2.5一元二次方程根与系数的关系同步练习 2024-2025学年北师大版九年级数学上册

2024-2025北师大九年级上册一元二次方程根与系数的关系 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程没有实数根的是(    ) A. B. C. D. 2.如果关于的方程无实数根，则的取值范围是(    ) A. B. 且 C. D. 且 3.已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是  (    ) A. B. C. 且 D. 且 4.关于的一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5.已知关于的一元二次方程的两根分别为、，则的值为(    ) A. B. C. D. 6.若，是一元二次方程的两根，则的值是(    ) A. B. C. D. 7.关于的方程有实数根，则的取值范围是   ． A. 且 B. 且 C. D. 8.如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美丽”方程已知是“美丽”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 9.若实数，满足，则关于的方程根的情况是(    ) A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 10.若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.已知是方程的一个解，则另一个解为 ______． 12.设，是方程的两个根，则 ______． 13.如果关于的一元二次方程的两根分别为，，那么          ． 14.已知，是方程的两个实数根，且，则的值______． 15.关于的一元二次方程的两根为，，则关于的方程的两根为______． 三、计算题 16.不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况： ．．． 四、解答题 17.已知，是方程的两个根；求： 的值．的值． 18.已知关于的方程． 求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； 若此方程的一个根是，请求好的值及方程的另一个根． 19.已知关于的一元二次方程． 若是这个方程的一个根，求的值和它的另一根； 求证：无论取任何实数，方程总有实数根； 若等腰三角形的其中一边为，另两边是这个方程的两根、，求的值． 20.已知关于的方程有两实数根． 求的取值范围； 设方程两实数根分别为：，，且，求实数的值． 21.已知关于的方程． 求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根； 若，是原方程的根，且，求的值和方程的根． 22.已知关于的方程． 当为何值时，此方程有实数根； 若此方程的两实数根，满足，求的值． 23.新定义：已知关于的一元二次方程的两根之和与两根之积，分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”． 比如：一元二次方程的两根分别为，，则，，所以它的“再生韦达方程”为． 已知一元二次方程，求它的“再生韦达方程”； 已知“再生韦达方程”，求它的“原生方程”． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页，共 4页 2024-2025 北师大九年级上册一元二次方程根与系数的关系 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程没有实数根的是( ) A. �2 − � − 1 = 0 B. �2 − 6� + 5 = 0 C. �2 − 2 3� + 3 = 0 D. �2 + � + 1 = 0 2.如果关于�的方程��2 − 2� + 1 = 0 无实数根，则�的取值范围是( ) A. � < 1 B. � < 1 且� ≠ 0 C. � > 1 D. � ≤ 1 且� ≠ 0 3.已知关于�的一元二次方程(� − 1)�2 + 2� + 1 = 0 有实数根，则�的取值范围是 ( ) A. � < 2 B. � ≤ 2 C. � < 2 且� ≠ 1 D.� ≤ 2 且� ≠ 1 4.关于�的一元二次方程�2 + � −�2 = 0 的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 5.已知关于�的一元二次方程�2 + 4� + 3 = 0 的两根分别为�、�，则1�+ 1 �的值为( ) A. 43 B. 2 3 C. − 2 3 D. − 4 3 6.若�，�是一元二次方程 3�2 + 2� − 9 = 0 的两根，则��+ � �的值是( ) A. 427 B. − 4 27 C. − 58 27 D. 58 27 7.关于�的方程(� − 1)2�2 + (2� + 1)� + 1 = 0 有实数根，则�的取值范围是( )． A. � > 14且� ≠ 1 B. � ≥ 1 4且� ≠ 1 C. � > 1 4 D. � ≥ 1 4 8.如果一元二次方程��2 + �� + � = 0(� ≠ 0)满足� − � + � = 0，那么我们称这个方程为“美丽”方程.已知 ��2 + �� + � = 0(� ≠ 0)是“美丽”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是( ) A. � = � = � B. � = � C. � = � D. � = � 9.若实数�，�满足� − � + 2 = 0，则关于�的方程�2 + �� + � = 0 根的情况是( ) A.有两个相等实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 10.若�，�是一元二次方程�2 − 5� − 1 = 0 的两个实数根，则�2 − 6� − � + 2022 的值是( ) A. 2016 B. 2018 C. 2020 D. 2022 第 2页，共 4页 二、填空题：本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。 11.已知� = 1 是方程�2 −�� + 3 = 0 的一个解，则另一个解为� = ______． 12.设�1，�2是方程�2 − 4� − 5 = 0 的两个根，则�12 + �22 = ______． 13.如果关于�的一元二次方程�2 + 3� − 7 = 0 的两根分别为�，�，那么�2 + 4� + � = ． 14.已知�1，�2是方程 2�2 + �� − 2 = 0 的两个实数根，且(�1 − 2)(�2 − 2) = 10，则�的值______． 15.关于�的一元二次方程��2 + �� = 0 的两根为�1 = 3，�2 = 0，则关于�的方程�(� − 2)2 + �� − 2� = 0 的两根为______． 三、计算题 16.不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况： (1) 9�2 + 6� + 2 = 0．(2)�2 − 2 2� + 2 = 0．(3) 3�2 − � = 4� + 3． 四、解答题 17.已知�1，�2是方程 2�2 + 3� − 2 = 0 的两个根；求： ①�12 + �22的值．② 1 �1 + 1�2 的值． 18.已知关于�的方程�2 − (� + 2)� + (� − 1) = 0． (1)求证：无论�为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若此方程的一个根是 2，请求好�的值及方程的另一个根． 第 3页，共 4页 19.已知关于�的一元二次方程�2 − (� + 5)� + 5� = 0． (1)若� = 1 是这个方程的一个根，求�的值和它的另一根； (2)求证：无论�取任何实数，方程总有实数根； (3)若等腰三角形的其中一边为 6，另两边是这个方程的两根�1、�2，求�的值． 20.已知关于�的方程�2 − 4� + � + 1 = 0 有两实数根． (1)求�的取值范围； (2)设方程两实数根分别为：�1，�2，且 2 �1 + 2�2 = �1�2 − 7，求实数�的值． 21.已知关于�的方程�2 + (� + 3)� + � + 1 = 0． (1)求证：无论�取何值，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若�1，�2是原方程的根，且|�1 − �2| = 2 2，求�的值和方程的根． 第 4页，共 4页 22.已知关于�的方程�2 − (2� − 3)� + �2 + 1 = 0． (1)当�为何值时，此方程有实数根； (2)若此方程的两实数根�1，�2满足(�1 − �2)2 = 2，求�的值． 23.新定义：已知关于�的一元二次方程�1�2 + �1� + �1 = 0 的两根之和�1 + �2与两根之积，�1 ⋅ �2分别是另 一个一元二次方程�2�2 + �2� + �2 = 0 的两个根，则一元二次方程�2�2 + �2� + �2 = 0 称为一元二次方程 �1�2 + �1� + �1 = 0 的“再生韦达方程”，一元二次方程�1�2 + �1� + �1 = 0 称为“原生方程”． 比如：一元二次方程�2 − 2� − 3 = 0 的两根分别为�1 = 3，�2 =− 1，则�1 + �2 = 2，�1 ⋅ �2 =− 3，所以它 的“再生韦达方程”为�2 + � − 6 = 0． (1)已知一元二次方程�2 − 5� + 6 = 0，求它的“再生韦达方程”； (2)已知“再生韦达方程”�2 + � − 30 = 0，求它的“原生方程”． 参考答案 1.【答案】  2.【答案】  3.【答案】  4.【答案】  5.【答案】  6.【答案】  7.【答案】  8.【答案】  9.【答案】  10.【答案】  11.【答案】  12.【答案】  13.【答案】  14.【答案】  15.【答案】，  16.【答案】【小题】 解：，，，此方程无实数根． 【小题】 ，，，此方程有两个相等的实数根． 【小题】 化为一般形式为，，，此方程有两个不相等的实数根．   17.【答案】解：根据根与系数的关系得，， 所以；   18.【答案】证明：关于的一元二次方程， ，，， ． 无论为任意实数， 原方程总有两个不等的实数根． 解：是方程的一个根， ， 解得：， 原方程变为， 设方程的另一个根为， ， ． ，方程的另一个根为．  19.【答案】解：将代入原方程得：， 解得：， 原方程变为， 设另一根为， 则， ， 方程的另一根为． 证明： ， ， 无论取任何实数，方程总有实数根； 解：当腰为时，把代入得，， 解得． 原方程变为， 设另一根为， 则， ， 方程的另一根为． 此时等腰三角形的三边分别为：，，，满足题意； 当底为时，则程有两相等的实数根， ， ，即，可得， 此时等腰三角形的三边分别为：，，，满足题意； 综上，的值为或．  20.【答案】解：关于的方程有两实数根， ， 解得：； 方程两实数根分别为：，， ，， ， ， ， 解得：，经检验都是原方程的解， ， 故．  21.【答案】解：证明：， 无论取何值，恒大于， 原方程总有两个不相等的实数根． ，是原方程的两根， ，． ， ， ， ， ， 解得：，． 当时，原方程化为， 解得：，． 当时，原方程化为， 解得：，．  22.【答案】解：，解得， 所以时，此方程有实数根； 根据题意得，， ， ， ， ．  23.【答案】解：， 得，， 则，， 所以一元二次方程的“再生韦达方程”为， 即； 得，， 令它的“原生方程”两根分别为，， 则，，或，． 当，，则所求“原生方程”为； 当，，则所求“原生方程”为． 综上所述，它的“原生方程”为或．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$