对于④，2023年联合国常任理事国有中国、俄罗斯、英国、法国、美国，能组成一个集合，故正确． 故选：C． 【变式1-2】下列各组对象能构成集合的是（    ） A．2023年参加“两会”的代表 B．北京冬奥会上受欢迎的运动项目 C．的近似值 D．我校跑步速度快的学生 【答案】A 【解析】对于A：2023年参加“两会”的代表具有确定性，能构成集合，故A正确； 对于B：北京冬奥会上受欢迎的运动项目，没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，故B错误； 对于C：的近似值，没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，故C错误； 对于D：我校跑步速度快的学生，没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，故D错误； 故选：A 【变式1-3】下列各组对象中能形成集合的是（    ） A．高一数学课本中不太难的复习题 B．高二年级瘦一点的学生家长 C．高三年级开设的所有课程 D．高一（12）班个子比较高的学生 【答案】C 【解析】要想能形成集合，要满足确定性， 四个选项中，只有高三年级开设的所有课程具有确定性，故C正确，其他错误. 故选：C 【变式1-4】判断下列各组对象能否组成集合．若能组成集合，指出是有限集还是无限集；若不能组成集合，请说明理由． (1)上海市现有各区的名称； (2)末位是3的自然数； (3)比较大的苹果． 【答案】(1)能，理由见解析； (2)能，理由见解析； (3)不能，理由见解析. 【解析】（1）能构成集合，元素是确定的且个数有限，该集合是有限集. （2）能构成集合，元素是确定的且个数无限，该集合是无限集. （3）不能构成集合，元素无法确定. 【考点题型二】元素的特征 【例2】已知不超过5的实数组成的集合为M，，则不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为， 所以，所以B错误， 对于C，因为，所以， 所以，所以C正确， 对于D，因为，所以， 所以，所以D正确. 故选：B 【变式2-1】设集合，，已知且，则的取值集合为 . 【答案】 【解析】因为，即， 所以或， 若，则或； 若，即，则或. 由与互异，得， 故或， 又，即，所以，解得且， 综上所述，的取值集合为. 故答案为： 【变式2-2】设集合，若，则的值的集合为 . 【答案】 【解析】若，即时，，不满足互异性， 若，即或时，同理可验证时不满足互异性，成立， 若，即或，验证都不满足互异性. 综上，. 故答案为： 【变式2-3】已知集合，则集合中全部元素之和为 ． 【答案】 【解析】 ，所以，即. 故集合A中全部元素之和为 故答案为:. 【变式2-4】已知集合，若集合A中只有一个元素，则实数的取值的集合是 ． 【答案】 【解析】当时，由方程解得，集合A只有一个元素； 当时，因为集合A中只有一个元素，则，解得. 综上，实数的取值的集合为. 故答案为： 【考点题型三】集合的表示方法 【例3】集合是指（    ）． A．第一象限内的所有点 B．第三象限内的所有点 C．第一象限和第三象限内的所有点 D．不在第二象限、第四象限内的所有点 【答案】D 【解析】,说明同号，包括零. 则表示不在第二，四象限内的所有点. 故选：D． 【变式3-1】，，，用列举法表示M，N，P． 【答案】，， 【解析】，即为，也就是， 代入求值，即得到； 令得到，由于，则，故. 由于，则，代入求值得到， 则. 【变式3-2】用列举法表示中华人民共和国国旗的颜色名称的集合是 ． 【答案】{黄色，红色} 【解析】易知国旗颜色有黄色与红色， 所以集合为{黄色，红色}， 故答案为：{黄色，红色}. 【变式3-3】用区间表示下列集合： (1)； (2)不等式的所有解组成的集合． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）写成区间即为． （2）不等式解得，写成区间即为． 【变式3-4】用列举法表示集合 ． 【答案】 【解析】由题意得，所以，所以. 故答案为: . 【变式3-5】用描述法表示下列集合： (1)被3除余1的所有自然数组成的集合； (2)比1大又比10小的所有实数组成的集合； (3)平面直角坐标系中坐标轴上所有点组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）被3除余1的所有自然数组成的集合可表示为； （2）比1大又比10小的所有实数组成的集合可表示为； （3）平面直角坐标系中坐标轴上所有点组成的集合可表示为. 【考点题型四】集合之间的关系 【例4】是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②； ③；④． 与集合相等的集合序号是 . 【答案】④ 【解析】对于①，因为，设， 则， 不妨取，可知，而，显然，所以①与集合不相等； 对于②，令，则， 显然，但，即②与集合不相等； 对于③，当时，此时，即， 而集合中不包含元素0，所以③与集合不相等； 对于④，令， 则，其中， 所以④与集合相等； 故答案为：④ 【变式4-1】(多选题）给出以下几组集合，其中相等的集合有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于选项A，是点集,是数集，所以不是相等集合； 对于选项B, , 都表达的是奇数集，所以是相等集合； 对于选项C， ,所以是相等集合； 对于选项D, 是空集没有元素，有元素为0，所以不是相等集合. 故选：BC. 【变式4-2】已知集合，则（    ） A．⫋ B．⫌ C． D． 【答案】C 【解析】集合， 则集合均为偶数集，故集合. 故选：C. 【变式4-3】含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 . 【解析】解：由题意，若，则或， 检验可知不满足集合中元素的互异性， 所以，则， 所以，则， 故. 故答案为：. 【变式4-4】下列写法中，正确的有 ①；②；③；④. 【答案】① 【解析】空集是任何非空集合的真子集，故①正确，②错误，，故③错误，空集是不含任何元素的集合，故④错误. 故答案为：①. 【变式4-5】已知集合，集合，若，则实数 . 【答案】1 【解析】因为，所以， 即，所以. 当时，，，满足，故. 故答案为：1. 【变式4-6】已知集合，，且．则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为，所以，解得. 故答案为： 【变式4-7】设，，若，则实数组成的集合 . 【答案】 【解析】由解得，或，所以， 当时，方程无解，则，满足题意； 当时，由解得，所以或7，解得或， 综上，实数组成的集合 . 故答案为： 【考点题型五】子集、真子集 【例5】满足关系，的集合A的个数为 . 【答案】4 【解析】由题意得或或或. 故答案为：4 【变式5-1】集合，则集合的真子集个数为 . 【答案】3 【解析】集合，则集合的真子集为， 所以真子集个数为3. 故答案为：3. 【变式5-2】集合的子集个数为 . 【答案】 【解析】因为，所以当时，不成立， 当时，成立， 当时，成立， 当时，成立， 当时，成立， 当时，成立， 当时，成立， 当时，不成立， 所以满足题意的为，， 所以集合的子集个数为：. 故答案为： 【变式5-3】已知集合，集合，定义为中元素的最小值，当取遍的所有非空子集时，对应的的和记为，则 . 【答案】120 【解析】设，对M的任意非空子集A共有个， 其中最小值为1的有，最小值为2的有个，…，最小值为6的只有个， ． 故答案为：120 【变式5-4】已知集合.是否存在这样的实数a，使得集合A有且仅有两个子集？若存在，求出实数a的值及对应的两个子集；若不存在，说明理由. 【答案】存在，答案见解析 【解析】要使集合有且仅有两个子集，即集合有且只有一个元素， 即方程只有一个根或有两个相等实根， 当，即时，方程化为，得， ，对应的两个子集：. 当，即时，，解得， 此时， 对应的两个子集：. 综上，当时，集合对应的两个子集为：； 当时，集合对应的两个子集为：. 【考点题型六】集合的运算 【例6】知全集，集合，，求，，． 【答案】，或，． 【解析】解：因为，，， 所以或，或， ，所以或， ． 【变式6-1】已知全集，集合，，则 ． 【答案】 【解析】由，得或，所以， 由，得或，所以， 因为， 所以， 所以． 故答案为： 【变式6-2】（1）已知集合，，求及； （2）设集合，，求． 【答案】（1），；（2） 【解析】（1）∵，， ∴，． （2）由解得或 ∴． 【考点题型七】由集合的运算求参数 【例7】已知集合， (1)已知，求的取值范围； (2)是否存在实数，使且． 【答案】(1)；(2)不存在． 【解析】（1）因为，所以或． 因为．（如图） 所以，所以．即的取值范围是． （2）由（1）知当时，，而， 所以，这与矛盾． 即这样的不存在． 【变式7-1】已知集合，，，求实数a的值. 【答案】 【解析】由已知得： （1）且，由解得，代入中不满足，故不成立； （2）且，由得或， 当时，不满足， 当时，满足， 且时，，，满足题意， 所以. 【变式7-2】设集合，. (1)当时，求，； (2)记，若集合的真子集有7个，求：所有实数的取值所构成的集合. 【答案】(1)， (2) 【解析】（1）当时，， ，即，解得或，， ，. （2）若集合的真子集有7个，则，可得， 即中的元素只有3个， 而，解得或，则， 由（1）知， 则当时，， 故所有实数的取值所构成的集合为. 【变式7-3】设整数集，，且，若，满足，的所有元素之和为，求= ； 【答案】 【解析】由可得，所以， 因为，所以， 若，因为，所以， 所以，，，故 所以， 若则，可得或 与矛盾，所以此时不成立， 若，则，所以， 所以，所以即 显然，可得或， 因为与矛盾，所以，， 此时，，所以， 由题意知：，即，解得或（舍） 综上所述：，，所以， 故答案为：. 【考点题型八】文氏图 【例8】设全集为，集合，或. (1)求如图阴影部分表示的集合； (2)已知集合，若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：因为，或， 所以， 所以图中阴影部分表示； （2）解：因为，或且， 所以，解得； 【变式8-1】如图，已知是全集，、、是它的子集，则阴影部分所表示的集合是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：结合韦恩图可知，先看为如下阴影部分表示的集合， 则题干阴影部分所表示的集合， 即集合为． 故选：D． 【变式8-2】已知全集和集合M、N、P如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：根据图可得，阴影部分在集合M中，不在集合N、P中， 则阴影部分所表示的集合是. 故选：B. 【变式8-3】如果全集含有10个元素，都是的子集，含有2个元素，含有4个元素，含有3个元素，则含有 个元素. 【答案】3 【解析】因为全集含有10个元素，都是的子集，含有2个元素，含有4个元素，含有3个元素， 所以作出维恩图如图所示，则，得， 所以集合中含有的元素个数为个， 故答案为：3 【变式8-4】已知全集，，，，求集合． 【答案】， 【解析】方法1（图法）：根据题意作出图如图所示 由图可知，． 方法2（定义法）：，，∴． 又，∴． ∵，，∴． 【变式8-5】如图，三个圆形区域分别表示集合A，B，C．请用集合U，A，B，C分别表示图中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ八个部分所表示的集合．    【答案】答案见解析 【解析】图形I表示的集合为； 图形Ⅱ表示的集合为； 图形Ⅲ表示的集合为； 图形Ⅳ表示的集合为； 图形Ⅴ表示的集合为； 图形Ⅵ表示的集合为； 图形Ⅶ表示的集合为； 图形Ⅷ表示的集合为. 【变式8-6】向50名学生调查对两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多1人，求对都不赞成的学生有多少人？ 【答案】8 【解析】 由题意：赞成的人数30，赞成的人数为33，设对都赞成的学生数为，则对都不赞成的学生数，如图可得：，所以，. 故答案为：8. 【考点题型九】充分必要条件的判断 【例9】（1）若，则“”是“”的 条件.(从“充要､充分不必要､必要不充分､既不充分也不必要”四种关系中选择) 【答案】既不充分也不必要 【解析】当时，满足，但不成立，即充分性不成立； 当时，满足，但不成立，即必要性不成立， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故答案为：既不充分也不必要 （2）设，则“”是“”的 条件.（填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”） 【答案】必要不充分 【解析】由“”无法得到“”，而“”可得“” 所以“”是“”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. （3）＂＂是＂＂的 条件. 【答案】充分非必要条件； 【解析】由得且， 所以由＂＂能推出＂＂，由＂＂不能推出＂＂， 所以＂＂是＂＂的充分非必要条件， 故答案为：充分非必要条件. 【变式9-1】设、，“”是“方程的解集为”的（    ） A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】因为关于的方程的解集为， 所以应满足， 所以当时，不一定能推出方程的解集为， 当方程的解集为时，能推出， 所以“”是“方程的解集为”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式9-2】“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为， 所以是的充分而不必要条件. 故选：A. 【考点题型十】写充分必要条件，由条件求参数 【例10】写出“”的一个充分不必要条件 ． 【答案】(答案不唯一) 【解析】设是“”的一个充分不必要条件， 设集合， 由，则“”是“”的一个充分不必要条件. 故答案为：.(答案不唯一) 【变式10-1】“”的一个必要不充分条件为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】显然A项是充要条件，不符合题意； 由“”可推出“”，即B项是充分条件，不符合题意； “”不能推出“”，反之“”也推不出“”，即C项为既不充分也不必要条件，不符合题意； 易知真包含于，所以“”的一个必要不充分条件为“”， 故选：D． 【变式10-2】请写出“”的一个必要不充分条件： ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】对于，两边平方可得，即“”是“”的必要条件； 对于，两边开平方可得；即“”不是“”的充分条件， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故答案为：（答案不唯一）. 【变式10-3】设：，：，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为：，：， 若是的充分条件，即 故答案为： 【变式10-4】已知，，若是的必要非充分条件，则实数的取值范围是 ； 【答案】 【解析】由题意可知：是的真子集， 则且等号不同时成立，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式10-5】已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分非必要条件，求实数m取值范围组成的集合. 【答案】(1)； (2) 【解析】（1）当时，； （2）由题意得是的真子集，则，解得， 所以实数取值范围组成的集合. 【变式10-6】已知：，：. (1)若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围； (2)若是的既不充分也不必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【解析】（1）由，可得，则：， 又由，可得，则：， 若q是p的充分不必要条件，可得是的真子集， 有，解可得； （2）若q是p的既不充分也不必要条件，则和互不包含， 可得或，解得或. 【考点题型十一】充分必要条件的证明 【例11】对一元二次方程，证明：是该方程有两个异号实根的充要条件. 【答案】证明见解析 【解析】证明必要性：由于方程（a，b，c是常数且）有一正实根和一负实根， 设两根为，所以，且，所以. 充分性：由可推出， 从而元二次方程有两个不相等的实数根，设为、， 则，由知：，即两根异号， 所以方程（a，b，c是常数且）有一正一负两实根. 因此是方程有两个异号实根的充要条件. 【变式11-1】求证：等式对任意实数恒成立的充要条件是. 【答案】证明见解析. 【解析】充分性： 若，则等式显然对任意实数恒成立，充分性成立； 必要性：由于等式对任意实数恒成立， 分别将，，代入可得， 解得，必要性成立， 故等式对任意实数恒成立的充要条件是. 【变式11-2】已知集合，，证明：“”的充分非必要条件是“”. 【答案】证明见解析 【解析】集合，则恒有， ∴ ，即一切奇数都属于集合，即是的充分条件； 又，而，即由推不出，即必要性不成立； ∴“”的充分非必要条件是“”. 【变式11-3】已知集合 (1)判断8，9，10是否属于集合A； (2)已知集合，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件； (3)写出所有满足集合A的偶数. 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3) 【解析】（1），，故，， 假设，，则，且， 由，得或，显然均无整数解， ∴， 综上，有：，，； （2）集合，则恒有， ∴，即一切奇数都属于A，即，则必有； 又，而，即，推不出， ∴“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件； （3）集合，， ①当m，n同奇或同偶时，均为偶数，为4的倍数； ②当m，n一奇一偶时，均为奇数，为奇数， 综上，所有满足集合A的偶数为． 【考点题型十二】命题的否定 【例12】命题“存在，使得”的否定是 【答案】“对任意，都有” 【解析】命题“存在，使得”， 则命题的否定为“对任意，都有”， 故答案为：“对任意，都有” 【变式12-1】陈述句“、、全为”的否定形式为 ． 【答案】、、不全为 【解析】陈述句“、、全为”的否定形式为“、、不全为”. 故答案为：、、不全为. 【变式12-2】“或”的否定形式为 ． 【答案】“且” 【解析】由题意“或”的否定形式为“且”. 故答案为：“且”. 【考点题型十三】反证法 【例13】（1）设，，求证：； （2）已知，，且.证明：或. 【答案】证明见解析； 【解析】（1）要证， 即证， 即证 即证 即证， 因为 所以得证； （2）由题，， 假设且 即，所以， 所以与矛盾， 所以假设不成立，所以或. 【变式13-1】用反证法证明命题：“已知，则且”时，应假设 . 【答案】或. 【解析】用反证法证明命题：“已知，则且”时， 应假设: 或. 故答案为：或. 【变式13-2】用反证法证明：“若，则或”时，应假设 . 【答案】“若，则且” 【解析】反证法是先假设结论不成立，所以用反证法证明：“若，则或”时，应假设“若，则且”. 故答案为：“若，则且” 【变式13-3】已知集合，.用反证法证明 【答案】见解析 【解析】 假设，则，与矛盾，故假设不成立 【考点题型十四】新定义 【例14】对于集合和，定义运算：且，又．设，，求． 【答案】 【难度】0.85 【分析】首先求和，再求. 【解析】∵，， ∴，， ∴． 【变式14-1】设集合且满足①;②若，则. (1)能否为单元素集合，为什么? (2)求出只含有两个元素的集合； (3)满足题设条件的集合共有几个?能否列出来? 【答案】(1)不为单元素集合，理由见解析； (2)或或； (3)共7个，，，，，，，. 【解析】（1）假设为单元素集合，其元素为，则， 故，解得或，均不是正整数，不满足， 故假设不成立，不为单元素集合； （2）由题意得，则， 故只需满足， 其中能整除的正整数有， 令，即时，，此时集合， 令，即时，，此时集合， 令，即时，，此时集合， 令，即时，，此时集合， 令，即时，，此时集合， 令，即时，，此时集合， 综上：或或； （3）由（2）可知，中元素只能从选取，且同时出现，同时出现，同时出现， 故满足条件的集合为，，，，，，，共7个. 【变式14-2】已知有限集，若A中元素满足，则称集合A为“复活集”． (1)判断集合是否为“复活集”，并说明理由： (2)若均为正数，且为“复活集”，求的取值范围， (3)若时，求“复活集”A． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)； (3). 【解析】（1）因为， 所以集合是 “复活集”. （2）由为“复活集”， 设，因此是一元二次方程的两个不等正根， 于是，且，解得， 所以的取值范围是. （3）不妨设中元素满足，且， 显然，则，而，即有，因此， 则，解得， 所以“复活集” . 【变式14-3】集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”． (1)判断集合、是否为“可分集合”（不用说明理由）； (2)求证：五个元素的集合一定不是“可分集合”； (3)若集合是“可分集合”，证明是奇数． 【答案】(1)不是“可分集合”，为“可分集合” (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解析】（1）解：对于，去掉后，不满足题中条件，故不是“可分集合”， 对于，集合所有元素之和为. 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意. 综上所述，集合是“可分集合”. （2）证明：不妨设， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有①，或者②， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有③，或者④， 由①③得，矛盾，由①④得，矛盾， 由②③得矛盾，由②④得矛盾， 故当时，集合一定不是“可分集合”． （3）设中所有元素之和为，由题意得均为偶数， 故的奇偶性相同， ①若为奇数，则为奇数，易得为奇数， ②若为偶数，此时取，可得仍满足题中条件，集合也是“可分集合”， 若仍是偶数，则重复以上操作，最终可得各项均为奇数的“可分集合”，由①知为奇数 综上，集合中元素个数为奇数. 【变式14-4】已知集合为非空数集，定义：，． (1)若集合，直接写出集合，； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)1349 【解析】（1）当，则， （2）证明：因为集合，，且，所以中也只包含4个元素，即，剩下的元素满足，所以. （3）集合，，记为集合中元素的个数，设集合满足题意，则，则， 所以，因为，由容斥原理，， 所以最小的元素为，最大的元素为，所以，即，解得， 实际上，当时满足题意； 证明如下：设，则 ，则，依题意可知，，即，所以的最小值为，所以当时， 集合中元素最多，即时满足题意， 综上，的最大值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$